2018-2019学年江西省宜春九中（外国语学校）高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版)

2018-2019学年江西省宜春九中（外国语学校）高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版)

宜春九中(外国语学校)2018-2019学年下学期期中考试 高二年级数学(文)试题卷 考试时间:120分钟 试卷总分:150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 已知集合2，，，则　　‎ A. 0，1，2， B. 0，1， C. 2， D. ‎ 2. 复数为虚数单位在复平面内对应点的坐标是　　‎ A. B. C. D. ‎ 3. ‎“”是“”的　　‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为　　 A. 2 B. C. D. ‎ 5. 宜春九中为了研究学生的性别和对待垃圾分类活动的态度支持与不支持的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，有多大的把握认为“学生性别与支持该活动”有关系    ‎ A. B. C. D. ‎ 附：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1. 在极坐标系中的点化为直角坐标是　　‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 2. 设A，B为两个事件，已知，，则　　‎ A. B. C. ​ D. ‎ 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯    ‎ A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 4. 已知两个正数a，b满足，则的最小值是　　‎ A. 23 B. 24 C. 25 D. 26‎ 5. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(    )‎ A. B. C. D. ‎ 6. 如图，已知，若点C满足，则  ‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知P是椭圆上的动点，则P点到直线l：的距离的最小值为    ‎ A.   B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ 8. 命题“，”的否定是________．‎ 9. 已知函数，则曲线在点处的切线方程是______．‎ 10. 设x，y满足约束条件，则的最小值为______．‎ 1. 设集合，，且，则实数k的取值范围是____________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分，每题12分。‎ 2. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．‎ 求角A； 若，，求的面积S． ‎ 3. 某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． ‎ 气温 ‎14‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 用电量度 ‎22‎ ‎26‎ ‎34‎ ‎38‎ 求线性回归方程；参考数据： 根据的回归方程估计当气温为时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． ‎ ‎ ‎ 1. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD，点E为侧棱PB的中点．‎ 求证：平面ACE；平面平面PBD． ‎ 2. 设公差不为零的等差数列的前5项的和为55，且，成等比数列． 求数列的通项公式． 设数列，求证：数列的前n项和． ‎ 3. 函数，‎ 当 时，求的极值；‎ 当 时，恒成立，求实数a的最大值。 ‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 1. 解关于x的不等式． ‎ ‎ ‎ 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为以极点O为原点，极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数，求直线l被圆C截得的弦长． ‎ 宜春九中(外国语学校)2018-2019学年下学期期中考试 高二年级数学(文)试题卷 选择题：DADCC DABCD DA 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合2，，，则　　‎ A. 0，1，2， B. 0，1， C. 2， D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：集合2，，， ． 故选：D． 先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出的值． 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． ‎ 2. 复数为虚数单位在复平面内对应点的坐标是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：， 复数z所对应点的坐标是． 故选：A ‎． 利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ 1. ‎“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，注意对数函数单调性的应用根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】 解：， ， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选D． ‎ 2. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为　　 ‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，，， 当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，，， 当时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，，， 当时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：， 故选：C． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． ‎ 3. 宜春九中为了研究学生的性别和对待垃圾分类活动的态度支持与不支持的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，有多大的把握认为“学生性别与支持该活动”有关系    ‎ A. B. C. D. ‎ 附：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】‎ 本题考查独立性检验，把观测值同临界值进行比较得到有的把握说学生性别与支持该活动有关系．‎ ‎【解答】‎ 解：，‎ 对照表格可得有的把握说学生性别与支持该活动有关系．‎ 故选C．‎ ‎ ‎ 1. 在极坐标系中的点化为直角坐标是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：根据，，可将点化为直角坐标是， 故选D． 根据，，可将点化为直角坐标． 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查学生的计算能力，比较基础． ‎ 2. 设A，B为两个事件，已知，，则　　‎ A. B. C. ​ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：由条件概率的计算公式，可得． 故选：  由条件概率的计算公式，根据题意，代入数据计算可得答案． 本题考查条件概率的计算公式，是基础题；需要牢记条件概率的公式． ‎ 3. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯    ‎ A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题． 设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值． 【解答】 解：设这个塔顶层有a盏灯， 宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍， 从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列， 又总共有灯381盏， ，解得， 则这个塔顶层有3盏灯． 故选B． ‎ 1. 已知两个正数a，b满足，则的最小值是　　‎ A. 23 B. 24 C. 25 D. 26‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：根据题意，正数a，b满足， 则，， 当且仅当时，取到等号， 即的最小值是25． 故选C． 根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案． 本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件． ‎ 2. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题， 求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为 ‎，化简整理即可得到所求函数式． 【解答】 解：函数的周期为， 由题意即为函数的图象向右平移个单位， 可得图象对应的函数为， 即有 故选D． ‎ 1. 如图，已知，若点C满足，则  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：， ，， ， 故选：D． 根据向量的三角形法则和向量的数乘运算求出，，再代值计算即可． 本题考查了向量的三角形法则和向量的数乘运算，属于基础题． ‎ 2. 已知P是椭圆上的动点，则P点到直线l：的距离的最小值为    ‎ A.   B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】【分析】 设，代入距离公式化简得，根据三角函数的性质即可得出d的最小值本题考查了椭圆的性质，点到直线的距离公式，属于中档题． 【解答】 解：设，则P到直线l的距离， 当时，d取得最小值 ‎． 故选：A． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 命题“，”的否定是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】‎ 本题考查全称命题的否定．‎ 全称命题的否定为特称命题，只需将任意改为存在，否结论即可．‎ ‎【解答】‎ 解：全称命题的否定为特称命题，‎ 故“， ”的否定为“，‎ 故答案为．‎ ‎ ‎ 2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可，属于一般题． 【解答】 解：由函数知， 把代入得到切线的斜率， ， 切线方程为：， 即． 故答案为． ‎ 3. 设x，y满足约束条件，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为A， 联立，解得． 的最小值为． 故答案为：‎ ‎． 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． ‎ 1. 设集合，，且，则实数k的取值范围是____________．‎ ‎【答案】​‎ ‎【解析】【分析】 本题考查集合的关系问题，  由集合的包含关系，B中所有元素都在A中， 结合数轴得到关于k的不等式组，解出即可． 【解答】 解：由题意，因为，所以， 解得 故答案为． ‎ 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）‎ 2. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．‎ 求角A；‎ 若，，求的面积S．‎ ‎【答案】解：由正弦定理得：，‎ 又 ，即，‎ 又，，又A是内角，；‎ 由余弦定理得，即． ，得：或舍，．  ．‎ ‎【解析】本题主要考查解三角形的应用，熟悉正弦定理公式是解答本题的关键，属于中档题．‎ 由题意得，直接运用正弦定理公式即可求解；‎ 由题意得，直接运用余弦定理公式即可求解．‎ ‎ ‎ 1. 某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． ‎ 气温 ‎14‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 用电量度 ‎22‎ ‎26‎ ‎34‎ ‎38‎ 求线性回归方程；参考数据： 根据的回归方程估计当气温为时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．‎ ‎【答案】解：，，， 把代入回归方程得，解得． 回归方程为； 当时，，估计当气温为时的用电量为30度．‎ ‎【解析】本题考查了线性回归方程过数据中心的特点，属于基础题． 求出x，y的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程； 代入线性回归方程，计算出y的值，即为当气温为时的用电量． ‎ 2. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD，点E为侧棱PB的中点． 求证：平面ACE；平面平面PBD．‎ ‎【答案】证明：连接OE， 因为O为正方形ABCD的对角线的交点，   所以O为BD中点， 因为E为PB的中点， 所以，又因为面ACE，PD在平面外， 所以平面ACE； 在四棱锥中， 因为底面ABCD，面ABCD，    所以， 因为O为正方形ABCD的对角线的交点，    ‎ 所以，又PC、平面PAC，，    所以平面PAC， 因为平面PBD，    所以平面平面PBD．‎ ‎【解析】此题考查线面平行的证明，考查面面垂直及线面垂直的证明，关键是对线面平行、垂直及面面垂直判断定理的熟练掌握． 利用中位线定理可得，又因为面ACE，PD在平面外，所以平面ACE； 由线面垂直及正方形可得，及，又PC、平面PAC，，可证明平面PAC，利用面面垂直的判断定理可证明平面平面PBD． ‎ 1. 设公差不为零的等差数列的前5项的和为55，且，成等比数列． 求数列的通项公式． 设数列，求证：数列的前n项和．‎ ‎【答案】解：设等差数列的首项为，公差为d， 由题意可得， 即有或舍去， 故数列的通项公式为即； 证明：由， 得， 则 ． 故原不等式成立．‎ ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； 求得，运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证． 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． ‎ 2. 函数，‎ 当时，求的极值；‎ 当时，恒成立，求实数a的最大值。‎ ‎【答案】解：时，，， 令，解得． 当时，，单调递减； 当时， ，单调递增  ‎ 所以，函数无极大值  时，由，得  令，令  解得    当时，，单调递减； 当时， 0'/>，单调递增． 所以． 所以． 故实数a的最大值为e．‎ ‎【解析】将a的值带入，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值即可； 构造函数，然后对函数求导，令通过函数的单调性可得答案． ‎ 1. 解关于x的不等式．‎ ‎【答案】解：当时，原不等式等价于，即；‎ 当时，原不等式等价于，即；‎ 当时，原不等式等价于，‎ 即．‎ 所以原不等式的解集为 ‎【解析】本题考查了绝对值不等式的求解，根据绝对值不等式，根据绝对值情况，分别讨论，去掉绝对值范围，得到相应的不等式，得到解题． ‎ 2. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为以极点O为原点，极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数，求直线l被圆C截得的弦长．‎ ‎【答案】解：由，得， 所以x， 所以圆C的普通方程为， 圆心，半径，‎ 由为参数，消去参数t， 得直线l方程为：， 所以圆心到直线l的距离， 所以直线l被圆C截得的弦长为：．‎ ‎【解析】本题考查了圆的极坐标方程和普通方程的转化，考查直线的参数方程和普通方程的转化以及求弦长问题，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力． 将极坐标方程转化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线的直角坐标方程，求出圆心到直线l的距离d，从而求出弦长即可． ‎