重庆市主城区七校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)

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重庆市主城区七校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)

重庆市主城区七校2019-2020学年 高二下学期期末联考试题 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分150分,考试时间120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,务必将自己的姓名.准考证号等填写在答题卷规定的位置上.‎ ‎2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.‎ ‎3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卷规定的位置上.‎ ‎4.考试结束后,将答题卷交回.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题.(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)‎ ‎1.(改编)若(其中是虚数单位),则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.为对某组数据进行分析,建立了四种不同的模型进行拟合,现用回归分析原理,计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97,0.86,0.65,0.55,则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是( )‎ A.0.55 B.0.86 C.0.65 D.0.97‎ ‎3.在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则ξ在(0,80)内的概率为( )‎ A.0.05     B.0.1 C.0.15 D.0.2‎ ‎4.(改编)曲线y=x2+ln x在点(1,1)处的切线方程为( )‎ A.3x-y-2=0 B.x-3y+2=0 C.3x+y-4=0 D.x+3y-4=0‎ ‎5.(改编)某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )‎ A.180种 B.360种 C.720种 D.960种 ‎6.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=( )‎ A. B. C. D. ‎7.(改编)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )‎ A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 ‎8.(改编)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼15飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.48种 ‎9.下图是相关变量的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到线性回归方程:,相关系数为;方案二:剔除点,根据剩下数据,得到线性回归方程:,相关系数为;则( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎10.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f′(x)的图象可能是( )‎ ‎ ‎ ‎11.(原创)有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流,则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题题5分,共20分,请把答案填在答题卡相应位置)‎ ‎13.(原创)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则的虚部为 .‎ ‎14.(改编)篮子里装有2个红球,3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球,记事件A=“取出的两个球颜色不同”,事件B=“取出一个红球,一个白球”,则P(B|A)= ‎ ‎15.(改编)若(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a7的值是 .‎ ‎16.(改编)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡,若顾客甲只带了现金,顾客乙只用支付宝或微信付款,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中三种结账方式,则他们结账方式的可能情况有 种.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)(改编)已知二项式的展开式中各项的系数和为256.‎ ‎(1)求n;‎ ‎(2)求展开式中的常数项.‎ ‎18.(本小题满分12分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定。小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试。若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定。‎ ‎(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;‎ ‎(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望。‎ ‎19.(本小题满分12分)(改编)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. ‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.‎ ‎20.(本小题满分12分)(改编)对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计,作出甲的得分频率分布直方图如图所示,列出乙的得分统计表如表所示:‎ 分值 ‎[0,10)‎ ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ 场数 ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎(1)估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率。‎ ‎(2)判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定。(结论不要求证明)‎ ‎(3)在甲所进行的100场比赛中,以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分,试计算甲每场比赛的平均得分 ‎21.(本小题满分12分)随着网络和智能手机的普及与快速发展,许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为:网搜答案可以起到拓展思路的作用,但是对多数学生来讲,容易产生依赖心理,对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况,某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查,并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析,得到如下样本频数分布表:‎ 将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”,不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.‎ ‎(1)根据已有数据,完成下列列联表(单位:人)中数据的填写,并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关?‎ ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率,从该校所有参与调查的学生中,采用随机抽样的方法每次抽取一个人,抽取4人,记经常使用网络搜题的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求随机变量的分布列和数学期望.‎ 参考公式:,其中.‎ 参考数据:‎ ‎22.(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)若在定义域内恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(3)证明:.‎ 参考答案 ‎1--4 D D B A 5---8 D B B C 9---12 C A C D ‎ ‎13.-3 14. 15.125 16.20‎ 一、选择题.(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)‎ ‎1.(改编)若(其中是虚数单位),则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】‎ ‎,故.‎ 故选:D ‎2.为对某组数据进行分析,建立了四种不同的模型进行拟合,现用回归分析原理,计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97,0.86,0.65,0.55,则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是( )‎ A.0.55 B.0.86 C.0.65 D.0.97‎ ‎【解析】由题意,四种模型的相关指数R2分别为0.97,0.86,0.65,0.55,‎ 根据在回归分析中,模型的相关指数R2越接近于1,其拟合效果就越好,‎ 可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0.97.故选D.‎ ‎3.在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则ξ在(0,80)内的概率为( )‎ A.0.05     B.0.1 C.0.15 D.0.2‎ 解析:由题意得,P(80<ξ<100)=P(100<ξ<120)=0.4,P(0<ξ<100)=0.5,∴P(0<ξ<80)=0.1.‎ 答案:B ‎4.(改编)曲线y=x2+ln x在点(1,1)处的切线方程为( )‎ A.3x-y-2=0 B.x-3y+2=0 C.3x+y-4=0 D.x+3y-4=0‎ 解析 y′=2x+,故y′|x=1=3,故在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),化简整理得3x-y-2=0.‎ 答案 A ‎5.(改编)某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )‎ A.180种 B.360种 C.720种 D.960种 解析 按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二位号码有3种选法,其余三位号码各有4种选法。因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种)。‎ 答案 D ‎6.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=( )‎ A. B. C. D. 解析 由题意,X~B,‎ 又E(X)==3,∴m=2,‎ 则X~B,故D(X)=5××=.‎ 答案 B ‎7.(改编)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )‎ A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 解析:样本中心点是(3.5,42),=-,则=-=42-9.4×3. 5=9.1,所以回归直线方程是=9.4x+9.1,把x=6代入得=65.5,故选B。‎ ‎8.(改编)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼15飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.48种 解析 将甲、乙捆绑,与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列,有A·A种排法。而后将丙、丁进行插空,有3个空,有A种排法,故共有A·A·A=24种排法。‎ 答案 C ‎9.下图是相关变量的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到线性回归方程:,相关系数为;方案二:剔除点,根据剩下数据,得到线性回归方程:,相关系数为;则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】由散点图分布图可知,变量 和成正相关,所以,在剔除点之后,且可看出回归直线的线性相关程度更强,更接近1.所以 .故选C.‎ ‎10.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f′(x)的图象可能是( )‎ ‎  ‎ 解析 如图所示,当x∈(-∞,x0)时,函数f(x)为增函数,当x∈(x0,0)和x∈(0,+∞)时,函数f(x)为减函数,∴x=x0是函数f(x)的极大值点,可得f′(x0)=0,且当x∈(-∞,x0)时,f′(x)>0,当x∈(x0,0)和x∈(0,+∞)时,f′(x)<0.由此对照各个选项,可得函数y=f′(x)的图象只有A项符合.‎ 答案 A ‎11.(原创)有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流,则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】人数进行分组共有三种情况:;;,‎ 若分组分,共有;若分组分,共有;‎ 若分组分,共有.不同分派方法种数为.故选C.‎ ‎12.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】因为,故,‎ 下面讨论的单调性:‎ 当时,,故在区间上单调递减;‎ 当时,时,,故区间上单调递减;‎ 当时,令,解得,‎ 故在区间单调递减,在区间上单调递增.‎ 又,且当趋近于零时,趋近于正无穷;‎ 对函数,当时,;‎ 根据题意,对,且,使得成立,‎ 只需,‎ 即可得,‎ 解得.‎ 故选:D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题题5分,共20分,请把答案填在答题卡相应位置)‎ ‎13.(原创)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则的虚部为 ________.‎ 解析 因为z=i(3-2i)=2+3i,所以=2-3i,故的虚部为-3‎ ‎14.(改编)篮子里装有2个红球,3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球,记事件A=“取出的两个球颜色不同”,事件B=“取出一个红球,一个白球”,则P(B|A)= ________‎ 解析:事件A的选法有CC+CC+CC=26种,事件B的选法有CC=6,所以P(B|A)==。‎ ‎15.(改编)若(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a7的值是 ________.‎ 解析 令x=1,则a0+a1+a2+…+a8=-2,‎ 又a0=C1720=1,a8=C(-2)7=-128,‎ 所以a1+a2+…+a7=-2-1-(-128)=125.‎ ‎16.(改编)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡,若顾客甲只带了现金,顾客乙只用支付宝或微信付款,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中三种结账方式,则他们结账方式的可能情况有________种.‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ 当乙选择支付宝时,丙丁可以都选银联卡,或者其中一人选择银联卡,另一人只能选支付宝或现金,故有1+C21C21=5,而乙选择支付宝时,丙丁也可以都选微信,或者其中一人选择微信,另一人只能选支付宝或现金,故有1+C21C21=5,此时共有5+5=10种,‎ 当乙选择微信时,丙丁可以都选银联卡,或者其中一人选择银联卡,另一人只能选微信或现金,故有1+C21C21=5,而乙选择微信时,丙丁也可以都选支付宝,或者其中一人选择支付宝,另一人只能选微信或现金,故有1+C21C21=5,此时共有5+5=10种,‎ 综上故有10+10=20种,‎ 故答案为20.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)(改编)已知二项式的展开式中各项的系数和为256.‎ ‎(1)求n;(2)求展开式中的常数项.‎ 解 (1)由题意得C+C+C+…+C=256,‎ ‎∴2n=256,解得n=8. ----------------------------------4分 ‎(2)该二项展开式中的第r+1项为 Tr+1=C()8-r·=C·x,-------------------------8分 令=0,得r=2,此时,常数项为T3=C=28. -----10分 ‎18.(本小题满分12分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定。小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试。若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定。‎ ‎(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;‎ ‎(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望。‎ 解析:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,‎ 则P(A)=××=。------3分 ‎(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3。-----5分 又P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=。----8分 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)=1×+2×+3×=。------12分 ‎19.(本小题满分12分)(改编)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.‎ 解 (1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.--------2分 由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.-----5分 ‎(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,‎ f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).-------------------------7分 令f′(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.‎ 从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0;‎ 当x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0.‎ 故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,‎ 在(-2,-ln 2)上单调递减. ------------------------------------10分 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2.)-----12分 ‎20.(本小题满分12分)(改编)对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计,作出甲的得分频率分布直方图如图所示,列出乙的得分统计表如表所示:‎ 分值 ‎[0,10)‎ ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ 场数 ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎(1)估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率。‎ ‎(2)判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定。(结论不要求证明)‎ ‎(3)在甲所进行的100场比赛中,以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分,试计算甲每场比赛的平均得分。‎ 解析:(1)根据频率分布直方图可知甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为0.048×10+0.024×10=0.48+0.24=0.72。‎ 即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为0.72。------4分 ‎(2)根据甲的频率分布直方图可知,甲的成绩主要集中在[20,30),乙的成绩比较分散,所以甲更稳定。----------------------------------------7分 ‎(3)因为组距为10,‎ 所以甲在区间[0,10),[10,20),[20,30),[30,40)上得分频率值分别为,,,。‎ 设甲的平均得分为S,‎ 则S=(5×8+15×20+25×48+35×24)=23.80。--------12分 ‎21.(本小题满分12分)(改编)随着网络和智能手机的普及与快速发展,许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为:网搜答案可以起到拓展思路的作用,但是对多数学生来讲,容易产生依赖心理,对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况,某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查,并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析,得到如下样本频数分布表:‎ 将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”,不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.‎ ‎(1)根据已有数据,完成下列列联表(单位:人)中数据的填写,并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关?‎ ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率,从该校所有参与调查的学生中,采用随机抽样的方法每次抽取一个人,抽取4人,记经常使用网络搜题的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求随机变量的分布列和数学期望.‎ 参考公式:,其中.‎ 参考数据:‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)由题意得:‎ 经常使用网络搜题 偶尔或不用网络搜题 合计 男生 ‎22‎ ‎28‎ ‎50‎ 女生 ‎38‎ ‎12‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎∵‎ ‎∴在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.-------5分 ‎(2)依题意,.‎ ‎;‎ ‎.-----------------------------------------8分 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎----------------------------------------------------------------------------------10分 ‎----------------------------------------------------------12分 ‎22.(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)若在定义域内恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(3)证明:.‎ 试题解析:(1)定义域,--------2分 若,,在上单调递增 若,,‎ 所以,当时,,当时,‎ 综上:若,在上单调递增;‎ 若,在上单调递增,在上单调递减-------5分 ‎(2)由(1)知,时,不可能成立;‎ 若,恒成立,,得 综上,.------------------------------------------------9分 ‎(3)由(2)知,当时,有在上恒成立,即 令,得,即 ‎ ,得证.-----12分
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