人教新课标A版数学高三高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷

人教新课标A版数学高三高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷

2006 年普通高等学校招生全国统一考试试卷 （安徽卷、文科数学） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答 题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果时间 A、B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   如果时间 A、B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率    1 n kk k n nP k C P P   球的表面积公式 24S R ，其中 R 表示球的半径 球的体积公式 34 3V R ，其中 R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）设全集 {1,2,3,4,5,6,7,8}U  ，集合 {1,3,5}S  ， {3,6}T  ，则  UC S T 等 于（ ） A． B．{2,4,7,8} C．{1,3,5,6} D．{2,4,6,8} 解： {1,3,5,6}S T  ，则  UC S T ＝{2,4,7,8} ，故选 B （2）不等式 1 1 2x  的解集是（ ） A． ( ,2) B． (2, ) C． (0,2) D． ( ,2)  (2, ) 解：由 1 1 2x  得： 1 1 2 02 2 x x x    ，即 (2 ) 0x x  ，故选 D。 （3）函数 1( )xy e x R  的反函数是（ ） A． 1 ln ( 0)y x x   B． 1 ln ( 0)y x x   C． 1 ln ( 0)y x x    D． 1 ln ( 0)y x x    解：由 1xy e  得： 1 ln ,x y  即x=-1+lny ，所以 1 ln ( 0)y x x    为所求，故选 D。 （4）“ 3x  ”是 2 4x  “的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：条件集是结论集的子集，所以选 B。 （5）若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆 2 2 16 2 x y  的右焦点重合，则 p 的值为（ ） A． 2 B． 2 C． 4 D． 4 解：椭圆 2 2 16 2 x y  的右焦点为(2,0)，所以抛物线 2 2y px 的焦点为(2,0)，则 4p  ，故选 D。 （6）表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A． 2 3  B． 1 3  C． 2 3  D． 2 2 3  解：此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形，所以由 238 2 34 a  知， 1a  ， 则此球的直径为 2 ，故选 A。 （7）直线 1x y  与圆 2 2 2 0( 0)x y ay a    没有公共点，则 a 的取值范围是 A． (0, 2 1) B． ( 2 1, 2 1)  C． ( 2 1, 2 1)   D． (0, 2 1) 解：由圆 2 2 2 0( 0)x y ay a    的圆心 (0, )a 到直线 1x y  大于 a ，且 0a  ，选 A。 （8）对于函数   sin 1(0 )sin xf x xx    ，下列结论正确的是（ ） A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 解：令 sin , (0,1]t x t  ，则函数   sin 1(0 )sin xf x xx    的值域为函数 11 , (0,1]y tt    的值域，而 11 , (0,1]y tt    是一个减函减，故选 B。 （9）将函数 sin ( 0)y x   的图象按向量 ,06a       平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的 解析式是（ ） A． sin( )6y x   B． sin( )6y x   C． sin(2 )3y x   D． sin(2 )3y x   解：将函数 sin ( 0)y x   的图象按向量 ,06a       平移，平移后的图象所对应的解析式为 sin ( )6y x   ，由图 象知， 7 3( )12 6 2      ，所以 2  ，因此选 C。 （10）如果实数 x y、 满足条件 1 0 1 0 1 0 x y y x y           ，那么 2x y 的最大值为（ ） A． 2 B．1 C． 2 D． 3 解：当直线 2x y t  过点(0，-1)时，t 最大，故选 B。 （11）如果 1 1 1A B C 的三个内角的余弦值分别等于 2 2 2A B C 的三个内角的正弦值，则 （ ） A． 1 1 1A B C 和 2 2 2A B C 都是锐角三角形 B． 1 1 1A B C 和 2 2 2A B C 都是钝角三角形 C． 1 1 1A B C 是钝角三角形， 2 2 2A B C 是锐角三角形 D． 1 1 1A B C 是锐角三角形， 2 2 2A B C 是钝角三角形 解： 1 1 1A B C 的三个内角的余弦值均大于 0，则 1 1 1A B C 是锐角三角形，若 2 2 2A B C 是 锐角三角形，由 2 1 1 2 1 1 2 1 1 sin cos sin( )2 sin cos sin( )2 sin cos sin( )2 A A A B B B C C C                 ，得 2 1 2 1 2 1 2 2 2 A A B B C C              ，那么， 2 2 2 2A B C    ， 所以 2 2 2A B C 是钝角三角形。故选 D。 （12）在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概 率为（ ） A． 1 7 B． 2 7 C． 3 7 D． 4 7 解：在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 3 8C 个三角形，要得直角非等腰．．三角形， 则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有 24 个，得 3 8 24 C ， 所以选 C。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科 数学 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡的相应位 置。 （13）设常数 0a  ， 4 2 1ax x     展开式中 3x 的系数为 3 2 ，则 a ＝_____。 解： 1 4 8 2 2 1 4 rr r r rT C a x x     ，由 1 8 2 32 , 2, rrx x x r   得 4 4 3 1= 2 2 r rC a 由 知a= 。 （14）在 ABCD 中， , , 3AB a AD b AN NC        ，M 为 BC 的中点，则 MN  _______。 （用 a b  、表示） 解： 3 4 3A =3( )AN NC AN C a b       由 得 ， 1 2AM a b    ，所以 3 1 1 1( ) ( )4 2 4 4MN a b a b a b             。 （15）函数  f x 对于任意实数 x 满足条件     12f x f x   ，若  1 5,f   则   5f f  __________。 解：由     12f x f x   得     14 ( )2f x f xf x    ，所以 (5) (1) 5f f   ，则    1 15 ( 5) ( 1) ( 1 2) 5f f f f f         。 （16）平行四边形的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，已知其中有两个 顶点到 的距离分别为 1 和 2 ，那么剩下的一个顶点到平面 的距离可能是： ①1； ②2； ③3； ④4； 以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．） 解：如图，B、D 到平面 的距离为 1、2，则 D、B 的 中点到平面 的距离为 3 2 ，所以 C 到平面 的距离为 3； B、C 到平面 的距离为 1、2，D 到平面 的距离为 x ， 则 1 2 2 1x x   或 ，即 1x  ，所以 D 到平面 的距 离为 1； C、D 到平面 的距离为 1、2，同理可得 B 到平面 的 距离为 1；所以选①③。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分 12 分）已知 40 ,sin2 5     （Ⅰ）求 2 2 sin sin 2 cos cos2       的值； （Ⅱ）求 5tan( )4   的值。 解：(Ⅰ)由 40 ,sin2 5     ，得 3cos 5   ，所以 2 2 sin sin 2 cos cos2       ＝ 2 2 sin 2sin cos 203cos 1       。 （Ⅱ）∵ sin 4tan cos 3    ，∴ 5 tan 1 1tan( )4 1 tan 7       。 （18）（本大题满分 12 分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要 对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现 有芳香度分别为 0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先 要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。 （Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4 的概率； （Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3 的概率； 解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的事件为 A，“所选用的两 种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3”的事件为 B （Ⅰ）芳香度之和等于 4 的取法有 2 种： (0,4) 、 (1,3) ，故 2( ) 15P A  。 （Ⅱ）芳香度之和等于 1 的取法有 1 种： (0,1) ；芳香度之和等于 2 的取法有 1 种： (0,2) ，故 2 2 6 6 1 1 13( ) 1 ( ) 15P B C C     。 （19）（本大题满分 12 分）如图，P 是 边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点， 1PA  ，P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O。 A B C D EF O P 第 19 题图 H A B C D 第 16 题图  A1 （Ⅰ）证明 PA ⊥ BF ； （Ⅱ）求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。 解：（Ⅰ）在正六边形 ABCDEF 中， ABF 为等腰三角形， ∵P 在平面 ABC 内的射影为 O，∴PO⊥平面 ABF，∴AO 为 PA 在平面 ABF 内的射影；∵O 为 BF 中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。 （Ⅱ）∵PO⊥平面 ABF，∴平面 PBF⊥平面 ABC；而 O 为 BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ， ∴A、O、D 共线，且直线 AD⊥BF，则 AD⊥平面 PBF；又∵正六边形 ABCDEF 的边长为 1，∴ 1 2AO  ， 3 2DO  ， 3 2BO  。 过 O 在平面 POB 内作 OH⊥PB 于 H，连 AH、DH，则 AH⊥PB，DH⊥PB，所以 AHD 为所 求二面角平面角。 在 AHO 中，OH= 6 4 ， 1 2tan 6 4 AOAHO OH    = 6 3 。 在 DHO 中， 3 2tan 6 6 4 DODHO OH     ； 而 6 6 4 63tan tan( ) 361 63 AHD AHO DHO            （Ⅱ）以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0， 1 2  ,0)，B( 3 2 ， 0,0)，D(0,2，0)，∴ 1(0, , 1)2PA    ， 3( ,0, 1)2PB   ， (0,2, 1)PD   设平面 PAB 的法向量为 1 1 1( , ,1)n x y ，则 1n PA  ， 1n PB  ，得 1 1 1 1 02 3 1 02 y x       ， 1 2 3( , 2,1)3n   ； 设平面 PDB 的法向量为 2 2 2( , ,1)n x y ，则 2n PD  ， 2n PB  ，得 2 2 2 1 0 3 1 02 y x     ， 2 2 3 1( , ,1)3 2n  ； 1 2 1 2 1 2 cos , | | | | n nn n n n          （20）（本大题满分 12 分）设函数   3 2 ( )f x x bx cx x R    ，已知 ( ) ( ) ( )g x f x f x  是奇函数。 （Ⅰ）求b 、 c 的值。 （Ⅱ）求 ( )g x 的单调区间与极值。 证明（Ⅰ）∵   3 2f x x bx cx   ，∴   23 2f x x bx c    。从而 3 2 2( ) ( ) ( ) (3 2 )g x f x f x x bx cx x bx c        ＝ 3 2( 3) ( 2 )x b x c b x c     是 一个奇函数，所以 (0) 0g  得 0c  ，由奇函数定义得 3b  ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 3( ) 6g x x x  ，从而 2( ) 3 6g x x   ，由此可知， ( , 2)  和 ( 2, ) 是函数 ( )g x 是单调递增区间； ( 2, 2) 是函数 ( )g x 是单调递减区间； ( )g x 在 2x   时，取得极大值，极大值为 4 2 ， ( )g x 在 2x  时，取得极小值， 极小值为 4 2 。 （21）（本大题满分 12 分）在等差数列 na 中， 1 1a  ，前 n 项和 nS 满足条件 2 4 2 , 1,2,1 n n S n nS n   ， （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）记 ( 0)na n nb a p p  ，求数列 nb 的前 n 项和 nT 。 解：（Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d ,由 2 4 2 1 n n S n S n   得： 1 2 1 3a a a   ，所以 2 2a  ， 即 2 1 1d a a   ，又 1 2 1 1 1 2 2( )4 2 2 1 2 n n n nn n a nd a nS a nd an a an S a an          ＝ 2( 1) 1 n n a n a    ， 所以 na n 。 （Ⅱ）由 na n nb a p ，得 n nb np 。所以 2 3 12 3 ( 1) n n nT p p p n p np       ， 当 1p  时， 1 2n nT  ； 当 1p  时， 2 3 4 12 3 ( 1) n n npT p p p n p np        ， 2 3 1 1 1(1 )(1 ) 1 n n n n n n p pP T p p p p p np npp             即 1 1, 12 (1 ) , 11 n n n n p T p p np pp         。 （22）（本大题满分 14 分）如图，F 为双曲线 C：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右焦点。 P 为双曲线 C 右支上一点，且位于 x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点。已知四边 形OFPM 为平行四边形， PF OF 。 （Ⅰ）写出双曲线 C 的离心率 e 与  的关系式； （Ⅱ）当 1  时，经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交 双曲线于 A、B 点，若 12AB  ，求此时的双曲线方程。 解：∵四边形OFPM 是 ，∴| | | |OF PM c  ，作 O F x y PM 第 22 题图 H N 双曲线的右准线交 PM 于 H，则 2 | | | | 2 aPM PH c   ，又 2 2 2 2 2 2 2 | | | | | | 2 22 2 PF OF c c ee a aPH c a ec cc c           ， 2 2 0e e   。 （Ⅱ）当 1  时， 2e  ， 2c a ， 2 23b a ，双曲线为 2 2 2 2 14 3 x y a a   ，设 P 0 0( , )x y ， 则 2 0 3| | | | 2 a ax MP ON c c      ， 2 2 0 15| | | | | | 2 ay MN OM ON    ，所以直线 OP 的斜率为 15 3 ，则直线 AB 的方程为 15 ( 2 )3y x a  ，代入到双曲线方程得： 2 24 20 29 0x ax a   ， 又 12AB  ，由 2 2 1 2 1 21 ( ) 4AB k x x x x    得： 2 25 2912 1 25 4 123 4 aa a     ，解得 1a  ，则 2 3b  ，所以 2 2 13 yx   为所求。