2018届二轮复习等差数列、等比数列学案理（全国通用）

2018届二轮复习等差数列、等比数列学案理（全国通用）

专题09 等差数列、等比数列 高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．备考时应切实文解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．‎ ‎1．等差数列 ‎(1)定义式：an＋1－an＝d (n∈N*，d为常数)；‎ ‎(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；‎ ‎(3)前n项和公式：Sn＝＝na1＋；‎ ‎(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；‎ ‎②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.‎ ‎2．等比数列 ‎(1)定义式：＝q(n∈N*，q为非零常数)；‎ ‎(2)通项公式：an＝a1qn－1；‎ ‎(3)前n项和公式：Sn＝ ‎(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；‎ ‎②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．‎ ‎3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).‎ ‎【误区警示】‎ ‎1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．‎ ‎2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．‎ ‎3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形．‎ ‎4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.‎ 考点一　等差数列的运算 例、(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100　　　　　　　　 B．99‎ C．98 D．97‎ ‎【答案】C ‎【解析】通解：∵{an}是等差数列，设其公差为d，‎ 由题意得，∴ ‎∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98，选C.‎ 优解：设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝‎9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C. ‎ ‎ (2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)‎ A．5 B．7‎ C．9 D．11‎ ‎【答案】A ‎【解析】通解：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝‎3a1＋6d＝3，‎ ‎∴a1＋2d＝1，‎ ‎∴S5＝‎5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.‎ 优解：∵a1＋a5＝‎2a3，∴a1＋a3＋a5＝‎3a3＝3，‎ ‎∴a3＝1，‎ ‎∴S5＝＝‎5a3＝5，故选A.‎ ‎【方法规律】‎ ‎1．通解是寻求a1与d的关系，然后用公式求和．优解法是利用等差中项性质转化求和公式．‎ ‎2．在等差数列中，当已知a1和d时，用Sn＝na1＋d求和．当已知a1和an或者a1＋an＝a2＋an－1形式时，常用Sn＝＝求解．‎ ‎【变式探究】若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．40‎ 考点二　等比数列的运算 例2、【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当时，显然不符合题意；‎ 当时，，解得，则. ‎ ‎ 【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a‎1a2…an的最大值为________．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】通解：求a‎1a2…an关于n的表达式 ＝＝，∴q＝ ‎∴a1＋a12＝10，∴a1＝8‎ ‎∴a1·a2·a3…an＝a·q＝8n×＝2 当n＝3或n＝4时，最大为6.‎ ‎∴a‎1a2…an的最大值为26＝64‎ 优解：利用数列的单调变化 设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a‎1a2…an≤a‎1a2a3a4＝64.‎ ‎ (2)已知等比数列{an}满足a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)‎ A．2 B．1‎ C. D. ‎【答案】C ‎【方法规律】‎ ‎1．解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．‎ ‎2．运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．‎ ‎【变式探究】等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　　)‎ A．6 B．5‎ C．4 D．3‎ ‎【解析】选C.由题意知a1·a8＝a2·a7＝a3·a6＝a4·a5＝10，∴数列{lg an}的前8项和等于lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a4·a5)4＝4lg(a4·a5)＝4lg 10＝4.故选C.‎ 考点三　数列递推关系的应用 例3、(2016·高考全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式．‎ ‎(2)求{bn}的前n项和．‎ ‎【方法规律】判断和证明数列是等差(比)数列的方法 ‎1．定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an为与正整数n无关的一常数．‎ ‎2．中项公式法：‎ ‎(1)若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；‎ ‎(2)若a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等比数列．‎ ‎【变式探究】已知等差数列{an}的公差d≠0，{an}的部分项ak1，ak2，…，akn构成等比数列，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn.‎ 解：设等比数列ak1，ak2，…，akn的公比为q，‎ 因为k1＝1，k2＝5，k3＝17，‎ 所以a‎1a17＝a，‎ 即a1(a1＋16d)＝(a1＋4d)2，化简得a1d＝2d2.‎ 又d≠0，得a1＝2d，所以q＝＝＝＝3.‎ 一方面，akn作为等差数列{an}的第kn项，有akn＝a1＋(kn－1)d＝2d＋(kn－1)d＝(kn＋1)d，‎ 另一方面，akn作为等比数列的第n项，有akn＝ak1·qn－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1，‎ 所以(kn＋1)d＝2d·3n－1.‎ 又d≠0，所以kn＝2×3n－1－1.‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎【解析】通解：选C.设{an}的公差为d，则 由得 解得d＝4.故选C.‎ 优解：由S6＝48得a4＋a3＝16，‎ ‎(a4＋a5)－(a4＋a3)＝8，‎ ‎∴d＝4，故选C.‎ ‎2．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)‎ A．－24 B．－3‎ C．3 D．8‎ ‎【解析】选A.由已知条件可得a1＝1，d≠0，‎ 由a＝a‎2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，‎ 解得d＝－2.‎ 所以S6＝6×1＋＝－24.故选A. ‎ ‎3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.‎ ‎【答案】－8‎ ‎4．(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知,所以故选C.‎ ‎2【2016高考浙江文数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ）‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎3.【2016年高考北京文数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6．‎ ‎4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 ‎5、【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.‎ ‎6.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.‎ 令，则，，.‎ 于是，，进而由，得.‎ 设是中的最大数，为中的最大数，则.‎ 由（2）知，，于是，所以，即.‎ 又，故，‎ 从而，‎ 故，所以，‎ 即.‎ 综合①②③得，. ‎ ‎1.【2015高考重庆，文2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）‎ A、-1 B、‎0 C、1 D、6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质得，选B.‎ ‎2.【2015高考福建，文8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎3.【2015高考北京，文6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，选C.‎ ‎【2015高考新课标2，文16】设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【2015高考广东，文10】在等差数列中，若，则= .‎ ‎【答案】10．‎ ‎【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．‎ ‎【2015高考陕西，文13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：5．‎ ‎【2015高考浙江，文3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，‎ ‎∴，∴，，故选B.‎ ‎【2015高考安徽，文14】已知数列是递增的等比数列，‎ ‎，则数列的前项和等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎1. 【2014高考北京版文第5题】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】对等比数列，若，则当时数列是递减数列；若数列是递增数列，则满足且，故当“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.‎ ‎【考点定位】等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定 ‎2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和，若，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】假设公差为,依题意可得.所以.故选C.‎ ‎【考点定位】等差数列的性质.‎ ‎3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是 .‎ ‎【答案】4 ‎ ‎【解析】设公比为，因为，则由得，，解得，所以． ‎ ‎【考点定位】等比数列的通项公式．‎ ‎4. 【2014辽宁高考文第8题】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】等差数列的概念、递减数列. ‎ ‎5. 【2014重庆高考文第2题】对任意等比数列,下列说法一定正确的是( )‎ 成等比数列 成等比数列 成等比数列 成等比数列 ‎【答案】D ‎【解析】因为数列为等比数列，设其公比为，则 所以，一定成等比数列，故选D.‎ ‎【考点定位】等比数列的概念与通项公式、等比中项.‎ ‎6. 【2014天津高考文第11题】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】依题意得，∴，解得．‎ ‎【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式．‎ ‎7. 【2014大纲高考文第10题】等比数列中，，则数列的前8项和等于 （ ）‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎【答案】C．‎ ‎【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式．‎ ‎8. 【2014高考广东卷文第13题】若等比数列的各项均为正数，且，则 .‎ ‎【答案】50‎ ‎【解析】由题意知，所以，‎ 因此，‎ 因此.‎ ‎【考点定位】等比数列的基本性质与对数的基本运算 ‎9. 【2014高考安徽卷文第12题】数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵成等比，∴，令，则，即，∴，即，∴.‎ ‎【考点定位】等差、等比数列的性质.‎ ‎10. 【2014高考北京版文第12题】若等差数列满足 ‎，则当 时，的前项和最大.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以 所以，所以，，故数列的前8项最大. ‎ ‎【考点定位】等差数列的性质，前项和的最值 ‎11. 【2014高考大纲文第18题】‎ 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知可得等差数列的公差为整数．由可得列出不等式组解得的范围，从而可确定整数的值，最后由等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；‎ ‎，解得，因此，故数列的通项公式为．‎ ‎（2），‎ 于是 ‎．‎ ‎【考点定位】等差数列通项公式、裂项法求数列的前项和．‎ ‎12. 【2014高考广东文第19题】设数列的前项和为，满足，，且.‎ ‎（1）求、、的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1），，；（2）.‎ ‎【考点定位】数列的通项 ‎13. 【2014高考湖北文第18题】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明文由.‎ ‎【答案】（1）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【考点定位】等差数列、等比数列的性质、等差数列的求和公式.‎