四川省泸县五中2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题

四川省泸县五中2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县五中高三第一学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．若复数，，其中是虚数单位，则复数的实部为 ‎ A． B． C．30 D．8‎ ‎3．在等差数列 中，若，则等于 ‎ A．9 B．27 C．18 D．54‎ ‎4．在平行四边形中，，则等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．根据历年统计资料，我国东部沿海某地区60周岁以上的老年人占，在一个人是60周岁以上的条件下，其患高血压的概率为，则该地区一个人既是60周岁以上又患高血压的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数（且）的图象可能为 A．B.C．D．‎ ‎7．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 A．210 B．180 C．160 D．175‎ ‎8．已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎10．若函数的图象关于轴对称，则实数的值为 ‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎11．设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，其中在左支上，在右支上.若，则 ‎ A． B．8 C． D．4‎ ‎12．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设向量，，若，则______.‎ ‎14．在中任取一实数作为，则使得不等式成立的概率为______.‎ ‎15．已知抛物线经过点，直线与抛物线交于相异两点，，若的内切圆圆心为，则直线的斜率为______.‎ ‎16．已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上，AB为球O的直径，AB=4，AD=2，BC=，则四面体ABCD体积的最大值为_______。‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的面积.‎ ‎18（12分）如图，平面ABCD⊥平面CDEF，且四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形， ，M是线段DE上的点，满足DM=2ME．‎ ‎(I)证明：BE//平面MAC；‎ ‎(II)求直线BF与平面MAC所成角的正弦值．‎ ‎19（12分）随着科技的发展，网络已逐逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或着第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式，某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数（单位：人）与时间（单位：年）的数据，列表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎41‎ ‎64‎ ‎79‎ ‎（I）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合）‎ 附：相关系数公式，参考数据.‎ ‎（II）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．‎ 方案一：毎满600元可减100元；‎ 方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为都为，且毎次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．‎ ‎①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率．‎ ‎②如果你打算购买1000‎ 元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分折应该选择哪种优惠方案．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点，证明：直线于的交点在一条定直线上.‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（I）当时，证明的图象与轴相切；‎ ‎（II）当时，证明存在两个零点．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在极坐标系中，直线l：，P为直线l上一点，且点P在极轴上方以OP为一边作正三角形逆时针方向，且面积为．‎ ‎（I）求Q点的极坐标；‎ ‎（II）求外接圆的极坐标方程，并判断直线l与外接圆的位置关系．‎ ‎23．（10分）已知函数，‎ ‎（I）当时，解不等式；‎ ‎（II）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2020年春四川省泸县五中高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．A 10．C 11．A 12．D ‎13． 14． 15．-1 16．‎ ‎17．解（1），由得，‎ 由余弦定理得，‎ ‎，:‎ ‎（2）连接，如下图：是的中点，，，‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理得，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，， ‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎18.（1）连接，交于，连接，由于，所以.所以.由于平面，平面，所以平面 ‎（2）因为平面平面，，所以平面，可知两两垂直，分别以的方向为轴，建立空间直角坐标系.设则，.设平面的法向量，则，令，得平面的一个法向量，而，设所求角为，则.故直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎19．（1）由题知，，，，‎ ‎，‎ 则 ‎ ‎.‎ 故与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.‎ ‎（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件，‎ 则,‎ 故所求概率为.‎ ‎②若选择方案一，则需付款（元），‎ 若选择方案二，设付款元，则可能取值为700，800，900，1000.‎ ‎；；‎ ‎；.‎ 所以（元），‎ 因为，所以选择方案二更划算.‎ ‎20解：（1）由题意得 ‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）由（1）得，，，设直线的方程为，‎ ‎，，由，得，‎ ‎，，，‎ 直线的方程为，直线的方程为，‎ ‎，，‎ ‎，直线与的交点在直线上.‎ ‎21．证明：（1）当a＝1时，f（x）＝（x﹣2）lnx+x﹣1．‎ ‎∴f′（x）＝lnx++1，‎ 若f（x）与x轴相切，切点为（x0，0），‎ ‎∴f（x0）＝（x0﹣2）lnx0+x0﹣1＝0‎ f′（x0）＝lnx0++1＝0，解得x0＝1或x0＝4（舍去）‎ ‎∴x0＝1，∴切点为（1，0），‎ 故f（x）的图象与x轴相切 ‎（2）∵f（x）＝（x﹣2）lnx+ax﹣1＝0，‎ ‎∴a＝﹣＝﹣lnx+，‎ 设g（x）＝﹣lnx+，‎ ‎∴g′（x）＝﹣﹣+＝，‎ 令h（x）＝1﹣2x﹣2lnx 易知h（x）在（0，+∞）为减函数，‎ ‎∵h（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，‎ ‎∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，‎ 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，‎ ‎∴g（x）max＝g（1）＝1，‎ 当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，‎ ‎∴当a＜1时，y＝g（x）与y＝a有两个交点，‎ 即当a＜1时，证明f（x）存在两个零点 ‎22．由题意，直线l：，以OP为一边作正三角形逆时针方向，‎ 设，由且面积为，则：，得，所以.‎ 由于为正三角形，所以：OQ的极角为，且，所以 由于为正三角形，得到其外接圆的直径，‎ 设为外接圆上任意一点．‎ 在中，，所以满足．‎ 故的外接圆方程，‎ 又由直线l：和的外接圆直角坐标方程为．‎ 可得圆心到直线的距离，即为半径，故直线与圆相外切．‎ ‎23．（1）当时，，所以，即求不同区间对应解集，所以的解集为.‎ ‎（2）由题意，对任意的恒成立，即对任意的 恒成立，令 ，‎ 所以函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得.‎