上海市大同中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

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上海市大同中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 大同中学高一期中数学试卷 一. 填空题 ‎1.求值:________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设x,x∈,直接利用反三角函数求解.‎ ‎【详解】设x,x∈,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查反三角函数求值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎2.一个扇形的弧长和面积都是5,则这个扇形的圆心角大小是________弧度 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设扇形的半径为R,圆心角是,再根据已知得方程组,解方程组即得解.‎ ‎【详解】设扇形的半径为R,圆心角是,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查扇形的面积和圆心角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎3.函数的定义域是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式即得解.‎ ‎【详解】由题得 所以x∈.‎ 故函数的定义域为 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求法,考查反三角函数和正切函数的定义域,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎4.函数的周期为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得函数的最小正周期为π,再利用图像得到函数的周期.‎ ‎【详解】由题得函数的最小正周期为π,‎ 函数就是把函数的图像在x轴上的保持不变,把x 轴下方的图像对称地翻折到x轴上方,如图,‎ 所以函数的周期为π.‎ 故答案为:π ‎【点睛】本题主要考查函数的周期,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎5.函数(,)的振幅是3,最小正周期是,初相是2,则它的解析式为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的性质求出,即得函数的解析式.‎ ‎【详解】因为函数(,)的振幅是3,所以A=3.‎ 因为函数的最小正周期是,所以.‎ 因为函数的初相是2,所以.‎ 所以函数的解析式为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法和三角函数的图像性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎6.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图),其中,记,,,…,的长度构成的数列为,则的通项公式__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据题意:OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1‎ ‎∴,‎ ‎∴是以1为首项,以1为公差等差数列 ‎∴.‎ 点睛:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.‎ ‎7.已知数列中,,,,则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得数列是等差数列,再求出等差数列的通项公式,再求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以数列是等差数列,‎ 因为,,‎ 所以公差.‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:299‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的判断和通项的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎8.在中,,且,则____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理求出,再利用余弦定理求出.‎ ‎【详解】由正弦定理可知:,又 由余弦定理可知:‎ 本题正确结果:‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题,属于基础题.‎ ‎9.关于的方程恒有实数解,则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简原方程得,再换元得到,再利用方程有解得到m的取值范围.‎ ‎【详解】由题得,‎ 所以,‎ 设 所以,‎ 所以,‎ 由题得的值域为,‎ 因为关于的方程恒有实数解,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查方程的解的问题,考查同角的正弦余弦的关系和三角函数的值域的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.‎ ‎10.中国古代数学名著《九章算术》中“竹九节”问题曰:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问中间两节欲均容各多少?”其意为:“现有一根9节的竹子,自上而下的容积成等差数列,下面3节容量为4升,上面4节容积为3升,问中间2节各多少容积?”则中间2节容积合计________升 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意题意设九节竹至下而上各节的容量分别为,,,,公差为,利用等差数列的前项和公式和通项公式列出方程组,求得首项和公差,再计算中间两节、的值,再求中间2节总容积.‎ ‎【详解】根据题意,九节竹的每一节容量变化均匀,即其每一节的容量成等差数列,‎ 设至下而上各节的容量分别为,,,,公差为,‎ 分析可得:,‎ 解可得,,‎ 则(升,‎ ‎(升.‎ 故中间两节的总容积为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和的计算,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.‎ 二. 选择题题 ‎11.已知数列是等差数列,数列分别满足下列各式,其中数列必为等差数列的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】设数列的公差为d,‎ 选项A,B,C,都不满足同一常数,所以三个选项都是错误的;‎ 对于选项D,,‎ 所以数列必为等差数列.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎12.下列等式中正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用反三角函数对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】选项A,中x,而是错误的,所以该选项错误;‎ 选项B, ,所以该选项是错误的;‎ 选项C,,所以该选项是正确的;‎ 选项D, ,反正切函数是定义域上的单调函数,所以该选项是错误的.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查反三角函数,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎13.若将函数的图像向右平移个单位长度后,与函数的图像重合,则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数的图像向右平移个单位得,所以 ‎,所以得最小值为。‎ ‎14.定义函数,下列命题中正确的是( )‎ A. 该函数的值域是 B. 该函数是以为最小正周期的周期函数 C. 当且仅当()时,该函数取到最大值 D. 当且仅当()时,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为分段函数,由已知分别解出自变量的范围,从而求得的值域为,,取得最大值1时,得或,求解的最小正周期,利用定义来判断,计算出不是的最小正周期,经过验证第四个命题是对的.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ 的值域为,,所以选项A是错误的.‎ 当或时,取得最大值为1.‎ 所以选项C是错误的.‎ 不是以为最小正周期的周期函数,‎ 所以选项B是错误的.‎ 当时,‎ 所以选项D是正确的.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查求解函数的值域、周期、最值等知识,是三角函数的基础知识,应熟练掌握.‎ 三. 解答题 ‎15.已知,求和的值.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知求出,再求出和的值.‎ ‎【详解】由题得,‎ 所以,‎ 所以,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查反三角函数和三角函数求值,意在考查学生对这些知识理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎16.若,试判断△的形状.‎ ‎【答案】等腰或直角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得,再利用和角差角的正弦和二倍角的正弦化简即得解.‎ ‎【详解】因,‎ 所以,‎ 所以 所以,‎ 因为,‎ 所以三角形是等腰三角形或直角三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式,考查和角差角的正弦和二倍角公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎17.一个凸边形的个内角的度数成等差数列,公差是5°,最小内角为120°,求该多边形的边数及最大内角的度数.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设这是个边形,因为最小的角等于,公差等于,则个外角的度数依次是60, 55,50,,,由于任意多边形的外角和都等于 ‎,由此可以建立方程求出这是几边形.再求出最大内角的度数.‎ ‎【详解】设这是个边形,因为最小的角等于,公差等于,‎ 则个外角的度数依次是60,55,50,,,‎ 由于任意多边形的外角和都等于,所以,‎ ‎,‎ 或,经检验不符合题意,舍去,‎ 所以,这是个9边形.最大的内角为.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质和应用,解题时要注意任意多边形的外角和都等于360度的应用.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;‎ ‎(2)求方程在上解的个数.‎ ‎【答案】(1),,;(2)643‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先化简函数f(x),再求函数的最小正周期及单调递增区间;(2)由题得,解方程再给k取值即得解的个数.‎ ‎【详解】由题得 所以,‎ 所以f(x)=,‎ 所以函数的最小正周期为.‎ 令,‎ 所以,‎ 所以函数的单调递增区间为,.‎ ‎(2)由题得,‎ 所以,‎ 因为,‎ 当k=0时,‎ x>2019.‎ 所以方程在上解的个数为643.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.‎ ‎19.已知等差数列的公差,数列满足,集合.‎ ‎(1)若,,求集合;‎ ‎(2)若,求使得集合恰有两个元素;‎ ‎(3)若集合恰有三个元素,,T是不超过5的正整数,求T的所有可能值,并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.‎ ‎【答案】(1);(2)或;(3)或4,时,,;时,,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据等差数列的通项公式写出,进而求出,再根据周期性求解;(2)由集合 的元素个数,分析数列的周期,进而可求得答案;(3)分别令,2,3,4,5进行验证,判断的可能取值,并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合 ‎【详解】(1)等差数列的公差,,数列满足,‎ 集合.‎ 当,‎ 所以集合,0,.‎ ‎(2),数列满足,集合恰好有两个元素,如图:‎ 根据三角函数线,‎ ‎①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时,集合恰好有两个元素,此时,‎ ‎②终边落在上,要使得集合恰好有两个元素,可以使,的终边关于轴对称,如图,,此时,‎ 综上,或者.‎ ‎(3)①当时,,集合,,,符合题意.‎ 与之相应的一个等差数列的通项公式为,此时.‎ ‎②当时,,,,或者,‎ 等差数列的公差,,故,,又,2‎ 当时满足条件,此时,1,.‎ 与之相应的一个等差数列的通项公式为,此时 ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性,是一道综合题.‎ ‎ ‎
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