2017-2018学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等六校高二下学期期末联考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等六校高二下学期期末联考数学（理）试题 Word版

‎2017-2018学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等六校高二下学期期末联考理科数学试卷 ‎ 2018-6-18‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22小题，共150分.共4开，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。) ‎ ‎1．若回归直线的斜率，则相关系数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. 0 D. 无法确定 ‎ ‎2．已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎3．已知随机变量，若，则实数（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎4．已知 ，则（ ）‎ A. 18 B. 24 C. 36 D. 56‎ ‎5．三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．以下四个命题中：‎ ‎①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近；‎ ‎②若数据的方差为,则的方差为；‎ ‎③对分类变量与的随机变量的观测值来说, 越小,判断“与有关系”的把握程度越大.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．如右图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．将编号为1,2,3,4的四个小球放入A,B,C三个盒子中，若每个盒子至少放一个球，且1号球和2号球不能放在同一个盒子，则不同的放法种数为（ ）‎ A. 24 B. 30 C. 48 D. 72‎ ‎9．若离散型随机变量的分布列为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，，则异面直线与所成的角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）‎ ‎12.用五种不同的颜色给图中六个小长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域颜色不同，则共有涂色方法（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．某公司安排6位员工在元旦假期（1月1日至1月3日）值班，每天安排2人，每人值班一天，则6位员工中甲不在1月1日值班的概率为__________;‎ ‎14．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________;‎ ‎15．展开式中二项式系数和为32，则展开式中的系数为_________;‎ ‎16．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：‎ ‎①P（B）=；②P（B|A1）=；③事件B与事件A1不相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关，其中正确结论的序号为 ．（把正确结论的序号都填上）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分12分）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展，以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：‎ ‎（1）请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测2018年我国新能源乘用车的销售量（精确到0.1）‎ 附：最小二乘估计公式：.‎ 参考数据：‎ ‎22.72‎ ‎374‎ ‎135.2‎ ‎851.2‎ 其中 ‎18.（本小题满分12分）如图，在中,已知，在上，且，又平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．‎ ‎（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？‎ ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为，求的期望．‎ 附：‎ ‎20．（本小题满分12分）如图甲所示， 是梯形的高， ， ， ，现将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得，点是线段上一动点.‎ ‎（1）证明： 和不可能垂直；‎ ‎（2）当时，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎21．（本小题满分12分）某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎（1）求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；‎ ‎（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：‎ 年入流量 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎22．（本小题满分10分）已知函数 ‎（1）当时，解不等式 ‎（2）若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 高二数学（理）参考答案 ‎1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．B ‎7．C 8．B 9．A 10．C 11．B 12．D ‎13． 14．8π 15． 16．②③④‎ ‎---------- 8分 ‎---------- 6分 ‎17.‎ ‎7分 ‎2分 ‎12分 ‎10分 ‎9分 ‎18. (Ⅰ)证明：设OA=1,则PO=OB=2,DA=1, ‎ 由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，‎ ‎∴DA⊥AO.从而DO= ,PD= ，‎ 在△PDO中，∵PO=2，‎ ‎∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO.‎ 又∵OC=OB=2,∠ABC=45∘，‎ ‎∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，‎ ‎∴PO⊥OC，‎ 又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，‎ ‎∴CO⊥平面PAB.‎ 故CO⊥PD.‎ ‎∵CO∩DO=O，‎ ‎∴PD⊥平面COD. ………………6分 ‎(Ⅱ)以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图。‎ 则由(Ⅰ)知,C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,−1,1)，‎ ‎∴=(0,−1,−1), =(2,−2,0), =(0,−3,1)，‎ 由(Ⅰ)知PD⊥平面COD,∴是平面DCO的一个法向量，‎ 设平面BDC的法向量为=(x,y,z),∴,∴，‎ 令y=1,则x=1,z=3,∴=(1,1,3)，‎ ‎∴cos<,＞‎ 由图可知：二面角B−DC−O为锐角,二面角B−DC−O的余弦值为………………12分 ‎---------- 6分 ‎19.（1）由题意可得列联表：‎ 物理优秀 物理不优秀 总计 数学优秀 ‎60‎ ‎140‎ ‎160‎ 数学不优秀 ‎100‎ ‎500‎ ‎640‎ 总计 ‎200‎ ‎600‎ ‎800‎ 因为K2==16.667>10.828．           …（8分）‎ 所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．‎ ‎（2）每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.375．‎ 将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率为．由题意可知X～B（3，），从而E（X）=np= ．          …（12分）‎ ‎20. 【答案】（1）详见解析; （2）.‎ ‎【解析】试题分析：由于折叠后，经过计算知，这样两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标．‎ ‎（1）否定性命题，可假设，同时设（），利用向量垂直计算出，如果满足说明存在，如果不满足说明不存在；‎ ‎（2）由得点坐标，从而可求出平面的法向量，则向量与夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值．‎ 解析：如图甲所示，因为是梯形的高，，所以,因为，，可得，,如图乙所示，， ，，所以有，所以,而，，所以平面,又，所以、、两两垂直．故以为原点，建立空间直角坐标系（如图），则，，,‎ ‎（1）设其中，所以 ，，假设和垂直，则，有，解得，这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直.……………………6分 ‎（2）因为，所以 ,设平面的一个法向量是，因为，，所以，，即,取,而，所以,所以与平面所成角的正弦值为.……………………12分‎---------- 6分 ‎21. 【答案】（1）（2）欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用二项分布求得分布列，然后可得数学期望为0.3；‎ ‎(2)利用题意分类讨论可得应安装2台发电机．‎ 试题解析：（1）依题意，， ‎ 由二项分布可知，. ‎ ‎,,‎ ‎,, ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.729‎ ‎0.243‎ ‎0.027‎ ‎0.001‎ ‎ . ……………………6分 ‎（2）记水电站的总利润为（单位：万元），‎ ‎①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年 利润，； ‎ ‎②若安装2台发电机，‎ 当时，只一台发电机运行，此时，， ‎ 当时，2台发电机运行，此时，，‎ ‎. ‎ ‎③若安装3台发电机，‎ 当时，1台发电机运行，此时，，‎ 当时，2台发电机运行，此时，，‎ 当时，3台发电机运行，此时，，‎ ‎ ‎ 综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机. ……………………12分 ‎22.‎ ‎--------- 5分 ‎---------- 10分