2018届高三数学一轮复习： 第2章 第3节 课时分层训练6

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第3节 课时分层训练6

课时分层训练(六)　函数的奇偶性与周期性 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2016·广东肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是(　　)‎ A．3　　　 B.‎2　‎　‎ C.1　　　 D.0‎ B　[y＝xcos x是奇函数，y＝lg和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，故选B.]‎ ‎2．函数y＝log2的图象(　　) ‎ ‎【导学号：01772034】‎ A．关于原点对称 B.关于直线y＝－x对称 C．关于y轴对称 D.关于直线y＝x对称 A　[由＞0得－1＜x＜1，‎ 即函数定义域为(－1,1)，‎ 又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，‎ ‎∴函数y＝log2为奇函数，故选A.]‎ ‎3．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)＝(　　)‎ A．－2 B.－1‎ C．0 D.2‎ D　[由题意知当x>时，f＝f，‎ 则f(x＋1)＝f(x)．‎ 又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．‎ 又当x<0时，f(x)＝x3－1，‎ ‎∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]‎ ‎4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝(　　)‎ A．－2 B.2‎ C．－98 D.98‎ A　[∵f(x＋4)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是以4为周期的周期函数，‎ ‎∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．‎ 又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，‎ 即f(2 019)＝－2.]‎ ‎5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(‎2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)‎ A．f(x)＝ B.f(x)＝x2‎ C．f(x)＝tan x D.f(x)＝cos(x＋1)‎ D　[由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. ‎ ‎【导学号：01772035】‎ ‎－－1　[∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，‎ ‎∴当x＜0时，－x＞0，‎ f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，‎ 即x＜0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.]‎ ‎7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝是奇函数，则实数a ‎＝________.‎ ‎－2　[由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，‎ ‎∴a＝－2.]‎ ‎8．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．‎ ‎1　[由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，‎ ‎∴f(2)＝0.‎ ‎∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，‎ ‎∴f(2)－f(3)＝1.]‎ 三、解答题 ‎9．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)的表达式．‎ ‎[解]　在f(x)＋g(x)＝中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，3分 又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，‎ 所以－f(x)＋g(x)＝，6分 联立方程9分 两式相减得f(x)＝＝.12分 ‎10．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.‎ ‎(1)求f(1)和f(－1)的值；‎ ‎(2)求f(x)在[－1,1]上的解析式．‎ ‎[解]　(1)∵f(x)是周期为2的奇函数，‎ ‎∴f(1)＝f(2－1)＝f(－1)＝－f(1)，3分 ‎∴f(1)＝0，f(－1)＝0.5分 ‎(2)由题意知，f(0)＝0.当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．‎ 由f(x)是奇函数，‎ ‎∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－，9分 综上，在[－1,1]上，f(x)＝12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．定义运算a⊕b＝，a⊗b＝，则f(x)＝为(　　)‎ A．奇函数 B.偶函数 C．常函数 D.非奇非偶函数 A　[由定义得f(x)＝.‎ ‎∵4－x2≥0，且－2≠0，‎ 即x∈[－2,0)∪(0,2]．‎ ‎∴f(x)＝＝－(x∈[－2,0)∪(0,2])，‎ ‎∴f(－x)＝，∴f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数．]‎ ‎2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．‎ ‎ 【导学号：01772036】‎ ‎－10　[因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，‎ 所以f＝f，‎ 且f(－1)＝f(1)，故f＝f，‎ 从而＝－a＋1，‎ 即3a＋2b＝－2.①‎ 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，‎ 即b＝－2a.②‎ 由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝是奇函数，‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设x＜0，则－x＞0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.2分 又f(x)为奇函数，‎ 所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x＜0时，‎ f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.5分 ‎(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，‎ 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．‎ 结合f(x)的图象知9分 所以1＜a≤3，‎ 故实数a的取值范围是(1,3].12分