新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：4-3-2 半角公式 课件（112张）

新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：4-3-2 半角公式 课件（112张）

3.2　半 角 公 式 必备知识·自主学习 导思 1.如何利用二倍角公式推出半角公式? 2.怎样确定半角公式根号前的符号? 半角公式 【思考】 　(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的? 提示:倍角的余弦公式.推导如下: 在倍角公式cos 2α=1-2sin2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以 代替α,即得: cos α=1-2sin2 =2cos2 -1. 所以sin2 = ,cos2 = , tan2 = .开方可得半角公式. 2  2  2  2  2  2  1 cos 2   1 cos 2 ＋ 1 cos 1 cos   ＋ 　(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择? 提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若 给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求 所在范围,然后根据 所在范围 选用符号. 　(3)半角公式对α∈R都成立吗? 提示:公式 对α∈R都成立,但公式 要求α≠(2k+1)π(k∈Z). 2  2  2 2 C S ， 2 T 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)cos . (　　) (2)存在α∈R,使得cos cos α. (　　) (3)对于任意α∈R,sin sin α都不成立. (　　) (4)若α是第一象限角,则tan . (　　) 1 cos 2 2  ＋＝ 1 2 2 ＝ 1 2 2 ＝ 1 cos 2 1 cos     ＝ ＋ 提示:(1)×.只有当- +2kπ≤ ≤ +2kπ(k∈Z), 即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos . (2)√.当cos α=- +1时,上式成立,但一般情况下不成立. (3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立. (4)√.若α是第一象限角,则 是第一、三象限角,此时tan 成立. 2  2  2  1 cos 2 2  ＋＝ 3 2  1 cos 2 1 cos     ＝ ＋ 2. 的值等于(　　) A.sin 40° B.sin 50° C.cos 130° D.±cos 50° 【解析】选B.因为 =|sin 50°|, 又因为sin 50°>0,所以原式=sin 50°. 1 cos 100 2   1 cos 100 2   3.(教材二次开发:例题改编)若cos α= ,α∈(0,π),则cos 的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【解析】选C.因为 ,所以cos >0, cos . 2 3 2  6 6 30 30A. B. C. D. 6 6 6 6   (0 ) 2 2    ， 2  1 cos 30 2 2 6  ＋＝ ＝ 关键能力·合作学习 类型一　半角公式求值(数学运算) 　角度1　给角求值  【典例】求值: (1)sin =________.  (2)tan =________.   【思路导引】利用半角公式求解. 12  8  【解析】(1)sin . (2)tan . 答案:(1) 　 (2) -1 1 cos 2 3 2 36 12 2 4 2        21 cos 1 4 2 2 1 8 21 cos 14 2           2 3 2  2 【变式探究】 　本例(1)的条件若改为“cos ”,结果为什么? 【解析】cos = = . 12  12  1 cos 6 2   2 3 2 3 4 2    　角度2　给值求值  【典例】已知cos α= ,α为第四象限角,则tan 的值为________.  3 3 2  【解析】方法一:(用tan 来处理) 因为α为第四象限角, 所以 是第二或第四象限角.所以tan <0. 所以tan = = . 答案: 1 cos 2 1 cos       ＝ 2  2  2  311 cos 3 2 3 1 cos 31 3          ＝ ＝ 21 1 2 68 4 3 ( 6 2) 2 2 2     ＝ ＝ 2 6 2  方法二:(用tan 来处理) 因为α为第四象限的角,所以sin α<0. 所以sin α= . 所以tan . 答案: 1 cos 2 sin     ＝ 2 1 61 cos 1 3 3      ＝ ＝ 311 cos 2 63 2 sin 26 3       ＝ ＝ ＝ 2 6 2  方法三:(用tan 来处理) 因为α为第四象限的角,所以sin α<0. 所以sin α= . 所以tan . 答案: sin 2 1 cos     ＝ 2 1 61 cos 1 3 3      ＝ ＝ 6 sin 6 2 63 2 1 cos 23 3 31 3         ＝ ＝ ＝ ＝ 2 6 2  【解题策略】 利用半角公式求值的思路 (1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常 常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围, 求出相应半角的范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ,其优点是 计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常 先利用sin2 ,cos2 计算. (4)下结论:结合(2)求值. sin 1 cos 2 1 cos sin          1 cos 2 2     1 cos 2 2     【题组训练】 1.(2020·银川高一检测)已知a= cos 6°- sin 6°,b= , 则有 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a>b B.a0,sin 2θ=2sin θcos θ<0,所以cos θ =- <0, 所以tan =3. 3 5 2  1 2 1 2 1 3 3 5 4 5 411 cos 5 32 sin 5       3.(2020·福州高一检测)阿耶波多第一(Aryabhata I)是已知的印度最早的数 学家, 对三角学的发展作出了巨大的贡献, 公元6世纪初,他用勾股定理先算出 30°,45°,90°的正弦值之后,再用半角公式算出较小角的正弦值,从而获得每 隔3°45′的正弦值表.若已知38°56′的正弦值近似为 ,则按照阿耶波多 第一的方法,可以算出19°28′的正弦值为________.  4 2 9 【解析】设sin 19°28′=x, 则cos 19°28′= , 根据二倍角正弦公式得:sin 38°56′=2x = ,解得x= (其他值舍去). 答案: 21 x 21 x 4 2 9 1 3 1 3 【补偿训练】 已知sin α= ,cos α= ,则tan 等于(　　) A.2- 　　　　　 B.2+ C. -2 　 D.±( -2) 5 5 2 5 5 2  5 5 5 5 【解析】选C.因为sin α= >0,cos α= >0, 所以α的终边落在第一象限, 的终边落在第一、三象限,所以tan >0,故 tan = = . 5 5 2 5 5 2  2  2  1 cos 1 cos   ＋ 2 51 5 5 2 2 51 5  ＝ ＋ 类型二　三角函数式的化简(数学运算) 【典例】已知π<α< ,化简: . 3 2  1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos           ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 【解题策略】 化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消 除角之间的差异,合理选择联系它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为 切. (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配 方、开方等. 【跟踪训练】 　已知α∈(π,2π),则 等于 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.sin B.cos C.-sin D.-cos 【解析】选D.因为α∈(π,2π),所以 ∈ , 所以 = =-cos . 1 cos( ) 2   2  2  2  2  2  ( , ) 2   1 cos( ) 1 cos 2 2      | cos | 2  2  【拓展延伸】 　　万能公式 (1)万能公式:sin α= ,cos α= , 　　　tan α= . 2 2tan 2 1 tan 2    2 2 1 tan 2 1 tan 2     2 2tan 2 1 tan 2    (2)万能公式的推导: sin α=2sin ·cos = = , cos α=cos 2 -sin 2 = = , tan α=tan = . 2  2  2 2 2sin cos 2 2 sin cos 2 2      g 2 2tan 2 1 tan 2    2  2  2 2 2 2 cos sin 2 2 sin cos 2 2       2 2 1 tan 2 1 tan 2     (2 ) 2 g 2 2tan 2 1 tan 2    上面三个公式不论α的哪一种三角函数,都可以表示成tan 的“有理式”,这 样就可以把问题转化为以tan 为变量的“一元有理函数”,实现了三角问题 向代数问题的转化,有利于问题的解决. 2  2  (3)公式的适用范围:sin α= ,α≠2kπ+π,k∈Z; cos α= ,α≠2kπ+π,k∈Z; tan α= ,α≠2kπ+π且α≠2kπ+ ,k∈Z. 2 2tan 2 1 tan 2    2 2 1 tan 2 1 tan 2     2 2tan 2 1 tan 2    2  　【拓展训练】 1.(2020·石家庄高一检测)已知α为锐角,且tan α=m,cos 2α=- , 则sin2 = (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 2 m m 4 ( ) 4    2 2 1A. B. 3 3 2 4 9C. D. 5 5  【解题指南】利用万能公式的余弦公式、同角的三角函数关系化简已知等式, 解得m2=2,可求cos 2α的值,根据同角三角函数关系可求sin 2α的值,进而利用 二倍角公式化简所求即可. 【解析】选B.因为cos 2α= = , 解得m2=2, 所以cos 2α=- , 因为0<α< ,所以0<2α<π, 所以sin 2α= , 所以sin2 . 2 2 2 2 1 tan 1 m 1 tan 1 m        2 2 m m 4   1 3 2  2 2 21 cos 2 3    1 cos( 2 ) 1 sin 2 2 12( ) 4 2 2 2 3 2             2.(2020·上海高一检测)已知α,β∈(0,π),tan ,sin (α-β)= , 求cos β. 1 2 2   5 13 【解析】因为tan , 所以sin α= , cos α= , 1 2 2   2 2 12tan 2 42 2 1 51 tan 1 ( ) 2 2        2 2 2 2 11 tan 1 ( ) 32 2 1 51 tan 1 ( ) 2 2         因为α,β∈ ,cos α>0, 所以α∈ , 所以α-β∈ , (0, ) (0, ) 2  ( , ) 2   因为sin (α-β)= >0, 所以α-β∈ , 所以cos(α-β)= , 所以cos β=cos(-β)=cos(α-β-α) =cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α = . 答案: 5 13 (0, ) 2  12 13 12 3 5 4 56 13 5 13 5 65     56 65 类型三　三角恒等式的证明(逻辑推理) 【典例】1.求证: . 2.求证: . 2cos 1 sin 21 4tan 2tan 2       2 2 2 2 sin( )sin( ) tan1 sin cos tan          ＋ ＝ 【思路导引】1.从左边入手,按照“角统一的原则”,将 利用半角公式转化 为α,再转化为2α即可; 2.方法一:从左边入手,利用和差角公式展开整理得到右边形式;方法二:从右边 入手,切化弦后通分再利用和差角公式的逆用得到左边的形式. 2  【证明】1.左边= = sin αcos α= sin 2α=右边,故原式成立. 2.方法一:左边 = = =1- =右边,所以原等式成立. 2 2cos cos 1 cos 1 cos 2cos sin sin sin             1 2 1 4 2 2 (sin cos cos sin )(sin cos cos sin ) sin cos           ＋ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos sin1 sin cos sin cos            ＝ 2 2 tan tan   方法二:右边=1- = = = =左边,所以原等式成立. 2 2 2 2 cos sin sin cos     2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin sin cos       2 2 (sin cos cos sin )(sin cos cos sin ) sin cos           ＋ 2 2 sin( )sin( ) sin cos       ＋ 【解题策略】 证明三角恒等式的原则 (1)由繁到简:一般由式子较复杂的一边向较简单的一边化简证明. (2)两边夹:对于式子两边都比较复杂的式子,则采取两边同时化简,找到一个共 同的“第三者”从而证明等式成立. (3)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”,还是由“倍”到“单”,或是需消 去一个角,从而采取不同的变换. (4)变名:观察函数名称的关系,采用弦切互化,降幂等方法,实现三角函数名称 的变换. 【补偿训练】 　　 求证:2sin4x+ sin22x+5cos4x- (cos 4x+cos 2x)=2(1+cos2x). 3 4 1 2 【证明】左边=2 + sin22x+ 5 - (cos 4x+cos 2x) =2× + sin22x+5× - (2cos22x-1+cos 2x) 21 cos 2x( ) 2  3 4 21 cos 2x( ) 2 ＋ 1 2 21 2cos 2x cos 2x 4  ＋ 3 4 21 2cos 2x cos 2x 4 ＋ ＋ 1 2 = = +cos 2x+ cos22x+ sin22x= +cos 2x+ =3+cos 2x=3+(2cos2x-1) =2(1+cos2x)=右边,所以原式成立. 2 2 2 2 1 5 1 2cos 2x 2cos 2x 1 cos 2x( ) [2 ( ) 5 cos 2x] 2 2 4 2 4 4 2 4 cos 2x 1 35 2cos 2x sin 2x 4 2 4            ＋ ＋ ＋ ＋ 9 4 3 4 3 4 9 4 3 4 备选类型　半角公式的综合应用(数学运算) 【典例】(2020·大同高一检测)已知x0,x0+ 是函数f(x)=cos2 - sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点. (1)求f 的值; (2)若对任意x∈ ,都有f(x)-m≤0,求实数m的取值范围; (3)若关于x的方程 f(x)-m=1在x∈ 上有两个不同的解,求实数m的 取值范围. 2  ( x ) 6    ( ) 12  7[ ,0] 12   4 3 3 [0, ] 2  【思路导引】(1)利用半角公式的平方形式以及辅助角公式将函数表达式转化 为正弦型函数形式,然后代值求解; (2)利用参变量分离的方法将本题转化为最值问题求解; (3)可结合函数的图象分析得结论. 【解析】(1)f(x)= = = = = = sin . 1 cos(2 x ) 1 cos 2 x3 2 2        1 [cos(2 x ) cos 2 x] 2 3      1 1 3[( cos 2 x sin 2 x) cos 2 x] 2 2 2      1 3 3( sin 2 x cos 2 x) 2 2 2    3 1 3( sin 2 x cos 2 x) 2 2 2    3 2 (2 x ) 3    由题意可知,f(x)的最小正周期T=π, 所以 =π, 又因为ω>0, 所以ω=1, 所以f(x)= . 所以f . 2 | 2 |   3 sin(2x ) 2 3   3 3 3( ) sin(2 ) sin 12 2 12 3 2 2 2          (2)由f(x)-m≤0得,f(x)≤m, 所以m≥f(x)max, 因为 ≤x≤0, 所以- ≤2x+ ≤ , 所以-1≤sin ≤ , 7 12   5 6  3  3  (2x ) 3   3 2 所以- ≤ sin ≤ , 即f(x)max= , 所以m≥ ,所以m∈ . 3 2 3 2 (2x ) 3   3 4 3 4 3 4 3[ , ) 4  (3)原方程可化为 · sin =m+1, 即2sin =m+1,0≤x≤ , 记y=2sin , 则当x=0时,y=2sin = ,又y的最大值为2, 所以要使方程在x∈ 上有两个不同的解, 即 ≤m+1<2,即 -1≤m<1, 所以m∈ . 4 3 3 3 2 (2x ) 3   (2x ) 3   2  (2x ) 3   3  3 [0 ] 2 ， 3 3 [ 3 1,1) 【解题策略】 　求与已知角或边有关的参数的范围或者最值问题,要建立参数与已知角或边 的关系,然后把角或边作为自变量,参数作为函数值,转化为函数关系,将原问题 转化为求函数的值域问题.这里要把角或边的范围找完备.避免结果的范围过大, 求最值时,经常用到参变量分离、基本不等式等方法. 【跟踪训练】 　已知函数f(x)= . (1)求f 的值; (2)当x∈ 时,求g(x)= f(x)+sin 2x的最大值和最小值. 4 2 4cos x 2cos 2x 1 tan( x) sin ( x) 4 4     g＋ 17( ) 12   [0 ] 2 ， 1 2 【解析】(1)f(x)= = 4 2 4cos x 2cos 2x 1 tan( x) sin ( x) 4 4     g＋ 2 2 1 cos 2x4( ) 2cos 2x 1 2 tan( x) cos ( x) 4 4    g ＋ ＋ ＋ = = =2cos 2x. 所以f =2cos =2cos =- . 2 2cos 2x cos 2x 1sin( x)cos( x) sin( 2x) 4 4 2 2    ＝ ＋ ＋ ＋ 2cos 2x 1 cos 2x 2 17( ) 12   17 6  5 6  3 (2)由(1)知f(x)=2cos 2x, g(x)= f(x)+sin 2x=cos 2x+sin 2x = sin . 因为x∈ ,所以 ≤2x+ ≤ , 所以g(x)max= ,g(x)min=-1. 1 2 2 (2x ) 4 ＋ [0 ] 2 ， 4  4  5 4  2 1.已知cos θ=- (-180°<θ<-90°),则cos = (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【解析】选B.因为-180°<θ<-90°, 所以-90°< <-45°.又cos θ=- , 所以cos . 课堂检测·素养达标 1 4 2  6 6 3 3A. B. C. D. 4 4 8 8   2  1 4 111 cos 64 2 2 2 4  ＋＝ ＝ ＝ 2.(教材二次开发:练习改编)若cos 22°=a,则sin 11°=________, cos 11°=________. 【解析】cos 22°=2cos211°-1=1-2sin211°, 所以cos 11°= . sin 11°= . 答案: 　 1 cos 22 1 a 2 2     1 cos 22 1 a 2 2     1 a 2  1 a 2  3.化简: =________. 【解析】原式= , 因为 <θ<2π,所以 < <π, 所以sin >0,故原式=sin . 答案:sin 1 cos(3 ) 2   1 cos | sin | 2 2     3( 2 ) 2      3 2  3 4  2  2  2  2  4.(2020·广州高一检测)在平面直角坐标系xOy中,以x轴的非负半轴为始边作两 个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别 为 ,求cos +sin +tan 的值. 【解析】依题意,得cos α= ,cos β= .因为α,β为锐角, 所以cos +sin +tan = = . 1 2, 3 3 2  2  2  1 3 2 3 2  2  2  1 cos 1 cos 1 cos 2 2 1 cos           1 2 11 1 1 2 63 3 3 12 2 21 3         三十四　半 角 公 式 【基础通关——水平一】 (15分钟　35分) 1.已知cos θ=- ,θ∈ ,则sin +cos = (　　) 课时素养评价 7 25 ( ,2 )  2  2  7 7A. B. 5 5 1 1C. D. 5 5   【解析】选D.因为θ∈ ,所以 , 所以sin ,cos , 所以sin +cos = . ( ,2 )  ( , ) 2 2     1 cos 4 2 2 5      1 cos 3 2 2 5        2  2  1 5 2.(2020·西安高一检测)已知cos α=- ,α∈ ,则 = (　　) A.- B.-2 C. D.2 【解析】选B.由cos α=- ,α∈ , 得sin α=- , ,所以 =-2. 4 5 3( , ) 2   1 tan 2 1 tan 2     1 2 1 2 4 5 3( , ) 2   3 5 21 tan cos sin 1 sin 152 2 2 4cos 21 tan cos sin 2 2 2 5                   1 tan 2 1 tan 2     3.(2020·济南高一检测)在△ABC中,若sin Bsin C=cos 2 ,则下面等式一定 成立的为(　　) A.A=B B.A=C C.B=C D.A=B=C 【解析】选C.在△ABC中,因为sin Bsin C=cos 2 , 所以2sin Bsin C=-cos Bcos C+sin Bsin C+1, 所以cos Bcos C+sin Bsin C=cos(B-C)=1, 因为-π0, 所以 =-cos α. 所以原式= . 答案:sin 3( , ) 2   3( , ) 2 2 4     2  1 1 cos 2 | cos | 2 2     1 1 cos | sin | sin 2 2 2 2       2  6.(2020·浦东高二检测)已知α,β∈ 且α<β,若sin α= , cos(α-β)= , 求:(1)cos β的值;(2)tan 的值. (0, ) 2  3 5 12 13 2  【解析】(1)因为α,β∈ ,sin α= , 所以cos α= , 因为α<β,所以α-β∈ , 又cos , (0, ) 2  3 5 4 5 ( ,0) 2   12( ) 13    所以sin , 所以cos β=cos =cos αcos +sin αsin = . (2)由(1)得cos β= ,所以sin β= , 所以tan . 5( ) 13     [ ( )]    ( )  ( )  4 12 3 5 33 5 13 5 13 65     33 65 56 65 56 sin 465 332 1 cos 71 65         【能力进阶——水平二】 (30分钟　60分) 一、单选题(每小题5分,共20分) 1.(2020·洛阳高二检测)已知cos ,α∈ ,则sin =(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 3 2 5   (0,2 ) ( ) 4    10 10 3 10 3 10A. B. C. D. 10 10 10 10   【解析】选C.因为角 是 的2倍, 所以sin2 , 因为α∈ , 所以 , 所以sin , 2  4  311 cos 152 4 2 2 5      (0,2 ) (0, ) 4 2    1 5 4 5 5    所以cos , 所以sin =sin =sin ·cos +cos sin = . 2 1 2 51 sin 1 4 4 5 5        ( ) 4    ( ) 4 4    4  4  4  4  5 2 2 5 2 3 10 5 2 5 2 10     2.(2020·延安高一检测)设cos(x+y)sin x-sin(x+y)cos x= ,且y是第四象 限角,则tan 的值是 (　　) 12 13 y 2 2 3 3 2A. B. C. D. 3 2 2 3     【解析】选A.因为cos(x+y)sin x-sin(x+y)cos x= ,所以sin y= sin =sin(x+y)cos x-cos(x+y)sin x=- , 因为y是第四象限角,所以cos y= ,由半角公式得 tan . 12 13  [ x y x]  12 13 2 212 51 sin y 1 ( ) 13 13      12 y sin y 12 13 213 52 1 cos y 13 18 31 13           3.(2020·三亚高一检测)若3π0. 于是 = . 3 x 2 2   x 2 x 2 1 cos x 1 cos x x x x x 2 x 2 x| cos | | sin | cos sin 2( cos sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2          x2sin( ) 4 2   　【补偿训练】 　　给出下列等式: (1) ; (2) =tan(α-β); (3) ; 1 2tan 2 tantan 2       sin( ) 2sin cos 2sin sin cos( )          5 5tan tan 4 12 351 tan 12        (4)tan2 . 其中正确的等式序号是________.(将你认为正确的等式序号全部写出来) 1 cos 2 1 cos       【解析】对于等式(1),左边= ,等式(1)不成立; 对于等式(2), 左边= = = ,等式(2)不成立; 2 21 tan 1 tan 22 22 tantan 2tan 2 2           sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin             sin cos cos sin cos cos sin sin          sin( ) tan( ) cos( )          对于等式(3),左边= = =tan ,等式(3)成立; 对于等式(4),等式右边= ,等式(4)成立. 答案:(3)(4) 5 5tan tan 4 12 5 51 tan tan 4 12       5 5 5tan( ) tan 4 12 3      (2 ) tan 3 3 3        2 2 2 2 2 1 (1 2sin ) 2sin 2 2 tan 21 (2cos 1) 2cos 2 2            4.已知函数f(α)=4(sin 2α-cos 2α)+2,在锐角三角形ABC中f(A)=6,且cos 2B=cos 2C,则tan B的值为 (　　) A.1 B. 2 1 2C. 2 1 D. 2   【解析】选C.因为函数f(α)=4(sin 2α-cos 2α)+2 = , 又因为在锐角三角形ABC中,f(A)=6, 所以f(A)= , 即sin ,所以2A- = 或 2A- = ,解得A= 或A= (舍去), 4 2sin (2 ) 2 4     4 2sin (2A ) 2 6 4     2(2A ) 4 2    4  4  4  3 4  4  2  又因为cos 2B=cos 2C, 所以2B=2C ,即B=C= , 所以tan B= . 3 8  2 sin 2B 2 2 1 1 cos 2B 21 2      【误区警示】注意本题中锐角三角形的限制,产生多解后要对其进行检验. 二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错 的得0分) 5.(2020·长沙高一检测)下列三角式中,值为1的是 (　　) 2 2 2 A.4sin 15 cos 15 B.2(cos sin ) 6 6 2tan 22.5 1 1C. D. cos 1 tan 22.5 2 2 6           【解析】选ABC.A.4sin 15°cos 15°=2sin(2×15°)=2sin 30°=1,本选项 符合题意; B. ,本选项符合题意; C. =tan(2×22.5°)=tan 45°=1,本选项符合题意; D. ,本选项不符合题意. 2 22(cos sin ) 2cos(2 ) 2cos 1 6 6 6 3          2 2tan 22.5 1 tan 22.5    21 1 1cos cos ( ) cos 1 2 2 6 2 6 12         6.已知函数f(x)= -2sin xcos x,则下列选项正确的是 (　　) A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)在区间 上单调递增 C.函数f(x)的图象关于点 对称 D.函数f(x)的图象关于x=- 对称 2 2 1 tan x 1 tan x   [ , ] 8 8    ( ,0) 8   8  【解析】选AD.因为f(x)= -2sin xcos x =cos 2x-sin 2x= cos , 对选项A,函数的最小正周期为T= =π,故正确; 对选项B,因为- ≤x≤ ⇒0≤2x+ ≤ , 所以f(x)在 上单调递减,故错误; 1 cos 2x1 1 cos 2x 1 cos 2x1 1 cos 2x       2 (2x ) 4   2 2  8  8  4  2  [ , ] 8 8    对选项C,f = cos ,函数不关于点 对称,故错误. 对选项D,f = cos ,函数f(x)的图象关于x=- 对称, 故正确. ( ) 8   2 ( ) 2 4 4      ( ,0) 8   ( ) 8   2 ( ) 2 4 4      8  【光速解题】B选项可以将区间端点值代入验证得 f >f ,故不成立,由对称中心在平衡位置处及对称轴对应的函数值 为最大或最小值易知C错D对. ( ) 8   ( ) 8  三、填空题(每小题5分,共10分) 7.(2020·杭州高一检测)若α的终边上的点(x,y)满足y=2x , 则sin α-cos α=________,tan =________. (x 0) 2  【解析】在α的终边上,任意取一点 , 则sin α= , cos α= , 则sin α-cos α= , tan . 答案:- 　- ( 1, 2)  2 2 1 4 5     1 1 1 4 5     1 5 55    1 cos 1 5 2 sin 2         5 5 1 5 2  8.(2020·上海高一检测)若△ABC为等腰三角形,顶角为A,cos A=- ,则 sin B=________. 【解题指南】利用等腰三角形进行A,B两角的关系转化,从而由A角的函数值得 B角的函数值. 4 5 【解析】因为△ABC为等腰三角形,顶角为A, 所以B= ,sin B=sin =cos , 由半角公式得cos , 又cos A<0,故A为钝角, , 所以sin B=cos . 答案: A 2  A( ) 2  A 2 A 1 cos A 10 2 2 10      A ( , ) 2 4 2    A 10 2 10  10 10 四、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知函数f(x)= . (1)求f 的值; (2)当x∈ 时,求g(x)= f(x)+sin 2x的最大值和最小值. 4 2 4cos x 2cos 2x 1 tan( x) sin ( x) 4 4     g＋ 17( ) 12   [0 ] 2 ， 1 2 【解析】(1)f(x)= = = =2cos 2x. 所以f =2cos =2cos =- . 4 2 4cos x 2cos 2x 1 tan( x) sin ( x) 4 4     g＋ 2 2 1 cos 2x4( ) 2cos 2x 1 2 tan( x) cos ( x) 4 4    g ＋ ＋ ＋ 2 2cos 2x cos 2x 1sin( x)cos( x) sin( 2x) 4 4 2 2    ＝ ＋ ＋ ＋ 2cos 2x 1 cos 2x 2 17( ) 12   17 6  5 6  3 (2)由(1)知f(x)=2cos 2x, g(x)= f(x)+sin 2x=cos 2x+sin 2x = . 因为x∈ ,所以 ≤2x+ ≤ , 所以g(x)max= ,g(x)min=-1. 1 2 2sin(2x ) 4 ＋ [0 ] 2 ， 4  4  5 4  2 10.(2020·上海高一检测)如图,在xOy平面上,点A(1,0),点B在单位圆 上,∠AOB=θ(0<θ<π). (1)若点B ,求tan 的值; (2)若 ,四边形OACB的面积用Sθ表示,求Sθ+ 的取值 范围. 3 4( , ) 5 5  ( ) 2 4    OA OB OC  uuur uur uuur OA OC uuur uuur g 【解析】(1)因为B ,∠AOB=θ, 所以cos θ=- ,sin θ= . 所以tan . 所以tan . 3 4( , ) 5 5  3 5 4 5 4 sin 5 232 1 cos 1 5         1 tan 1 22( ) 3 2 4 1 21 tan 2            (2)Sθ= sin θ=sin θ, 因为 , 所以 , 所以 =1+cos θ, 所以Sθ+ =sin θ+cos θ+1 = +1(0<θ<π), |OA||OB| OA (1,0) OB (cos ,sin )    uuur uur ， OC OA OB (1 cos ,sin )      uuur uuur uur OA OC uuur uuur g OA OC uuur uuur g 2sin( ) 4   因为 <θ+ < , 所以-

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