2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

安徽省定远重点中学2018-2019学年度上学期期中考试 高二理科数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。‎ 第I卷 选择题 （共60分）‎ 一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案）‎ ‎1.已知命题 ， ；命题，使则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A. B. p∧(q) C. D. ‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“”的否定是：“” B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“若，则”的否命题是：若，则 D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ ‎3.设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段 ‎4.设分别是椭圆的左,右焦点， 是椭圆上一点，且则的面积为（ ）‎ A. 24 B. 25 C. 30 ‎ ‎ D. 40‎ ‎5.在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点，若，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“直线对”.现有所成的角为60°的“直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知双曲线的右顶点为，以为圆心， 为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于， 两点，若，则的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎8.已知为坐标原点， ， 是双曲线： （， ）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎ C. D. ‎ ‎9.已知点是抛物线上的一点，设点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. C. 5 D. ‎ ‎10.已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.过曲线图象上一点（2， 2）及邻近一点（2 ， 2 ）作割线，则当时割线的斜率为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎12.已知，则 ( )‎ A. B. C. D. 以上都不正确 第II卷 选择题 （共90分）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________．‎ ‎14.已知圆： 及一点， 在圆上运动一周， 的中点形成轨迹的方程为__________．‎ ‎15.直线与椭圆交与两点，以线段 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎16.已知在上可导， ，则__________．‎ 三、解答题(共6小题,共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) ‎ ‎17.（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）= x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x= 处的切线与直线y=﹣ x﹣1平行． （Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3， ]上有三个零点，求实数m的取值范围．‎ ‎18.（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求和的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论方程的解的个数，并说明理由.‎ ‎19.（12分）已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，；(2)为定值；‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.‎ ‎20.（12分）已知分别是双曲线E： 的左、右焦点，P是双曲线上一点， 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当时， 的面积为，求此双曲线的方程。‎ ‎21.（12分）设命题，命题：关于不等式的解集为.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题或是真命题， 且是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎22.（10分）如图,小明想将短轴长为2,长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE,且梯形ABDE内接于半椭圆,DE∥AB,AB为短轴,OC为长半轴 ‎ (1)求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式;‎ ‎(2)若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点,求底边DE的取值范围 参考答案 ‎1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.D 7.C 8.D 9.D 10.D 11.B 12.B ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15. ‎ ‎16.0‎ ‎17.解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a， 因为曲线f（x）在x= 处的切线与直线y=﹣ x﹣1平行， 所以f′（ ）= +a=﹣ ，解得a=﹣1， 所以f（x）= x3﹣x， 设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）= x3﹣x， 又f（0）=0，所以f（x）= x3﹣x． （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）= ，f（1）=﹣ ，f（ ）=0， 所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3， ]上有三个零点， 等价于函数f（x）在[﹣3， ]上的图象与y=m有三个公共点． 结合函数f（x）在区间[﹣3， ]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣ ，0）． ‎ ‎ ‎ ‎18.(1) ， ；（2）当时，方程无解；当或时，方程有唯一解；当时，方程有两解.‎ 解析：（Ⅰ）因为，又在处得切线方程为，‎ 所以，解得.‎ ‎（Ⅱ）当时， 在定义域内恒大于0，此时方程无解.‎ 当时， 在区间内恒成立，‎ 所以为定义域为增函数，因为，‎ 所以方程有唯一解.‎ 当时， .‎ 当时， ， 在区间内为减函数，‎ 当时， ， 在区间内为增函数，‎ 所以当时，取得最小值.‎ 当时， ，无方程解；‎ 当时， ，方程有唯一解.‎ 当时， ，‎ 因为，且，所以方程在区间内有唯一解，‎ 当时，设，所以在区间内为增函数，‎ 又，所以，即，故.‎ 因为，所以.‎ 所以方程在区间内有唯一解，所以方程在区间内有两解，‎ 综上所述，当时，方程无解.‎ ‎19. 解析：　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为x＝my＋，‎ 代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)‎ 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.‎ 因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，‎ 所以x1x2＝＝＝.‎ ‎(2)＋＝＋＝.‎ 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，‎ 得＋＝＝ (定值).‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝ (|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 ‎20.（1）（2）‎ 解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.‎ ‎（2）因为，由余弦定理得，即。又由双曲线的定义得，平方得，相减得。‎ 根据三角形的面积公式得，得。再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.‎ ‎21.（1）当为真时， ；（2）的取值范围是。‎ 解析：（1）当为真时，‎ ‎∵不等式的解集为，‎ ‎∴当时， 恒成立.‎ ‎∴，∴‎ ‎∴当为真时， ‎ ‎（2）当为真时，‎ ‎∵，∴当为真时， ；‎ 当为真时， ，‎ 由题设，命题或是真命题， 且是假命题，‎ 真假可得， ‎ 假真可得或 综上可得或 则的取值范围是.‎ ‎22.（1）；（2）‎ 解析：‎ ‎（1）以所在直线为轴， 所在直线为轴，建立直角坐标系 半椭圆的方程： ，‎ 设椭圆上点，‎ 所以且，‎ 所以. ‎ ‎（2）设半椭圆上一点为 由题可知点 所以，‎ 又函数图象的对称轴为，‎ 所以 解得 所以 由（1）知 所以底边DE的取值范围为