数学（理）卷·2019届山东师范大学附属中学高二下学期期中考试（2018-04）

数学（理）卷·2019届山东师范大学附属中学高二下学期期中考试（2018-04）

绝密 ★ 启用前 试卷类型A 山东师大附中2016级第七次学分认定考试 数 学（理科） 试 卷 ‎ 命题人：李现国 审核人：宁卫兵 ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分为120分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数的模为(　 )‎ ‎ ‎ ‎2.若，，如果与为共线向量，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎3.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）‎ ‎8 24 48 120‎ ‎4.在二项式的展开式中，含的项的系数是 ( ) . ‎ ‎ ‎ ‎5、用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）‎ ‎ 假设至少有一个钝角 假设至少有两个钝角 ‎ 假设没有一个钝角 假设没有一个钝角或假设至少有两个钝角 ‎6、如图，是的重心，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7．除以88的余数是（ ）‎ ‎ 1 87‎ ‎8.如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，，则异面直线与所成的角的大小为（ ）‎ ‎ ‎ ‎9.把个不同小球放入个分别标有号的盒子中,则不许有空盒子的放法共有( )‎ 种 种 种 种 ‎10. 已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是（ ）‎ 若成立，则对于任意，均有成立 ‎.若成立，则对于任意的，均有成立 若成立，则对于任意的，均有成立 若成立，则对于任意的，均有成立 ‎11.对于非零实数，以下四个命题都成立：‎ ‎①；②；③；④若，则.那么对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是( )‎ ‎ ②③ ①② ③④ ①④‎ ‎12.如图所示，五面体中，正的边长为，平面，且.设与平面所成的角为，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（ ）‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.比较大小：___ （用连接）‎ ‎14.在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形 ‎1 3 6 10 15‎ 则第个三角形数为________________.‎ ‎15.平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，则的长为 . ‎ ‎16.已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示， ‎ 给出下列结论：‎ ‎①四面体体积的最大值为；‎ ‎②四面体外接球的表面积恒为定值；‎ ‎③若分别为棱的中点，则恒有且； ‎ ‎④当二面角的大小为时，棱的长为；‎ ‎⑤当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为．‎ 其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 试问取何值时，复数 ‎（1）是实数（2）是虚数（3）是纯虚数 ‎18. （本小题满分12分）[]‎ ‎（第18题图）‎ 如图，直棱柱的底面中，，，棱，如图，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系 ‎（1）求平面的法向量；‎ ‎（2）求直线与平面夹角的正弦值.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某学习小组有个男生和个女生共人：‎ ‎（1）将此人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种 ‎（2）将此人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种 ‎（3）从中选出名男生和名女生分别承担种不同的任务，有多少种选派方法 ‎（4）现有个座位连成一排，仅安排个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种 ‎20．（本小题满分12分）‎ 设展开式中只有第1010项的二项式系数最大．‎ ‎ （1）求n； （2）求;（3）求.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥中，侧棱平面，底面是平行四边形，，，，分别是的中点．‎ ‎（1）求证：平面 ‎（2）当平面与底面所成二面角为时，求二面角的余弦值．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ （1） 已知，比较和的大小并给出解答过程；‎ （2） 证明：对任意的，不等式成立.‎ 山东师大附中2016级高二学年第七次 学分认定考试数学（理科）试卷答案 一、选择题答案 ‎ ‎ 二、填空题答案 ‎13. 14.‎ ‎15. 16. ②③⑤‎ 三、解答题答案 ‎17 .解：（1）由条件，解得……………3分 ‎（2）由条件，解得……………6分 ‎（3）由条件，解得……………10分 ‎18.解：（1）由题意可知 故…………………………2分 设为平面的法向量，则 ‎，…………………………4分 ‎…………………………6分 令，则…………………………8分 ‎（2）设直线与平面夹角为，…………………………9分 ‎…………………………12分 ‎19. 解：（1）…………………………………………………..3分 ‎（2）…………………………………………………..6分 ‎（3）…………………………………………………..9分 ‎（4）…………………………………………………..12分 或 ‎20.（1）由二项式系数的对称性，…………………4分 ‎ ‎（2）……8分 ‎（3）……………12分 ‎ ‎21.解：（1）证明：∵平面，∴的射影是，的射影是，‎ ‎∵∴∴，且，‎ ‎∴是直角三角形，且，……………………………3分 ‎∴，∵平面，∴，‎ 且，∴平面………………………………………………………6分 ‎（2）解法1：由（1）知，且是平行四边形，可知，‎ 又∵平面，由三垂线定理可知，，‎ 又∵由二面角的平面角的定义可知，是平面与底面所成二面角，故，故在中，，∴，，‎ 从而……………………………8分 又在中，，∴在等腰三角形，分别取中点和中点，连接，和，∴中位线，且平面，∴平面，在中，中线，由三垂线定理知，，‎ 为二面角的平面角，……………………………………10分 在中，，，‎ ‎ . ‎ ‎∴二面角的余弦值为…………………………………………………12分 解法2：由(Ⅰ)知，以点为坐标原点，以、、‎ 所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，则，，， ，‎ ‎，，，‎ 则，，‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则由 又是平面的一个法向量，‎ 平面与底面所成二面角为 ‎，解得，‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则由.‎ 又是平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则 ‎，∴ ‎ ‎∴二面角的余弦值为..…………………….…….…………………12分 ‎22.解 ‎(1)：..…………………….…….…………………2分 由条件= ，， ..…………………….…….…………………6分 ‎（2）：证法一 证明：由（1）所得结论得 ‎ ‎ = ‎ 两边开方，命题得证..…………………….…….…………………12分 证法二 下面用数学归纳法证明不等式成立.‎ ① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.‎ ② 假设当时不等式成立,即成立.‎ 则当时,左边 所以当时,不等式也成立. . ‎ 由①、②可得不等式恒成立. ..…………………….…….…………………12分 （1）