2018-2019学年贵州省凯里市第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年贵州省凯里市第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年贵州省凯里市第一中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出集合B,然后与集合A取并集即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知得，‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查集合的并集运算，属于简单题.‎ ‎2．的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用诱导公式和的余弦值即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式和特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎3．下列函数在区间为增函数的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在上为减函数，在上为减函数，‎ 在上有增有减，在上为增函数，‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性．‎ ‎4．已知，则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将所求式子分子分母同时除以得到关于的式子，将已知代入即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，常用的方法：(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.‎ ‎5．函数的值域为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求真数u(x)=的范围，然后利用对数函数的单调性即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ u(x)= 则函数，‎ 所以值域为，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查指数对数函数单调性的应用，考查复合函数求值域问题.‎ ‎6．已知，则的大小关系是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用对数函数的图像可知a<0,再结合指数函数图像的性质可得b和c与1的关系，从而可得a,b,c的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由对数函数可知，由指数函数可知，所以，‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数和对数函数图像的应用，属于简单题.‎ ‎7．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，以下结论中正确的是( )‎ A．最大值为 B．有一条对称轴是 C．有一个对称中心是 D．是奇函数 ‎【答案】B ‎【解析】由已知函数图像的左右平移变换可得函数g(x)解析式，然后利用正弦函数图像的性质对选项进行检验即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象向左平移个单位得到 函数,‎ ‎，所以是的一条对称轴，‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查图像的左右平移变换，考查正弦函数图像的性质，重点考查函数的奇偶性和对称性.‎ ‎8．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，满足=（），且||=1，则向量在向量方向上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知=（）可得三角形为直角三角形且再由向量的投影公式计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由可知为中点，所以为直角三角形，，‎ 由，，所以，向量与的夹角为 因此向量在向量上的投影为，‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加减运算，考查向量投影的计算公式，属于基础题.‎ ‎9．函数的零点个数是( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的零点可转化为两个函数图像的交点，画出两个函数的图象，则两个函数图象的交点个数即为已知函数的零点个数.‎ ‎【详解】‎ 由已知，令，即，在同一坐标系中作函数 与的图象，可知两个函数图象有5个交点，‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象的应用，考查函数零点概念和数形结合思想的应用．‎ ‎10．已知方程在区间有解，则实数的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，令,化简f(x)解析式，求出f(x)的值域即为m的范围.‎ ‎【详解】‎ 由已知得，令 则 ‎ ‎ 当时，‎ 当时，，因此，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查方程有解问题，常用方法为变量分离，转为求函数的值域问题，考查三角函数的化简和正弦函数图像性质的应用.‎ ‎11．如图，是的重心，，是边上一点，且，则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由O为△ABC的重心，则取点E为BC的中点，由已知得D是BC的四等分点，‎ 再利用平面向量的线性运算可得得解.‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 延长交于，由已知知为的重心，‎ 是的四等分点,且 则 ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的基本定理及重心的特征的应用，属中档题．‎ ‎12．已知函数的定义域是，与的图象关于点成中心对称，若在上有意义，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据 g（x）与f（x）图象关于点（1，0）成中心对称得g（x）＝f（2﹣x），∴g（ax）＝f（2﹣ax），再利用f（x）的定义域为[0，3]得0≤2﹣ax≤3在上恒成立,即可得到a的范围．‎ ‎【详解】‎ 由g（x）与f（x）图象关于点（1，0）成中心对称，知，‎ ‎，又函数的定义域是，若在上有意义，‎ 在上恒成立，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数对称性的应用，考查复合函数定义域的应用和恒成立问题的解法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．计算_________‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】利用指数幂和对数的运算性质计算即可.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂和对数的运算性质的应用，属于简单题.‎ ‎14．已知，是第三象限角，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知先求，然后利用正切的二倍角公式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由已知得，所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系式和正切二倍角公式的应用，属于简单题.‎ ‎15．已知函数，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，由函数解析式分析可得f（2019）＝f（505×4﹣1）＝f（﹣1），由解析式计算f（﹣1）的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 又由f（﹣1）＝e﹣1＝，则f（2019）＝；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的计算以及分段函数的解析式，关键是掌握分段函数解析式的形式，属于基础题．‎ ‎16．对于函数，如果同时满足下列三个条件中的两个，就称为“团结函数”.‎ ‎（i）在区间上为增函数，‎ ‎（ii）图象关于原点对称，‎ ‎（iii）是周期函数.‎ 给出下列五个函数：‎ ‎①； ②； ③；‎ ‎④； ⑤.‎ 其中被称为“团结函数”的是_________.（请将正确的编号填在横线上.）‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】利用函数的对称性，单调性和周期性对题目中给的五个函数进行逐个判断，看是否同时满足三个条件中的两个，从而得到正确的编号.‎ ‎【详解】‎ 由已知①在上为增函数，不满足另外两个条件，‎ ‎②是奇函数，其图象关于原点对称，在为增函数，符合条件，‎ ‎③在上为增函数，不满足另外两个条件，‎ ‎④是周期函数，其图象关于原点对称，符合条件；‎ ‎⑤是奇函数，其图象关于原点对称， 但是不满足另外两个条件.‎ 故答案为：②④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期性、奇偶性和单调性，考查定义法的运用，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知全集U=R，集合A={x|4x-1＞x+2}，B={x|-1＜x＜2m-3}．‎ ‎（1）当m=4时，求（∁UA）∩B；‎ ‎（2）若A∩B恰好包含了两个整数，写出这两个整数构成的集合的所有子集．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）先求出集合A，∁UA，B，由此能求出（∁UA）∩B．（2）由已知可知这两个整数是2，3，由此能求出这两个整数构成的集合的所有子集．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得：集合 当时，，‎ ‎（2）这两个整数是,则集合的所有子集为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集、交集、子集的求法，考查补集、交集、子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎18．已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期T及单调递增区间；‎ ‎（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．‎ ‎【答案】(1) 最小正周期. (2) ‎ ‎【解析】（1）先利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式化简成f（x）＝2sin（2x）+1，可求最小正周期T及单调递增区间（2）根据正弦函数的性质即可求出值域．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ 的最小正周期.‎ 令，解得 故的单调递增区间 ‎（2），‎ 当时，，当时，‎ 则的值域是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值，属基础题．‎ ‎19．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函，其中，，．‎ ‎（I）求这段曲线的函数解析式；‎ ‎（II）计算这天时的温度是多少．‎ ‎（参考数据：，）‎ ‎【答案】（I） （II） ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，即可得这段曲线的函数解析式；（Ⅱ）令x＝10，求得对应的函数值，可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）如图可得：，又 过点且，‎ 则 函数的解析式为：‎ ‎（II）当时，.‎ ‎ ‎ 这天10时的温度为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于中档题．‎ ‎20．平面内四个向量，，，，且，．‎ ‎（I）求和的值；‎ ‎（II）若，，求的值．‎ ‎【答案】(I) (II)‎ ‎【解析】（I）根据向量的坐标运算和向量的垂直和平行即可求出，（II）先由同角三角函数关系式求出然后根据两角差的余弦公式即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（I） ‎ 由得，解得..‎ ‎ ，‎ 由得，解得.‎ ‎（II），‎ ‎，，，‎ ‎，则 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的坐标运算，向量的数量积和三角函数的性质，同角三角函数的关系，属于中档题．‎ ‎21．已知函数f（x）=．‎ ‎（1）判断函数f（x）的奇偶性，并用单调性定义证明：f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增；‎ ‎（2）求不等式f[log2（2x-1）]+ ≤0的解集．‎ ‎【答案】(1) 见证明；(2) ‎ ‎【解析】（1）根据题意由函数奇偶性的定义判断即可，再设x1，x2∈R且x1＜x2，由单调性的定义利用作差法分析可得函数单调性；（2）由函数奇偶性不等式可等价于log2（2x﹣1）≤log2x，再利用函数单调性可得x的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），故是奇函数. ‎ 设且，则 且，则 ‎，即 故在区间单调递增 ‎（2）由（I）知：，‎ ‎ ‎ 故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题．‎ ‎22．已知f（x）=且a＞0，b＞0），g（x）=．‎ ‎（1）若f（a）=f（b），求的值；‎ ‎（2）当b＞a≥2时，f（x）+g（x）=t恰有两个不同的实数根a，b，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】(1)1(2) ‎ ‎【解析】（1）利用f（a）＝f（b），列出等式求解即可．（2）恰有两个不同的实数根a，b，列出方程组，利用换元法转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎，.‎ ‎（2）恰有两个不同的实数根，则 ‎ ‎ 消去得 ‎，则，则 ③‎ 将③代入②得 令，则 ‎，‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的应用和函数零点的应用，考查转化思想以及计算能力．‎