湖北省应城市第一高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

湖北省应城市第一高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

湖北省应城市第一高级中学 2019-2020 学年 高二下学期期中考试试题 考试时间：2020 年 4 月 21 日上午 试卷满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.已知集合 ，则 = A. B. C. D. 2.设复数 满足 ，则 的共轭复数为 A. B. C. D. 3. 已知双曲线 的一条渐近线过圆 的圆心，则 C 的离 心率为 A. 3 B. C. D. 4.将 4 个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则 不同的排法共有 A.6 种 B. 42 种 C. 10 种 D.12 种 5.胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859 年，英国作家约翰 泰勒（John Taylor，1781-1846）在其 《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例 ，泰 勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔 高的平方。如图，若 ，则由勾股定理， ，即 ，因此可求 得 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为 856 英尺的正方形 ，顶点 的投影在 底面中心 ， 为 中点，根据以上信息， 的长度（单位：英尺）约为 A.611.6 B.481.4 C.692.5 D.512.4 z z { } { }2 2log 0 , 2 0A x x B x x x= > = − − < A B { }1 2x x< < { }1 1x x− < < { }1x x > − { }2 1 1x x x− < < >，或 i 1 iz⋅ = + 1 i− 1 i+ 1 i− − 1 i− + 2 2 2: 1xC ya − = ( ) ( )2 2: 1 2 1P x y− + + = 5 3 2 5 2 • )618.12 51( ≈+ ash =2 22 asas −= 01)( 2 =−− a s a s a s (2 856)a = P O H BC PH 6. 已知 ，且 ，则 = A. 1 B. C. 0 D. 7.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为该抛物线上一点， ， 为垂足．若 直线 的斜率为 ，则 的面积为 A. B. C.8 D. 8. 的展开式的各项系数和为 243，则该展开式中 的系数是 A.5 B. C. D.100 9.已知函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ， 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象．若函数 为偶函数， 则函数 在区间 上的值域是 A. B. C. D. 10. 已知 为偶函数， 为奇函数，且满足 ．若存在 使得 不等式 有解，则实数 的最大值为 A. B. －1 C. 1 D. 11.如图，以棱长为 2 的正方体的顶点 为球心，以 为半径做一个球面， 则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. B. C. D. 12. 函数 在区间 上是单调函数，且 的图像关于点 对称，则 1sin 6 2 πθ − =   0, 2 πθ  ∈   2cos( )3 πθ − 1 2 3 2 2 4y x= F l P PA l⊥ A AF 3− PAF△ 2 3 8 3 4 3 ( )( )532 x x a− + 4x 40− 60− ( )( ) 2sinf x xω ϕ= + 0,ω ϕ π > < 2  π 2 ( )f x 3 π ( )g x ( )g x ( )f x 0, 4 π     ( ]1,2− ( )1, 3− ( ]0,2 1 ,12  −   ( )g x ( )h x ( ) ( ) xxhxg 2=−    −∈ 2 1,1x ( ) ( ) 0m g x h x⋅ + ≤ m 1 3 3 5 A 22 3 4 π 3 2 π 9 4 π 3π ( ) cos ( 0)f x xω ω= > [0, π]2 ( )f x 3( )4 π,0M ω = 第 11 题图 A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知两个单位向量 ，满足 ，则 与 的夹角为__________． 14. 若函数 的图象在点 处的切线过点 ，则 。 15. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 ________. 16.已知函数 有且只有一个零点，则实数 的取值范围是__________． 三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17 题满分为 10 分， 18-22 题满分为 12 分，每个试题考生都必须作答，考生根据要求作答. 17．(本小题满分 10 分) 在等比数列 中，公比为 ， ． （1）求数列{ }的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． a b 2 3 10 3 2 3 2 14 3 2 10 3 14 3 ,a b  2a b b+ =   ( ) 3f x ax x = − ( )( )1, 1f ( )1,2 a = nS { }na n 7 3 1 1, 67 3 S Sa = − = =5a ( ) 3 e( ) ln 3 e x f x a x= − a { }nb (0 1)q q< < 1 3 5 1 1 1 1 1, , , ,50 32 20 8 2b b b  ∈  ， ， nb ( )3 1n nnc b−= { }nc n nT 18、(本小题满分 12 分) 如图，D 是在△ABC 边 AC 上的一点，△BCD 面积是△ABD 面积的 2 倍， ．（1）若 θ= ,求 的值；（2）若 BC=4，AB=2 ， 求边 AC 的长． 19、（本小题满分 12 分）某省从 2021 年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要 求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则 如下:从 2021 年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成 绩从高到低划分为 A,B,C,D,E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为 15%，35%，35%， 13%，2%,等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比 例转换法分别转换到[86,100]、[71,85]、 [56,70]、[41,55]、[30,40]五个分数区间，得到考生的 等级分，等级转换分满分为 100 分.具体转换分数区间如下表： 等级 A B C D E 比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 [86,100] [71,85] [56,70] [41,55] [30,40] 而等比例转换法是通过公式计算: . 其中 、 分别表示原始分区间的最低分和最高分， 、 分别表示等级分区间的最低分和 最高分， 表示原始分， 表示转换分，当原始分为 、 时，等级分分别为 、 假设小 南的化学考试成绩信息如下表： 考生科目 考试成绩 成绩等级 原始分区间 等级分区间 2 2CBD ABD θ∠ = ∠ = 6 π C A sin sin 2 2 2 1 1 Y Y T T Y Y T T − −=− − 1Y 2Y 1T 2T Y T 1Y 2Y 1T 2T 化学 75 分 B 等级 [69,84] [71,85] 设小南转换后的等级成绩为 ，根据公式得： ，所以 (四舍五入 取整)，小南最终化学成绩为 分. 已知某年级学生有 100 人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级 成绩，其中化学成绩获得 等级的学生原始成绩统计如下表： 成绩 95 93 91 90 88 87 85 人数 1 2 3 2 3 2 2 （1）从化学成绩获得 等级的学生中任取 名,求恰好有 名同学的等级成绩不小于 分 的概率； （2）从化学成绩获得 等级的学生中任取 名，设 名学生中等级成绩不小于 分人数为 ，求 的分布列和期望. 20、(本小题满分 12 分)如图，在四棱柱 中，底面 是等腰梯形， T 84 75 85 75 69 71 T T − −=− − 76.6 77T = ≈ 77 A A 2 1 96 A 5 5 96 ξ ξ 1111 DCBAABCD − ABCD ， ， ，顶点 在底面 内的射影恰为点 . （1）求证： 平面 ；（2）若直线 与底面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 21、(本小题满分 12 分) 已知点 ， 在椭圆 上，其中 为椭圆的离心率. （1）求椭圆 的方程；（2）直线 经过 的上顶点且 与抛物线 交于 ， 两 点，直线 ， 与 分别交于点 （异于点 ）， （异于点 ），证明：直线 的斜 率为定值. 22、(本小题满分 12 分) CDAB // 4=AB 2== CDBC 1D ABCD C ⊥BC 1ACD 1DD ABCD 4 π 11DABC ABCD ( )1 e， 3 2e       ， 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > e C l C l 2: 4M y x= P Q FP FQ M D P E Q DE （第 20 题图） 已知函数： （I）当 时，求 的极值； （II）证明：函数 有且只有一个零点. ( ) ( ) ( )3 2 ln 1 , 13 xf x mx m m m= − − + − < 1 2m = ( )f x ( )f x 参考答案 一、选择题（每题 5 分，满分 60 分） 1-5、CBBCC 6-10、BDCBA 11-12、DB 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分） 13、 14、5 15、13 16、 . 三、解答题 17、解：（Ⅰ）因为公比为 的等比数列 中， 所以，当且仅当 时成立.----------------------2 分 此时公比 , 　　---------------------------------3 分 所以 ------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）因为 所以 --------------6 分 --------7 分 --------8 分 -------------------------9 分 2 π ( ) { },0 e−∞  (0 1)q q< < { }nb 1 3 5 1 1 1 1 1, , , ,50 32 20 8 2b b b  ∈  ， ， 1 3 5 1 1 1, ,2 8 32b b b= = = 2 3 1 1 4 bq b = = 1 2q = 1 .2 n nb  =    1(3 1) 2 n nc n  = − ⋅   1 2 3n nT c c c c= + + + + 1 2 31 1 1 1=2 5 8 (3 1)2 2 2 2 n n       × + × + × + + − ⋅               2 3 11 1 1 1 12 5 (3 4) (3 1)2 2 2 2 2 n n nT n n +       ∴ = × + × + + − ⋅ + − ⋅               1 2 3 11 1 1 1 1 12 3 (3 1)2 2 2 2 2 2 n n nT n +          ∴ = × + × + + + − − ⋅                      1 11 1 11 3 1 (3 1)2 2 2 n n n − +    = + × − − − ⋅          5 1 3 5 2 2 2 n n + = − ⋅   故数列 的前 项和 ----------------------------10 分 18、解：（I） 所以 ....................................2 分 19、（1）设化学成绩获得 等级的学生原始成绩为 ，等级成绩为 ,由转换公式得： ，即： 根据成绩统计表显示满足 的同学只有 人，获得 等级的考生有 人 故恰好有 名同学的等级成绩不小于 的概率为 （2）由题意等级成绩不小于 分人数为 人，获得 等级的考生有 人，则 分布列为 0 1 2 3 P 则期望为： 20、 解：（1）证明：如图，连接 ，则 平面 ， 平面 , ………………2 分 在等腰梯形 中，连接 ，过点 作 于点 ， { }nc n 15 (3 5) 2 n nT n  = − + ⋅   =2 3CBD ABD π∠ ∠ = 1 1sin 2 sin2 3 2 6BC BD BA BD π π= ×  A x y 95 100 85 86 x y x y − −=− − 14( 85) 14 3308610 10 x xy − −= + = 14 330 96 92.110 x x −∴ ≥ ⇒ ≥ 92.1x ≥ 3 A 15 1 96 2 1 3 12 2 15 12 35 C CP C = = 96 3 A 15 0 3 1 4 2 3 3 2 3 12 3 12 3 12 3 12 5 5 5 5 15 15 15 15 24 45 20 2( 0) , ( 1) , ( 2) , ( 3)91 91 91 91 C C C C C C C CP P P PC C C C ξ ξ ξ ξ= = = = = = = = = = = = ∴ ξ 24 91 45 91 20 91 2 91 45 20 22 3 191 91 91Eξ = + ⋅ + ⋅ = D C1 D C1 ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD BC D C1∴ ⊥ ABCD AC C CG AB⊥ G G ， , ， 则 ， 因此满足 ， ……………………5 分 又 ， 平面 ……………………6 分 （2）由（1）知 两两垂直， ∵ 平面 ， ， 以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， …………………7 分 则 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ，由 得 可得平面 的一个法向量 ， ……………………9 分 又 为平面 的一个法向量， ………………10 分 设平面 与平面 所成锐二面角为 则 因此平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ……12 分 21、解：（Ⅰ）依题意得 解得 AB 4= BC CD 2= = AB CD/ / AG BG3, 1= = CG 2 22 1 3= − = AC AG CG2 2 2 23 ( 3) 2 3∴ = + = + = AC BC AB2 2 216+ = = BC AC∴ ⊥ 1 ,D C AC ⊂ 1面AD C D C AC C1 = BC∴ ⊥ AD C1 AC BC D C1, , D C1 ⊥ ABCD D DC1 4 π∴∠ = D C CD1 2∴ = = C CA CB CD1, , x y z C(0,0,0) A(2 3,0,0) B(0,2,0) D1(0,0,2) ( 2 3,2,0)AB∴ = − 1 ( 2 3,0,2)AD = − ABC D1 1 ( , , )n x y z= 1 0 0 AB n AD n  ⋅ = ⋅ =     2 3 2 0 2 3 2 0 − + = − + = x y x z ABC D1 1 (1, 3, 3)n = 1 (0,0,2)CD = ABCD ABC D1 1 ABCD θ θ ⋅ = = =     CD n CD n 1 1 2 3 21cos 72 7 ABC D1 1 ABCD 21 7 2 2 2 2 2 2 1 1 3 4 1 e a b e a b  + =   + = 2 22, 1a b= = 所以 椭圆 的方程为 -----------------------------------4 分 （2）补充：若 F 用椭圆的右焦点 F（1,0），计算方法下同。算出来的答案为定值-1 同样算对，赋分方法下同。 22、解：（I） C 2 2 12 x y+ = ( ) 3 21 1 1ln3 2 2 2 xf x x= − − +