【数学】2018届一轮复习人教A版第51讲空间几何点的坐标的写法学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第51讲空间几何点的坐标的写法学案

‎【知识要点】‎ 一、空间向量的正交分解 空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.‎ 二、空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组使.我们把叫做空间的一个基底，其中叫基向量.‎ 三、单位正交分解 如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，长度都为1个单位，则这个基底叫做单位正交基底，通常用{}表示.‎ 四、空间直角坐标 若为有公共起点的三个两两垂直的单位向量，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，有序实数组使得，我们把称作向量在单位正交基底下的坐标，记作，则坐标就是向量的坐标.‎ 五、写空间点的坐标常用的有直接观察法、向量法、作坐标线法三种.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 直接观察法 使用情景 点的位置比较特殊，一般在坐标轴上或其它特殊位置.‎ 解题步骤 直接利用空间向量点坐标的定义观察写出点的坐标.‎ ‎【例1】如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ 由（1）知为中点 ‎∴点坐标分别为，，， ‎ 设平面的法向量 ‎∵且 ‎∴取 ‎ ‎ ‎【点评】该题中的几何体比较特殊的几何体直三棱柱，题目中的各个点比较容易直接观察得到，所以选择直接观察法写出各点的坐标.在正方体、长方体、直棱柱、正棱柱等特殊几何体中也常用直接观察法.‎ ‎【反馈检测1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，‎ ‎，是的中点，作交于点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值． ‎ 方法二 向量法 使用情景 点在一般位置，不是特殊位置.‎ 解题步骤 利用向量的关系计算出空间点的坐标. 学. . ‎ ‎【例2】己知四棱锥，其中底面为矩形侧棱 ‎，其中 ‎,，为侧棱上的两个三等分点，如图所示：‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎（2）易知为等腰直角三角形,所以为外接圆的直径,所以,,如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，‎ ‎ ‎ 则(0,0,0)，(3,0,0)，(3,6,0)，(0,6,0)，(0,0,3)，‎ 设坐标为,由题得,所以 所以, 所以坐标为(2,4,1)，同理点坐标为(1,2,2)，设平面的法向量为,，并且,‎ ‎，令得,‎ ‎【点评】本题中的点的坐标不是很好写，所以要根据向量的关系列出方程，再解方程即可推算出的坐标.‎ ‎ 【例3】如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面，．‎ ‎（Ⅰ）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；‎ ‎（Ⅱ）已知点满足，在直线上是否存在点，使∥平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵侧面，作于点，‎ ‎∴．又，且各棱长都相等，‎ ‎∴，，‎ 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎（0，﹣1，0），（，0，0），，（0，1，0），.‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ 而 ‎∴．‎ 又∵，∴点的坐标为．‎ 假设存在点符合题意，则点的坐标可设为．‎ ‎∴‎ ‎∵∥平面，为平面的法向量，‎ ‎∴由，得，∴．‎ 又，‎ 故存在点，使∥平面，其坐标为，即恰好为点．‎ ‎【点评】本题中的点的坐标不是很好写，但是利用列出关于点坐标的方程便可以比较方便地写出它的坐标. 学. . ‎ ‎【反馈检测2】正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2．分别 是的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别相交于，已知．‎ （1） 证明：平面； （2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面 的距离.‎ 方法三 作坐标线法 使用情景 点所在的三角形是直角三角形.‎ 解题步骤 作出点的坐标线，根据坐标线写出点的坐标.‎ ‎【例4 】 如图，四棱锥的底面为矩形，且，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎（Ⅱ）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如右图示，则依题意可得 ,‎ 可得 平面的单位法向量为，设直线与平面所成角为，‎ 则 ‎∴，即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎  【点评】本题中点的坐标，直接观察不是很方便，需要过点作,垂足为,再解三角形，得到的长度，即可得到点的坐标.‎ ‎【反馈检测3】如图在底面为菱形的四棱锥，，‎ 点在上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由．‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第51讲：‎ 空间几何点的坐标的写法参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）证明过程详见解析；（2）.‎ ‎【反馈检测1详细解析】如图建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设.‎ ‎ ‎ ‎（2）,又,故,所以.‎ 由已知，且,所以平面. ‎ 所以平面的一个法向量为.,‎ 不妨设平面的法向量为 则 ‎ 不妨取则，即 ‎ 设求二面角的平面角为 ‎ 因为，所以．‎ 二面角的正弦值大小为． ‎ ‎【反馈检测2答案】（1）见解析；（2）；（3）.‎ ‎（2）‎ 作⊥于，连.因为⊥平面，‎ 根据三垂线定理知，⊥，‎ 就是二面角的平面角.‎ 作⊥于，则∥，则是的中点，则.‎ 设，由得，，解得，‎ 在中，，则，.‎ 所以，故二面角余弦值为.‎ ‎(2)由已知设 则 由与共线得:存在有得 ‎ ‎ 同理:‎ ‎【反馈检测3答案】（1）见解析；（2）（3）.学. . ‎ ‎【反馈检测3详细解析】（Ⅰ）证明：∵在菱形中，，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴平面．‎ ‎（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 设所求二面角的平面角为，‎ 则，‎ 所以二面角的正弦值为．‎ ‎2‎ ‎（Ⅲ）因为，为上一点，，‎ 则有，故点坐标为．‎ 所以．‎ 则，即的值为．‎ ‎ ‎