2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，，所以，故选A．‎ ‎【考点】集合的运算．‎ ‎2．已知一个扇形的圆心角为，半径为3．则它的弧长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由扇形弧长公式得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.‎ ‎3．若，则函数的图象（ ）‎ A．不经过第一象限，但过点 B．不经过第二象限，但过点 C．不经过第三象限，但过点 D．不经过第四象限，但过点 ‎【答案】A ‎【解析】根据函数，的图象过一、四象限，过定点，由平移变换得出答案.‎ ‎【详解】‎ 函数，的图象过一、四象限，过定点 函数的图象可看成向左平移5个单位得到，则不经过第一象限 当时，，即过点 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数过定点以及函数图象的平移的应用，属于基础题.‎ ‎4．对于是任意非零实数，且，又，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】取特殊值排除ABC选项；利用指数函数的单调性判断D选项.‎ ‎【详解】‎ 当时，，故A错误；‎ 当时，，故B错误；‎ 当时，，故C错误；‎ 因为函数在上单调递减，，所以，故D正确 故选:D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据所给条件判断不等式是否正确，属于基础题.‎ ‎5．函数，则函数的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】证明该函数的奇偶性以及单调性，画出图象，即可判断其最大值.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，，则函数为奇函数 设，‎ 当时，‎ ‎，即在区间上单调递增 当时，‎ ‎，即在区间上单调递减 由于函数为奇函数，并且当时，；当时，‎ 则其函数图象如下图所示 由图可知，函数的最大值是 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的奇偶性，单调性求函数的最值，属于中档题.‎ ‎6．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）.已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间（分）满足的函数关系式为.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知，结果取整数）（ ）‎ A．33分钟 B．40分钟 C．43分钟 D．50分钟 ‎【答案】C ‎【解析】由得出的解析式，再利用对数的运算性质解方程，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，解得 故 令，得 故分钟 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数型模型的实际应用，属于中档题.‎ ‎7．已知，且，则函数与函数的图像可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意，由于为正数，且，故单调性相同，所以选.‎ ‎8．如果，那么的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用诱导公式化简得出，再变形为 ‎，弦化切即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用诱导公式，同角三角函数的基本关系化简求值，属于中档题.‎ ‎9．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )‎ A．，xR B．，xR且x≠0‎ C．,xR D．，xR ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，‎ 对于先减后增，排除A，故选B.‎ ‎【考点】函数的奇偶性、单调性.‎ ‎10．今有过点的函数，则函数的奇偶性是（ ）‎ A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】由求出的值，利用定义证明其奇偶性即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，整理得，即 当；当 即对一切实数都成立，即函数的定义域为 即函数为奇函数 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性，属于中档题.‎ ‎11．已知函数为偶函数且在单调递减，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax2+（b-a）x-b为偶函数， ∴f（-x）=f（x）， 则ax2-（b-a）x-b=ax2+（b-a）x-b， 即-（b-a）=b-a， 得b-a=0，得b=a， 则f（x）=ax2-a=a（x2‎ ‎-1）， 若f（x）在（0，+∞）单调递减， 则a＜0， 由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0， 得x＞4或x＜2， 即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞）， 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键．‎ ‎12．若函数满足，且，则在区间上的最大值是（ ）‎ A．或 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得出，根据得出的周期，进而得出，得出，根据余弦函数的性质得出最值.‎ ‎【详解】‎ 即周期 当时，取最大值 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求正弦函数的解析式以及余弦型函数的最值，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．式子的值是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据诱导公式化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用诱导公式化简求值，属于基础题.‎ ‎14．函数的定义域是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解不等式组，即可得出定义域.‎ ‎【详解】‎ ‎，解得且 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求具体函数的定义域，属于基础题.‎ ‎15．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数，再向左平移个单位得到函数解析式是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正弦函数的平移变换和伸缩变换求解即可.‎ ‎【详解】‎ 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，再向左平移个单位得到函数解析式 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求图像变化后的解析式，属于基础题.‎ ‎16．设函数，若恒成立，则实数的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为恒成立，所以，解得或，验证和，即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为恒成立，所以 即，解得：或 当时，，，则不满足条件 当时，，，则满足条件 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求解析式中参数的值，属于基础题.‎ ‎17．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ．‎ ‎【答案】9．‎ ‎【解析】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，‎ ‎∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.‎ 又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，‎ ‎∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.‎ ‎18．用表示不超过的最大整数，如．下面关于函数说法正确的序号是_______________．‎ ‎①当时，；‎ ‎②函数的值域是；‎ ‎③函数与函数的图像有4个交点；‎ ‎④方程根的个数为7个．‎ ‎【答案】① ② ④‎ ‎【解析】由符号表示不超过x的最大整数，可以画出函数的图像比较容易判断问题中的四个结论，其中③和方程根的个数可转化为的图像交点个数。‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图像如图所示，显然结论①②均正确；在同一坐标系内作函数的图像(坐标系内第一象限的射线部分)，作出的图像（图像中的折线部分），可以得到③错误，④正确。故答案为① ② ④。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是分段函数知识和函数值域，函数零点等函数性质的综合类问题，在解答的过程中充分体现了分类讨论的思想，特值思想以及问题的转化思想，是对研究一个函数的全过程的考查，应当给予重视。‎ 三、解答题 ‎19．函数f(x)=Asin(wx+j)(A＞0，w＞0，-＜j＜，x∈R)的部分图象如图所示：，‎ ‎(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围.‎ ‎【答案】（1）f(x)=sin(x+)；（2）[-1,].‎ ‎【解析】试题分析：（1）图像离平衡位置最高值为1可知A=1,又从图可看出周期的四分之一为，根据可求得w的值，对于j可通过代入(，1)点求得，但要注意j的范围；（2）本小题考查三角函数求值域问题，由x的范围可先求出x+的范围，结合正弦函数图像可求出sin(x+)的取值范围.‎ 试题解析：(1)由图象得A=1，，所以T=2p，则w="1." 将点(，1)代入得sin(+j)=1，而-＜j＜，所以j=，因此函数f(x)=sin(x+).‎ ‎(2)由于x∈，-≤x+≤，所以-1≤sin(x+)≤，所以f(x)的取值范围[-1,].‎ ‎【考点】由三角函数的图像求函数的解析式，，三角函数的值域问题.‎ ‎20．已知二次函数对都有成立，且.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在上的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）设二次函数，，由结合待定系数法得出，再由，得出，即可得出函数的解析式；‎ ‎（2）由（1）得出的解析式，讨论对称轴的位置，确定函数在区间的单调性，即可得出该函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设二次函数，‎ 则 ‎ ‎，解得 即 ，，得 所以. ‎ ‎（2），对称轴，开口向上 分三种情况：‎ ‎①当时，函数在区间单调递增，‎ ‎.‎ ‎②当时，函数在区间为 ‎③当时，函数在区间单调递减，‎ 综上，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了已知函数的类型求解析式以及由函数的单调性求最值，属于中档题.‎ ‎21．已知函数（且）.‎ ‎（1）求函数的定义域，并求出当时，常数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，判断函数在的单调性，并用单调性定义证明；‎ ‎（3）设，若方程有实根，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）定义域为或，（2）在的单调递增，见解析（3）‎ ‎【解析】（1）解不等式得出该函数的定义域，由结合对数的运算性质得出；‎ ‎（2）利用定义以及不等式的性质证明单调性即可；‎ ‎（3）将方程转化为二次函数，通过讨论对称轴的位置，求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由且 知 ‎∴或 ‎∴定义域为或 由得 ‎∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1），判断在的单调递增 证明：设，则 ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴在的单调递增.‎ ‎（3）函数的定义域为，函数的定义域为，‎ ‎∵有实根，在有实根 在有实根 化简整理得，方程在上有解 设 对称轴.‎ ‎①即且 ‎∵且在为增函数，所以方程在无解.‎ ‎②，即 则，即，解得 综上.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求具体函数的定义域，利用定义证明单调性以及由方程有解求参数范围，属于较难题.‎ ‎22．设函数，其中为常数且.新定义：若满足，但，则称为的回旋点.‎ ‎（1）当时，分别求和的值；‎ ‎（2）当时，求函数的解析式，并求出回旋点；‎ ‎（3）证明函数在有且仅有两个回旋点，并求出回旋点.‎ ‎【答案】（1），‎ ‎（2）；是的回旋点（3）见解析，，.‎ ‎【解析】（1）利用函数解析式即可求出和的值；‎ ‎（2）由得出，讨论和时，的解析式，即可得出当时，函数的解析式；再根据题设中回旋点的定义，分段讨论，得出回旋点；‎ ‎（3）将分成和两种情况进行讨论，得出内的回旋点，结合（2）中得出的内的回旋点，即可证明函数在有且仅有两个回旋点.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，‎ ‎∴‎ ‎（2）中时，值域也是 又， ‎ 由，得 ‎∴当时，‎ 同理，当时，‎ 当时， ‎ 当，由得 ‎，故不是的回旋点.‎ 当时， 由得 ‎ ‎ 是的回旋点 ‎（3）当时，由解得 由于，故不是的回旋点；‎ 当时由解得 因 ‎ 故是的回旋点； ‎ 因此，函数有且仅有两个回旋点，，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数已知自变量求函数值以及求分段函数的解析式，属于较难题.‎