深圳市2020

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高三文科数学试题 第 1 页（共 4 页） 绝密★启用前 试卷类型：A 2019-2020学年度第一学期期末质量检测 高三文科数学试题 2020.1 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填写在答题卡上． 2．作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡 皮檫干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的 指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上． 1．设复数 1i 1iz  ，则 z  A． 1 2 B． 1 4 C． 2 D． 2 2 2．设全集U  R ，集合  2 280Mxxx，  13Nx x，则 A． 12xx  B． 23xx C． 41xx  D． 23xx 3．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五个音 阶全用上，排成一个 5 个音阶的音序．在所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这 个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为 A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 2 5 4．已知平面向量 2,0a   ， 2b   ， 2ab   ，则 2ab  A． 23 B．32 C．22 D． 27 5．为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异， 召集了男女志愿者各 200 名，要求他们同时完成 多个任务，包括解题、读地图、接电话．右图表 示了志愿者完成任务所需的时间分布． 以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布 图表理解正确的是 ①总体看女性处理多任务平均用时更短； ②所有女性处理多任务的能力都要优于男性； ③男性的时间分布相比女性的时间分布更对称； ④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 高三文科数学试题 第 2 页（共 4 页） 6．已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 9 4a  ， 15 30S  ，则 15a  A．6 B．15 C．16 D．18 7．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最 大的面的面积为 A．6 B． 42 C． 25 D． 4 8．已知函数 ()f x 是定义域为 R 的奇函数，当 0x  时， 2 ,0 1() ln , 1 x xxfx xx    ．函数  ()g xfxa，若  g x 存在 3 个零点，则 a 的取值范围是 A． 11,44  B． 11,22  C． 11,22  D． 11,44  9．记不等式   22124xy表示的平面区域为D．命题 :(,) ,2 8pxyDxy ；命 题 :(,) ,2 1qxyDxy ．下面给出了四个命题 ① pq ② pq ③ pq ④ pq 这四个命题中，所有真命题的编号是 A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 10．设函数   cosf xx ( 0  )，已知 f x 在 0, 2   有且仅有 2 个极小值点，则 的取 值范围是 A． 3, 5 B． 6,8 C． 35,22   D． 6,10 11 ．在 ABC 中，内角 ,,A BC的对边分别为 ,,abc，已知 22 22cosacb acC 且 2sinabA ，则 A  A． 4  B． 6  C． 3  D． 2 3  12．已知双曲线 22 22:1xyC ab的左，右焦点分别为 1F 、 2F ，以 1F 2F 为直径的圆与C 的一 条渐近线交于点 P ， 12 212PF F PF F，则该双曲线的离心率为 A． 2 B．3 C． 2 D． 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． cos1275  ． 14．已知  () ln 1fx x x，则曲线 ()yfx 在点  2, (2)f 处的切线方程是 ． 高三文科数学试题 第 3 页（共 4 页） 15．已知直线 := 1(0)lykx k经过抛物线 2:2Cx py 的焦点 F ，且l 与C 交于 A 、 B 两 点，l 与C 的准线交于点 E ，若 EFFB  ，则 p  ，k  ．（本题第 一空 2 分，第二空 3 分．） 16．已知三棱锥 P－ABC 中 PA=PB=PC= 3 ，当三棱锥 P－ABC 体积最大值时，三棱锥 P －ABC 的外接球的体积为 ． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答，第 22,23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题，共 60 分． 17．（12 分） 下表是我国 2012 年至 2018 年国内生产总值（单位：万亿美元）的数据： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 国内生产总值 y （单位：万亿美元） 8.5 9.6 10.4 11 11.1 12.1 13.6 （1）从表中数据可知 x 和 y 线性相关性较强，求出以 x 为解释变量 y 为预报变量的线 性回归方程； （2）已知美国 2018 年的国内生产总值约为 20.5 万亿美元，用（1）的结论，求出我 国最早在那个年份才能赶上美国 2018 年的国内生产总值？ 参考数据： 7 i i1 76.3y   ， 7 ii i1 326.2yx   ， 参考公式：回归方程 ˆˆˆybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ii ii i1 i1 222 ii i1 i1 ()() ˆ () nn nn yyxx yxnyx b x xxnx         , ˆˆaybx ． 18．（12 分） 已知等比数列 na 的各项均为正数， nS 为等比数列 na 的前 n 项和，若 2 2 3a  ， 34 62aa a ． （1） nSt 恒成立，求t 的最小值； （2）设 n n nb a ，求数列{}nb 的前 n 项和 nT ． 高三文科数学试题 第 4 页（共 4 页） 19．（12 分） 如图，四边形 ABCD 为矩形， 22AB BC， E 为边CD 的中点，以 EB 为折痕把△CEB 折起， 使点 C 到达点 P 的位置，且使平面 PEB ⊥平面 ABED ． （1）证明： PB ⊥平面 PEA ； （2）求点 E 到平面 PAD 的距离． 20．（12 分） 已知函数 1() 1 lnf xa xx  ， a 为常数． （1）讨论函数 ()f x 的单调区间； （2）若 () 0fx 恒成立，求实数a的取值范围． 21．（12 分） 已知圆 2227:( 3) 2Mx y的圆心为 M ，圆 223:( 3) 2Nx y的圆心为 N ，一 动圆与圆 M 内切，与圆 N 外切． （1）求动圆圆心 C 的轨迹方程； （2）过点 (2,0)P 的直线l 与曲线 C 交于 ,A B 两点，点 Q 是直线 3x  上任意点，直线 QA , QP , QB 的斜率分别为 123,,kkk，试探求 123,,kkk的关系，并给出证明． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 1l 的参数方程为 2x t ykt    （t 为参数），直线 2l 的参数方程 为 2x m my k    （ m 为参数），设 1l 与 2l 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 1C ．以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4sin  ． （1）写出 1C 的普通方程； （2）求曲线 1C 和曲线 2C 交点的极坐标． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 0ab，函数   21f xx xaba b  （1）若 1, 2ba，求函数 f x 的最小值； （2）证明：  4fx ．