人教版高三数学总复习课时作业78

人教版高三数学总复习课时作业78

课时作业78　直线与圆的位置关系 一、填空题 ‎1．如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝________.‎ 解析：由弦切角定理得，‎ ‎∠MCA＝∠ABC，sin∠ABC＝ ‎＝＝＝.‎ 答案： ‎2．(2014·湖南卷)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．‎ 解析：设线段AO交BC于点D延长AO交圆与另外一点E，则BD＝DC＝，由三角形ABD的勾股定理可得AD＝＝1，由切割线定理可得BD·DC＝AD·DE⇒DE＝2，则直径AE＝3⇒r＝，故填.‎ 答案： ‎3．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为________．‎ 解析：∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，‎ ‎∴△PCB∽△PAD，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∵＝，＝，‎ ‎∴＝.‎ 答案： ‎4．如图，D是圆O的直径AB延长线上一点，PD是圆O的切线，P是切点，∠D＝30°，AB＝4，BD＝2，PA＝________.‎ 解析：连接PO，因为PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30°，所以∠POD＝60°，并且AO＝2，∠POA＝120°，PO＝2，在△POA中，由余弦定理知，PA＝2.‎ 答案：2 ‎5．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为________．‎ 解析：取BC的中点E，连接OE，OB易知OE＝2，OB＝3，故BE＝＝1，从而BC＝2，故AC＝5，由切割弦定理得AD2＝AB·AC，故AD2＝15，从而AD＝.‎ 答案： ‎6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.‎ 解析：由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，‎ 又易知BD＝AD＝BC，‎ 所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，‎ 解得AC＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．(2014·湖北卷)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.‎ 解析：由切割线定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，PB＝PA＝2QA＝4.‎ 答案：4‎ ‎8．高速公路上的隧道和桥梁较多．如上图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆的半径________米．‎ 解析：设圆的半径为R米，由题意得OD2＋AD2＝OA2，即(7－R)2＋25＝R2，解得R＝.‎ 答案： ‎9．如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，点C在圆O′上且不与点A，B重合，则∠ACB＝________.‎ 解析：连接O′A，O′B，O′O，由⊙O与⊙O′外切且半径相等得O′A＝O′O，又因O′A⊥OA，所以∠AOO′＝30°，同理∠BOO′＝30°，故∠AOB＝60°，由四边形的内角和为360°得∠AO′B＝120°，故∠ACB＝∠AO′B＝60°.‎ 答案：60°‎ 二、解答题 ‎10．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如右图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.‎ ‎(1)证明：∠D＝∠E；‎ ‎(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ 证明：‎ ‎(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.‎ 由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.‎ ‎(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．‎ 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.‎ 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.‎ 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.‎ 由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．‎ ‎11．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.‎ ‎(1)求证：四边形ACBE为平行四边形；‎ ‎(2)若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．‎ 解：解：(1)证明：因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB.‎ 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.‎ 所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.‎ 因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．‎ ‎(2)因为AE与圆相切于点A，‎ 所以AE2＝EB·(EB＋BD)，‎ 即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4.‎ 根据(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6.‎ 设CF＝x，由BD∥AC，得＝，‎ 即＝，解得x＝，即CF＝.‎ ‎1．已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于点D，F两点，若∠ACB＝20°，则∠AFD＝________.‎ 解析：因为AC为圆的切线，由弦切角定理，则∠B＝∠EAC，‎ 又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，‎ 所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD，‎ 根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD，‎ 因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，‎ 所以△ADF是等腰直角三角形，‎ 所以∠ADF＝∠AFD＝45°.‎ 答案：45°‎ ‎2．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是________．‎ 解析：由题意，根据切线长定理，有BD＝BF，CE＝CF，所以AD＋AE＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝(AB＋BF)＋(AC＋CF)＝AB＋AC＋(BF＋CF)＝AB＋AC＋BC，所以①正确；因为AD，AE是圆的切线，根据切线长定理，有AD＝AE，又因为AG是圆的割线，所以根据切割线定理有AD2＝AF·AG＝AD·AE，所以②正确；根据弦切角定理有∠ADF＝∠AGD，又因为BD＝BF，所以∠BDF＝∠BFD＝∠ADF，在△AFB中，∠ABF＝2∠ADF＝2∠AGD，所以③错误．‎ 答案：①②‎ ‎3．(2014·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.‎ ‎(1)求证：AB为圆的直径；‎ ‎(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.‎ 证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.‎ 由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，‎ 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.‎ 由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．‎ ‎(2)连接BC，DC.‎ 由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.‎ 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.‎ 又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.‎ 由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．‎ 于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.‎