2018-2019学年湖北省天门市、潜江市、应城市高一下学期期中联考数学试题

2018-2019学年湖北省天门市、潜江市、应城市高一下学期期中联考数学试题

‎2018-2019学年湖北省天门市、潜江市、应城市高一下学期期中联考数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1、考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。‎ ‎2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试卷上无效。‎ ‎3、考试结束后，只交答题卡。‎ ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知是锐角，那么2是 ‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．小于的正角 D．第一象限或第二象限 ‎2．下列三角函数的值大于零的是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列命题成立的是 ‎ ‎ A．若是第二象限角，则 B．若是第三象限角，则 C．若是第四象限角，则 D．若是第三象限角，则 ‎4．下列等式成立的是 ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．下列定义在上的四个函数与其对应的周期T不正确的一组是 ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．下列关于函数的单调性的叙述，正确的是 ‎ ‎ A．在上是增函数，在上是减函数 B．在上是增函数，在和上是减函数 C．在上是增函数，在上是减函数 D．在上是增函数，在上是减函数 ‎7．下列不等式中，正确的是 ‎ ‎ ① ‎ ‎② ‎ ‎③‎ ‎ A．①③ B．①② C．②③ D．①②③‎ ‎8．为了得到的图象，只需把余弦曲线上的所有点 ‎ ‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎9．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，，那么的值为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数的单调递增区间是 ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．在中，则的解的个数为 ‎ ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 二、填空题（本题共4小题，每小题5分共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）‎ ‎13．若，则与的夹角为 ▲ ． ‎ ‎14．在中，，则最短边长等于 ▲ ． ‎ ‎15．等腰三角形一个底角的余弦为，那么顶角的余弦值为 ▲ ． ‎ ‎16．已知，那么的值为 ▲ ． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 如图，在中，已知，边所夹的角为．‎ A B C ‎（1）关系式是否成立；‎ ‎（2）证明或者说明（1）中你的结论．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎ （1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；‎ ‎ （2）不画图，说明函数的图象可由的图象经过怎样的变化得到．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知．‎ ‎ （1）请通过降幂化简；‎ ‎ （2）求函数在上的最小值并求当取最小值时的值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在中，角对应的边分别是，已知．‎ ‎ （1）求角的大小；‎ ‎ （2）若的面积求的值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量．‎ ‎（1）若，且，求向量的坐标；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）．‎ ‎ （1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；‎ ‎ （2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角（设为）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由．‎ 天门市2018-2019学年度第二学期期中考试试题 高 一 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1、考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。‎ ‎2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试卷上无效。‎ ‎3、考试结束后，只交答题卡。‎ ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知是锐角，那么2是 C ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．小于的正角 D．第一象限或第二象限 ‎2．下列三角函数的值大于零的是 B ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列命题成立的是 D ‎ A．若是第二象限角，则 B．若是第三象限角，则 C．若是第四象限角，则 D．若是第三象限角，则 ‎4．下列等式成立的是 C ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．下列定义在上的四个函数与其对应的周期T不正确的一组是 A ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．下列关于函数的单调性的叙述，正确的是 B ‎ A．在上是增函数，在上是减函数 B．在上是增函数，在和上是减函数 C．在上是增函数，在上是减函数 D．在上是增函数，在上是减函数 ‎7．下列不等式中，正确的是 A ‎ ① ‎ ‎② ‎ ‎③‎ ‎ A．①③ B．①② C．②③ D．①②③‎ ‎8．为了得到的图象，只需把余弦曲线上的所有点 C ‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎9．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 C ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，，那么的值为 B ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数的单调递增区间是 D ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．在中，则的解的个数为 C ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 二、填空题（本题共4小题，每小题5分共20分．把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）‎ ‎13．若，则与的夹角为 ▲ ． 或 ‎14．在中，，则最短边长等于 ▲ ． ‎ ‎15．等腰三角形一个底角的余弦为，那么顶角的余弦值为 ▲ ． ‎ ‎16．已知，那么的值为 ▲ ． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ A B C 如图，在中，已知，边所夹的角为．‎ ‎（1）关系式是否成立；‎ ‎（2）证明或者说明（1）中你的结论．‎ 解：（1）中关系式是成立的……………………………………3分 ‎ （2）证明：如图，设……………5分 ‎ 则……………………………………6分 ‎ ‎ ‎…………………9分 ‎ ∴ …………………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎ （1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；‎ ‎ （2）不画图，说明函数的图象可由的图象经过怎样的变化得到．‎ 解：（1）因为 ‎ ……………………………4分 ‎ 所以当时，取最小值 ‎ 此时的取值集合为……………………………………8分 ‎ （2）先将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图象；再将的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象………………………………………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知．‎ ‎ （1）请通过降幂化简；‎ ‎ （2）求函数在上的最小值并求当取最小值时的值．‎ 解： （1）…………………………2分 ‎ ……………………………………………4分 ‎ …………………………………………………………………8分 ‎（2）由，得 ‎ ∴当，即时，的最小值为 ……………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 在中，角对应的边分别是，已知．‎ ‎ （1）求角的大小；‎ ‎ （2）若的面积求的值．‎ 解：（1）由，‎ 得……………………………………………………2分 ‎ 即 ‎ 解得或（舍去）………………………………………4分 ‎ 因为，所以…………………………………………………6分 ‎ （2）由，‎ ‎ 得……………………………………………………8分 ‎ 由余弦定理得 ‎ 故……………………………………………………………………10分 ‎ 从而由正弦定理得 ‎…………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量．‎ ‎（1）若，且，求向量的坐标；‎ ‎（2）若，求的最小值．‎ 解：（1）∵，又，‎ ‎ ∴……………………………………………………………2分 ‎ ∴ ①‎ ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ②……………………………………………………4分 由①②得，‎ ‎∴，∴‎ 当时，（舍去）‎ 当时，‎ ‎∴，∴………………………………………………6分 ‎ （2）由（1）可知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴当时，………………………………………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）．‎ ‎ （1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；‎ ‎ （2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角（设为 ‎）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）如图，作，依题意 ‎ 又，故在中，可求得 ‎………………………………………………………2分 ‎ 即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米 ……………………………………5分 ‎ 在中，，，‎ ‎ ，‎ ‎ 又，故，‎ ‎ 即立柱的高度米…………………………………………………………7分 ‎ （2）存在 …………………………………………………………………………………8分 因为，‎ ‎ 所以 ‎ 于是得，从而 ‎ ‎ ‎ 又为锐角，‎ ‎ 故当视角取最大值时，………………………………………12分