2017-2018学年河南省周口市西华县一中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年河南省周口市西华县一中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年河南省周口市西华县一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=8，B=60°，C=75°，则b=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）等比数列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a6+a7=（　　）‎ A．64 B．﹣64 C．32 D．﹣32‎ ‎3．（5分）已知等差数列{an}中，公差d=2，an=11，Sn=35，则a1=（　　）‎ A．5或7 B．3或5 C．7或﹣1 D．3或﹣1‎ ‎4．（5分）△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，则=（　　）‎ A．15 B．9 C．﹣15 D．﹣9‎ ‎5．（5分）已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y=x2﹣4x+7的顶点是（b，c），则ad等于（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．12‎ ‎6．（5分）已知等差数列{an}的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎7．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2，A=45°，若三角形有两解，则边b的取值范围是（　　）‎ A．b＞2 B．b＜2 C．2＜b＜2 D．2＜b＜2‎ ‎8．（5分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎9．（5分）已知△ABC中，sin2B+sin2C﹣sin2A=﹣sinBsinC，则A=（　　）‎ A．60° B．90° C．150° D．120°‎ ‎10．（5分）《九章算术》中有“今有五人分无钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”．其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（　　）‎ A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎11．（5分）设{an}为等差数列，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时正整数n=（　　）‎ A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．8或9‎ ‎12．（5分）已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b2+c2﹣bc=4，则△ABC的面积的取值范围是（　　）‎ A．（，] B．（0，] C．（，] D．（，）‎ ‎　‎ 二.填空题，每题5分 ‎13．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若===3，则此三角形面积为　 　．‎ ‎14．（5分）数列{an}的首项a1=2，an=2an﹣1﹣3（n≥2），则a7=　 　．‎ ‎15．（5分）已知等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn和Tn，若=，则=　 　．‎ ‎16．（5分）如图半圆O的半径为1，P为直径MN延长线上一点，且OP=2，R为半圆上任意一点，以PR为一边作等边三角形PQR，则四边形OPQR面积最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若△ABC的面积S=10，b=5，求边a．‎ ‎18．（12分）已知等比数列{an}满足an+1+an=9•2n﹣1，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞t•an﹣1，对一切n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎19．（12分）在等差数列{an}中，2a9=a12+13，a2=5，其前n项和为Sn．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．‎ ‎20．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且 ‎（1）确定∠C的大小；‎ ‎（2）若c=，求△ABC周长的取值范围．‎ ‎21．（12分）轮船A从某港口O将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇．‎ ‎（1）若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度大小应为多少？‎ ‎（2）假设轮船A的最高航行速度只能达到30海里/小时，则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇，并说明理由．‎ ‎22．（12分）已知数列{an}及fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn，fn（﹣1）=（﹣1）n ‎•n，n=1，2，3，…‎ ‎（1）求a1，a2，a3的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河南省周口市西华县一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=8，B=60°，C=75°，则b=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由B与C的度数求出A的度数，再由sinB，sinA，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，‎ ‎∴由正弦定理=得：b===4，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）等比数列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a6+a7=（　　）‎ A．64 B．﹣64 C．32 D．﹣32‎ ‎【分析】根据等比数列的性质求解通项公式即可求解a6+a7的值．‎ ‎【解答】解：数列{an}是等比数列，a2+a3=4，a4+a5=16，‎ 即a2q+a2=4，=16，‎ 解得：q2=4．‎ 那么：a6+a7==16×4=64．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知等差数列{an}中，公差d=2，an=11，Sn=35，则a1=（　　）‎ A．5或7 B．3或5 C．7或﹣1 D．3或﹣1‎ ‎【分析】由已知列关于首项和项数n的方程组求解．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，由公差d=2，an=11，Sn=35，得 ‎，解得或．‎ ‎∴a1=3或﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，则=（　　）‎ A．15 B．9 C．﹣15 D．﹣9‎ ‎【分析】根据平面向量的数量积与勾股定理，即可求出的值．‎ ‎【解答】解：△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，‎ ‎∴⊥，如图所示；‎ ‎∴=||×||×cosA ‎=||×||‎ ‎=3×3‎ ‎=9．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积与勾股定理的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y=x2﹣4x+7的顶点是（b，c），则ad等于（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．12‎ ‎【分析】把抛物线的方程配方得到顶点式方程，找出顶点坐标进而得到b和c的值，又a，b，c，d成等比数列，得到ad=bc=6．‎ ‎【解答】解：把曲线方程y=x2﹣4x+7配方得：y=（x﹣2）2+3，‎ 得到顶点坐标为（2，3），即b=2，c=3，‎ 由a，b，c，d成等比数列，则ad=bc=6，‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握抛物线的简单性质，灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知等差数列{an}的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1‎ ‎【分析】由题意可得，求出d的范围，结合d为整数得答案．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，由a1=13，a5＜0，得 ‎，得，‎ ‎∵公差d为整数，‎ ‎∴d=﹣4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式，以及数列中项的正负问题，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2，A=45°，若三角形有两解，则边b的取值范围是（　　）‎ A．b＞2 B．b＜2 C．2＜b＜2 D．2＜b＜2‎ ‎【分析】a=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，由此利用正弦定理结合已知条件能求出b的取值范围 ‎【解答】解：∵a=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，‎ 当A=90°时，圆与AB相切；‎ 当A=45°时交于B点，也就是只有一解，‎ ‎∴45°＜A＜90°，即＜sinA＜1，‎ 由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：b=x==2sinA，‎ ‎∵2sinA∈（2，2）．‎ ‎∴b的取值范围是（2，2）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是正弦定理，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【分析】利用切化弦，结合正弦定理化简即可判断．‎ ‎【解答】解：由a2tanB=b2tanA，可得，‎ 正弦定理，可得acosA=bcosB 即sin2A=cos2B ‎∴A=B或2A=π﹣2B 当A=B时，△ABC的形状是等腰三角形，‎ 当2A=π﹣2B时，即A+B=，那么C=π﹣A﹣B=，△ABC的形状是直角三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知△ABC中，sin2B+sin2C﹣sin2A=﹣sinBsinC，则A=（　　）‎ A．60° B．90° C．150° D．120°‎ ‎【分析】由正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b及c的关系式，然后再利用余弦定理表示出cosA，把得到的关系式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．‎ ‎【解答】解：根据正弦定理化简已知等式得：‎ b2+c2﹣a2=﹣bc，‎ ‎∴cosA===﹣，又A为三角形的内角，‎ 则A=120°．‎ 故选D ‎【点评】此题考查了正弦定理，以及余弦定理的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）《九章算术》中有“今有五人分无钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”．其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（　　）‎ A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+‎ ‎2d=5a=5求得a=1，则答案可求．‎ ‎【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，‎ 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，‎ 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，‎ 则a﹣2d=a﹣2×（﹣）=a=，‎ ‎∴甲所得为钱，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设{an}为等差数列，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时正整数n=（　　）‎ A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．8或9‎ ‎【分析】由已知中等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，构造方程我们易求出数列{an}的首项为a1与公差为d的关系，进而得到数列{an}中正项与负项的分界点，进而得到使前n项和取最大值的正整数n．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ ‎∵|a3|=|a9|，‎ ‎∴|a1+2d|=|a1+8d|‎ 解得a1=﹣5d或d=0（舍去）‎ 则a1+5d=a6=0‎ a5＞0‎ 故使前n项和取最大值的正整数n是5或6．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是等差数列的定义及等差数列的性质，在处理等差数列问题时，常设出数列{an}的首项为a1，公差为d，然后构造方程分析首项为a1与公差为d的关系．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b2+c2﹣bc=4，则△ABC的面积的取值范围是（　　）‎ A．（，] B．（0，] C．（，] D．（，）‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，结合A的范围可求A，可得B+C=，由正弦定理可得b=sinB，c=sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC=sin（2B﹣）+，由已知可求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．‎ ‎【解答】解：∵a=2，b2+c2﹣bc=4，‎ ‎∴cosA==，‎ ‎∴由A为锐角，可得：A=，sinA=，B+C=，‎ ‎∵由正弦定理可得：，可得：b=sinB，c=sin（﹣B），‎ ‎∴S△ABC=bcsinA ‎=×sinB×sin（﹣B）‎ ‎=sinB（cosB+sinB）‎ ‎=sin2B﹣cos2B+‎ ‎=sin（2B﹣）+，‎ ‎∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，‎ ‎∴S△ABC=sin（2B﹣）+∈（，]．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 二.填空题，每题5分 ‎13．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若===3，则此三角形面积为　　．‎ ‎【分析】由已知结合正弦定理可得B=C=，A=，a=3，进而可得三角形面积．‎ ‎【解答】解：∵===3，‎ ‎∴B=C=，‎ 故A=，a=3，‎ ‎∴b=c=，‎ 故三角形面积S==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是正弦定理，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）数列{an}的首项a1=2，an=2an﹣1﹣3（n≥2），则a7=　﹣61　．‎ ‎【分析】递推式两边同时减3，可得{an﹣3}是等比数列，从而得出a7的值．‎ ‎【解答】解：∵an=2an﹣1﹣3，‎ ‎∴an﹣3=2（an﹣1﹣3），‎ ‎∴{an﹣3}是以﹣1为首项以2为公比的等比数列，‎ ‎∴a7﹣3=﹣26=﹣64，‎ ‎∴a7=﹣61．‎ 故答案为：﹣61．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的判断与通项公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn和Tn，若=，则=　　．‎ ‎【分析】由等差数列的求和公式和性质可得：=，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：=======，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）如图半圆O的半径为1，P为直径MN延长线上一点，且OP=2，R为半圆上任意一点，以PR为一边作等边三角形PQR，则四边形OPQR面积最大值为　2+　．‎ ‎【分析】设∠POR=α，利用余弦定理求出PR2，再求四边形OPQR的面积S的解析式，根据α的取值范围求出S的最大值即可．‎ ‎【解答】解：设∠POR=α，在△POR中，由余弦定理得：‎ PR2=12+22﹣2×1×2cosα=5﹣4cosα，‎ 所以四边形OPQR的面积为：‎ S=S△POR+S△PRQ ‎=OP•ORsinα+PR2‎ ‎=×2×1×sinα+（5﹣4cosα）‎ ‎=sinα﹣cosα+=2sin（α﹣）+，‎ ‎∵0＜α＜π，‎ ‎∴当α﹣=，解得α=π，‎ 即∠POR=时，四边形OPQR面积取得最大值，最大为2+，‎ 故答案为：2+．‎ ‎【点评】本题考查了余弦定理以及三角函数的化简和求最大值问题．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若△ABC的面积S=10，b=5，求边a．‎ ‎【分析】（1）根据cos2A﹣3cos（B+C）=1．利用二倍角和诱导公式化简可得A角．‎ ‎（2）根据S=absinA=10，b=5，即可求解边a的值．‎ ‎【解答】解：（1）由cos2A﹣3cos（B+C）=1．A+C+B=π ‎∴2cos2A﹣1+3cosA﹣1=0．‎ 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0‎ ‎∴cosA=‎ ‎∵0＜A＜π．‎ ‎∴A=．‎ ‎（2）由S=absinA=10，b=5，A=．‎ 可得=，‎ ‎∴a=8．‎ ‎【点评】本题考查△‎ ABC的面积的求法，二倍角和诱导公式化简的运用．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知等比数列{an}满足an+1+an=9•2n﹣1，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞t•an﹣1，对一切n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据{an}是等比数列，可得an=，an+1+an=9•2n﹣1，n∈N*．可得a1+a2=9，a2+a3=18，即可求解数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）根据等比数列的前n项和公式求解Sn，由于Sn＞t•an﹣1，分离参数，即可求解实数t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，{an}是等比数列，‎ ‎∵an+1+an=9•2n﹣1，n∈N*．‎ 可得a1+a2=9，a2+a3=18，‎ 即a1+a1q=9，，‎ 解得：a1=3，q=2．‎ ‎∴an==3•2n﹣1．‎ ‎（2）等比数列的前n项和Sn==3•2n﹣3．‎ 不等式Sn＞t•an﹣1，对一切n∈N*恒成立，即＞t对一切n∈N*恒成立．‎ ‎∵=是递增函数，‎ ‎∴当n=1时，即取得最小值为．‎ ‎∴t．‎ 即实数t的取值范围（﹣∞，）．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列通项公式和前n项和的求解，由分离参数结合单调性求解范围是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在等差数列{an}中，2a9=a12+13，a2=5，其前n项和为Sn．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由2a9=a12+13，a2=5列关于首项和公差的方程组，求得a1和d，代入等差数列的通项公式求解；‎ ‎（2）求出，可得，利用裂项相消法求和后即可证明Tn＜．‎ ‎【解答】（1）解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由2a9=a12+13，a2=5，‎ 得，解得，‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；‎ ‎（2）证明：，‎ ‎∴，‎ 则 ‎==．‎ ‎【点评】本题考查等差数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且 ‎（1）确定∠C的大小；‎ ‎（2）若c=，求△ABC周长的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简可得答案．‎ ‎（2）利用正弦定理边化角，根据三角函数的有界限求解周长范围即可；‎ ‎【解答】解：（1）由a=2csinA，‎ 由正弦定理，得sinA=2sinCsinA，‎ 又sinA≠0，‎ 则sinC=，‎ ‎∴∠C=60°或∠C=120°，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴∠C=120°舍去．‎ ‎∴∠C=60°．‎ ‎（2）∵c=，sinC=‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ 即a=2sinA，b=2sinB，‎ 又A+B=π﹣C=，即B=﹣A，‎ ‎∴a+b+c=2（sinA+sinB）+‎ ‎=2[sinA+sin（﹣A）]+‎ ‎=2（sinA+sincosA﹣cossinA）+‎ ‎=3sinA+cosA+‎ ‎=2（sinAcos+cosAsin）+‎ ‎=2sin（A+）+，‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴＜∠A＜，‎ ‎∴＜sin（A+）≤1，‎ 则△ABC周长的取值范围是（3+，3]．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理的运用和三角函数的有界限求解范围问题．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）轮船A从某港口O将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇．‎ ‎（1）若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度大小应为多少？‎ ‎（2）假设轮船A的最高航行速度只能达到30海里/小时，则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）设两轮船在Q处相遇，在△POQ中，利用余弦定理得出OQ关于t的函数，从而得出OQ的最小值及其对应的t，得出速度；‎ ‎（2）利用余弦定理计算航行时间t，得出PQ，OQ距离，从而得出∠POQ的度数，得出航行方案．‎ ‎【解答】解：（1）设AB两船在Q处相遇，‎ 在△OPQ中，OP=20，PQ=30t，OQ=Vt，∠OPQ=60°，‎ 由余弦定理可得Vt==，‎ ‎∴当t=时，Vt取得最小值10，‎ 此时V==30．‎ 即轮船A以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．‎ ‎（2）在△POQ中，OQ=30t，‎ 由余弦定理得：OQ2=PQ2+OP2﹣2×PQ×OPcos∠OPQ，‎ 即（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°‎ ‎∴600t=400‎ 解得：t=，∴PQ=OQ=20，‎ ‎∴△OPQ为等边三角形，∴∠POQ=30°．‎ 故航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．‎ ‎【点评】本题考查了解三角形的应用，余弦定理，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知数列{an}及fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn，fn（﹣1）=（﹣1）n•n，n=1，2，3，…‎ ‎（1）求a1，a2，a3的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎【分析】（1）由已知条件利用函数的性质能求出a1，a2，a3的值．‎ ‎（2）由已知条件推导出an+1=2n+1，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（3）由，利用错位相减法能证明．‎ ‎【解答】（1）解：由已知f1（﹣1）=﹣a1=﹣1，所以a1=1．…（1分）‎ f2（﹣1）=﹣a1+a2=2，所以a2=3．…（2分）‎ f3（﹣1）=﹣a1+a2﹣a3=﹣3，所以a3=5．…（3分）‎ ‎（2）解：令x=﹣1，则①‎ ‎②‎ 两式相减，得，‎ 所以an+1=（n+1）+n．即an+1=2n+1．…（5分）‎ 又a1=1也满足上式，…（6分）‎ 所以数列{an}的通项公式为an=2n﹣1．（n=1，2，3…）．…（7分）‎ ‎（3）证明：，‎ 所以．③‎ ‎．④‎ ‎①﹣②，得 ‎=，‎ ‎∴．…（9分）‎ 又n=1，2，3…，∴故＜1．‎ 又 ‎∴是递增数列，故…（11分）‎ ‎∴．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．‎ ‎　‎