2015年高考数学（文科）真题分类汇编K单元 概率

2015年高考数学（文科）真题分类汇编K单元 概率

‎ 数 学 ‎ ‎ K单元 概率 ‎ K1　随事件的概率 ‎17．K1，K2[2015·四川卷] 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．‎ ‎(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎(2)若乘客P1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．‎ ‎17．解：(1)余下两种坐法如下表所示：‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 于是，所有可能的坐法共8种．‎ 设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，‎ 所以P(A)＝＝.‎ 答：乘客P5坐到5号座位的概率是.‎ K2　古典概型 ‎15．I1、K2[2015·天津卷] 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．‎ ‎(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．‎ ‎(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．‎ ‎(i)用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．‎ ‎15．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.‎ ‎(2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．‎ ‎(ii)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．‎ 因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.‎ ‎17．K1，K2[2015·四川卷] 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．‎ ‎(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎(2)若乘客P1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．‎ ‎17．解：(1)余下两种坐法如下表所示：‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 于是，所有可能的坐法共8种．‎ 设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，‎ 所以P(A)＝＝.‎ 答：乘客P5坐到5号座位的概率是.‎ ‎19．I2、K2[2015·陕西卷] 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 日期 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 天气 阴 晴 晴 晴 阴 晴 日期 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 天气 晴 晴 晴 晴 阴 雨 日期 ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ 天气 阴 阴 晴 阴 晴 晴 日期 ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．‎ ‎19．解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率为.‎ ‎(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.‎ 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.‎ ‎16．K2[2015·山东卷] 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ 未参加演讲社团 ‎2‎ ‎30‎ ‎(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率．‎ ‎(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．‎ ‎16．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，‎ 所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率P＝＝.‎ ‎(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其所有可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，‎ ‎{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，‎ ‎{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，‎ 共15个．‎ 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．‎ 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．‎ 因此A1被选中且B1未被选中的概率P＝.‎ ‎16．K2[2015·湖南卷] 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．‎ ‎(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果．‎ ‎(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．‎ ‎16．解：(1)所有可能的摸出结果是 ‎{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．‎ ‎(2)不正确．理由如下：‎ 由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，‎ 所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．‎ ‎18．K2、I2[2015·福建卷] 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎[4，5)‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎[5，6)‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[6，7)‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎[7，8]‎ ‎3‎ ‎(1)现从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；‎ ‎(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．‎ ‎18．解：方法一：(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：‎ ‎{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．‎ 其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．‎ 所以所求的概率P＝.‎ ‎(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.‎ 方法二：(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是：‎ ‎{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．‎ 其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．‎ 所以所求的概率P＝1－＝.‎ ‎(2)同方法一．‎ ‎17．K2，K7[2015·北京卷] 某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．‎ ‎　　　商品 顾客人数　　　‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率．‎ ‎(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．‎ ‎(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ ‎17．解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.‎ ‎(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．‎ 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.‎ ‎(3)与(1)同理，可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.‎ 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．‎ ‎4．K2[2015·全国卷Ⅰ] 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．C　[解析] 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种取法，其中只有(3，4，5)是一组勾股数，所以构成勾股数的概率为.‎ ‎7．K2[2015·广东卷] 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为(　　)‎ A．0.4 B．0.6‎ C．0.8 D．1‎ ‎7．B　[解析] 5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有1件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)．设事件A＝“恰有1件次品”，则P(A)＝＝0.6，故选B.‎ ‎17．I2、K2[2015·安徽卷] 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图14所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．‎ ‎(1)求频率分布直方图中a的值；‎ ‎(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．‎ 图14‎ ‎17．解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.‎ ‎(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.‎ ‎(3)受访职工中评分在[50，60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；‎ 受访职工中评分在[40，50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.‎ 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，所以所求的概率P＝.‎ K3　几何概型 ‎8．K3[2015·湖北卷] 在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则(　　)‎ A．p1

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