高考理数　抛物线及其性质

高考理数　抛物线及其性质

§10.3 　抛物线及其性质 高考理数 ( 课标专用) 考点一　抛物线的定义和标准方程 1. (2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线 C : y 2 =8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一 个交点.若   =4   ,则| QF |=   (　　) A.   　    B.3　    C.   　    D.2 A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案    B 　∵   =4   ,∴点 Q 在线段 PF 上,且在两端点之间,过 Q 作 QM ⊥ l ,垂足为 M ,由抛物线 定义知| QF |=| QM |,设抛物线的准线 l 与 x 轴的交点为 N ,则| FN |=4,又易知△ PQM ∽△ PFN ,则   =   ,即   =   .∴| QM |=3,即| QF |=3.故选B.   2. (2017课标Ⅱ,16,5分)已知 F 是抛物线 C : y 2 =8 x 的焦点, M 是 C 上一点, FM 的延长线交 y 轴于点 N . 若 M 为 FN 的中点,则| FN |= 　　　     . 答案 　6 解析 　如图,过 M 、 N 分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为 M 1 、 N 1 ,设抛物线的准线与 x 轴的交 点为 F 1 ,则| NN 1 |=| OF 1 |=2,| FF 1 |=4.因为 M 为 FN 的中点,所以| MM 1 |=3,由抛物线的定义知| FM |=| MM 1 | =3,从而| FN |=2| FM |=6.   思路分析 　过 M 、 N 作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解. 方法总结 　当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义 在解题中的重要作用. 考点二　抛物线的几何性质 1 .(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A , B 两点,交 C 的准线于 D , E 两点.已 知| AB |=4   ,| DE |=2   ,则 C 的焦点到准线的距离为   (　　) A.2　    B.4　    C.6　    D.8 答案    B 　不妨设 C : y 2 =2 px ( p >0), A ( x 1 ,2   ),则 x 1 =   =   ,由题意可知| OA |=| OD |,得   +8=   +5,解得 p =4.故选B. 思路分析 　设出抛物线 C 的方程,根据已知条件得出点 A 的坐标,利用| OA |=| OD |建立关于 p 的方 程,解方程得出结论. 2. (2018课标Ⅲ,16,5分)已知点 M (-1,1)和抛物线 C : y 2 =4 x ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A , B 两点.若∠ AMB =90 ° ,则 k = 　　　     . 答案 　2 解析 　本题考查抛物线的几何性质及应用. 解法一:由题意可知 C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为 k 的直线方程为 x =   +1,设 A   , B   ,将直线方程与抛物线方程联立得   整理得 y 2 -   y -4=0,从而得 y 1 + y 2 =   , y 1 · y 2 =-4. ∵ M (-1,1),∠ AMB =90 ° ,∴   ·   =0,即   ·   +( y 1 -1)( y 2 -1)=0,即 k 2 -4 k +4=0,解得 k =2. 解法二:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则   ②-①得   -   =4( x 2 - x 1 ),从而 k =   =   . 设 AB 的中点为 M ',连接 MM '. ∵直线 AB 过抛物线 y 2 =4 x 的焦点,∴以线段 AB 为直径的☉ M '与准线 l : x =-1相切. ∵ M (-1,1),∠ AMB =90 ° , ∴点 M 在准线 l : x =-1上,同时在☉ M '上, ∴准线 l 是☉ M '的切线,切点为 M ,且 M ' M ⊥ l , 即 MM '与 x 轴平行, ∴点 M '的纵坐标为1,即   =1 ⇒ y 1 + y 2 =2, 故 k =   =   =2.   疑难突破 　运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题. 考点一　抛物线的定义和标准方程 1. (2016浙江,9,4分)若抛物线 y 2 =4 x 上的点 M 到焦点的距离为10,则 M 到 y 轴的距离是 　　　     . B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案 　9 解析 　设 M ( x 0 , y 0 ),由抛物线方程知焦点 F (1,0).根据抛物线的定义得| MF |= x 0 +1=10,∴ x 0 =9,即点 M 到 y 轴的距离为9. 评析 　本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用. 2. (2015陕西,14,5分)若抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的准线经过双曲线 x 2 - y 2 =1的一个焦点,则 p = 　　　     . 答案 　2   解析 　抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的准线方程为 x =-   ( p >0),故直线 x =-   过双曲线 x 2 - y 2 =1的左焦点(-   ,0), 从而-   =-   ,得 p =2   . 3. (2014湖南,15,5分)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a , b ( a < b ),原点 O 为 AD 的中 点,抛物线 y 2 =2 px ( p >0)经过 C , F 两点,则   = 　　　     .   答案 　1+   解析 　| OD |=   ,| DE |= b ,| DC |= a ,| EF |= b , 故 C   , F   , 又抛物线 y 2 =2 px ( p >0)经过 C 、 F 两点, 从而有   即   ∴ b 2 = a 2 +2 ab , ∴   -2·   -1=0, 又   >1,∴   =1+   . 考点二　抛物线的几何性质 1. (2015浙江,5,5分)如图,设抛物线 y 2 =4 x 的焦点为 F ,不经过焦点的直线上有三个不同的 点 A , B , C ,其中点 A , B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△ BCF 与△ ACF 的面积之比是   (　　)   A.   　    B.   C.   　    D.   答案    A 　过 A , B 点分别作 y 轴的垂线,垂足分别为 M , N ,则| AM |=| AF |-1,| BN |=| BF |-1. 可知   =   =   =   =   ,故选A. 2. (2017北京,18,14分)已知抛物线 C : y 2 =2 px 过点 P (1,1).过点   作直线 l 与抛物线 C 交于不同的 两点 M , N ,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP , ON 交于点 A , B ,其中 O 为原点. (1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证: A 为线段 BM 的中点. 解析　 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系. (1)由抛物线 C : y 2 =2 px 过点 P (1,1),得 p =   . 所以抛物线 C 的方程为 y 2 = x . 抛物线 C 的焦点坐标为   ,准线方程为 x =-   . (2)由题意,设直线 l 的方程为 y = kx +   ( k ≠ 0), l 与抛物线 C 的交点为 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ). 由   得4 k 2 x 2 +(4 k -4) x +1=0. 则 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   . 因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 y = x ,点 A 的坐标为( x 1 , x 1 ).直线 ON 的方程为 y =   x , 点 B 的坐标为   . 因为 y 1 +   -2 x 1 =   =   =   =   =0, 所以 y 1 +   =2 x 1 . 故 A 为线段 BM 的中点. 方法总结 　在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联 立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解. 易错警示 　在设直线方程时,若要设成 y = kx + m 的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成 x = ty + n 的形式,注意先讨论斜率是否为0. 考点一　抛物线的定义和标准方程 1. (2013课标Ⅱ,11,5分,0.474)设抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0)的焦点为 F ,点 M 在 C 上,| MF |=5,若以 MF 为 直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为   (　　) A. y 2 =4 x 或 y 2 =8 x 　    B. y 2 =2 x 或 y 2 =8 x C. y 2 =4 x 或 y 2 =16 x 　    D. y 2 =2 x 或 y 2 =16 x C组    教师专用题组 答案    C 　∵以 MF 为直径的圆过点(0,2),∴点 M 在第一象限.由| MF |= x M +   =5可得 M   .从而以 MF 为直径的圆的圆心 N 的坐标为   ,∵点 N 的横坐标 恰好等于圆的半径,∴圆与 y 轴切于点(0,2),从而2=     ,即 p 2 -10 p +16=0,解得 p =2或 p =8, ∴抛物线方程为 y 2 =4 x 或 y 2 =16 x .故选C. 思路分析 　根据抛物线方程及定义可得 M   ,从而可得以 MF 为直径的圆的圆 心坐标,进而知该圆与 y 轴切于点(0,2),由此可列出关于 p 的方程,解方程即可得出抛物线方程. 一题多解 　由抛物线 C : y 2 =2 px 可知焦点 F 为   .设 A (0,2), M ( x 0 , y 0 ),则   =   ,   =( x 0 , y 0 - 2)=   . 依题意,   ·   =0,即   -8 y 0 +16=0,∴ y 0 =4,则 M   ,由| MF |=5,得   +16=25,解得 p =2或 p =8,∴抛物线方程为 y 2 =4 x 或 y 2 =16 x ,故选C. 2. (2012课标,20,12分)设抛物线 C : x 2 =2 py ( p >0)的焦点为 F ,准线为 l . A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点. (1)若∠ BFD =90 ° ,△ ABD 的面积为4   ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A , B , F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m , n 距离 的比值. 解析 　(1)由已知可得△ BFD 为等腰直角三角形,| BD |=2 p ,圆 F 的半径| FA |=   p . 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d =| FA |=   p . 因为△ ABD 的面积为4   , 所以   | BD |· d =4   , 即   ·2 p ·   p =4   , 解得 p =-2(舍去), p =2. 所以 F (0,1),圆 F 的方程为 x 2 +( y -1) 2 =8. (2)因为 A , B , F 三点在同一直线 m 上, 所以 AB 为圆 F 的直径,∠ ADB =90 ° . 由抛物线定义知| AD |=| FA |=   | AB |, 所以∠ ABD =30 ° , m 的斜率为   或-   . 当 m 的斜率为   时,由已知可设 n : y =   x + b ,代入 x 2 =2 py 得 x 2 -   px -2 pb =0. 由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ =   p 2 +8 pb =0, 解得 b =-   . 因为 m 的截距 b 1 =   ,   =3,所以坐标原点到 m , n 距离的比值为3. 当 m 的斜率为-   时,由图形对称性可知,坐标原点到 m , n 距离的比值为3. 评析     本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想. 考点二　抛物线的几何性质 1. (2013四川,6,5分)抛物线 y 2 =4 x 的焦点到双曲线 x 2 -   =1的渐近线的距离是   (　　) A.   　    B.   　    C.1　    D.   答案    B 　由抛物线 y 2 =4 x ,有2 p =4 ⇒ p =2,焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为 y = ±   x ,不妨 取其中一条:   x - y =0,由点到直线的距离公式,有 d =   =   .故选B. 评析     考查抛物线及双曲线的基本性质,点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力. 2. (2016天津,14,5分)设抛物线   ( t 为参数, p >0)的焦点为 F ,准线为 l .过抛物线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B .设 C   , AF 与 BC 相交于点 E .若| CF |=2| AF |,且△ ACE 的面积为3   ,则 p 的值 为 　　　     . 答案        解析 　由已知得抛物线的方程为 y 2 =2 px ( p >0),则| FC |=3 p ,∴| AF |=| AB |=   p ,不妨设 A 在第一象限, 则 A ( p ,   p ).易证△ EFC ∽△ EAB ,所以   =   =   =2,所以   =   ,所以 S △ ACE =   S △ AFC =   ×   p ×   p =   p 2 =3   ,所以 p =   . 评析     本题考查了抛物线的定义和方程;考查了计算求解能力. 3. (2014上海,3,4分)若抛物线 y 2 =2 px 的焦点与椭圆   +   =1的右焦点重合,则该抛物线的准线 方程为 　　　     . 答案      x =-2 解析 　∵ c 2 =9-5=4,∴ c =2.∴椭圆   +   =1的右焦点为(2,0),∴   =2,即 p =4.∴抛物线的准线方 程为 x =-2. 4. (2013江西,14,5分)抛物线 x 2 =2 py ( p >0)的焦点为 F ,其准线与双曲线   -   =1相交于 A , B 两点,若 △ ABF 为等边三角形,则 p = 　　　     . 答案 　6 解析　 如图,在正三角形 ABF 中, DF = p , BD =   p ,∴ B 点坐标为   .又点 B 在双曲线上,故   -   =1,解得 p =6.   考点一　抛物线的定义和标准方程 1. (2018湖北四地七校3月联考,9)已知抛物线 y 2 =2 px ( p >0),点 C (-4,0),过抛物线的焦点作垂直于 x 轴的直线,与抛物线交于 A , B 两点,若△ CAB 的面积为24,则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方 程是   (　　) A. y 2 =4 x 　    B. y 2 =-4 x C. y 2 =8 x 　    D. y 2 =-8 x 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案    D 　因为 AB ⊥ x 轴,且 AB 过点 F ,所以 AB 是焦点弦,且| AB |=2 p ,所以 S △ CAB =   × 2 p ×   =2 4,解得 p =4或-12(舍),所以抛物线方程为 y 2 =8 x ,所以直线 AB 的方程为 x =2,所以以直线 AB 为准线 的抛物线的标准方程为 y 2 =-8 x ,故选D. 2. (2018广东珠海3月模拟,7)已知抛物线 y 2 =4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 P 为抛物线上一点,且在第 一象限, PA ⊥ l ,垂足为 A ,| PF |=4,则直线 AF 的倾斜角等于   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    B 　由抛物线 y 2 =4 x 知焦点 F 的坐标为(1,0),准线 l 的方程为 x =-1,由抛物线定义可知| PA |=| PF |=4,所以点 P 的坐标为(3,2   ),因此点 A 的坐标为(-1,2   ),所以 k AF =   =-   ,所以直线 AF 的倾斜角等于   ,故选B. 3. (2018河南百校联盟4月联考,6)已知抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0)的焦点为 F ,点 M 在抛物线 C 上,且| MO |=| MF |=   ( O 为坐标原点),则   ·   =   (　　) A.-   　    B.   　    C.   　    D.-   答案    A 　不妨设 M ( m ,   )( m >0),易知抛物线 C 的焦点 F 的坐标为   ,因为| MO |=| MF |=   , 所以   解得 m =   , p =2,所以   =   ,   =   ,所以   ·   =   -2=-   .故选 A. 4. (2017江西赣州二模,4)抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0)的焦点为 F , A 是抛物线上一点,若 A 到 F 的距离是 A 到 y 轴距离的两倍,且三角形 OAF 的面积为1, O 为坐标原点,则 p 的值为   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案    B　 不妨设 A ( x 0 , y 0 )在第一象限,由题意可知   即   ∴ A   ,又 ∵点 A 在抛物线 y 2 =2 px 上,∴   =2 p ×   ,即 p 4 =16,又∵ p >0,∴ p =2,故选B. 5. (2016河南中原名校联考,9)抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点为 F , O 为坐标原点, M 为抛物线上一点, 且| MF |=4| OF |,△ MFO 的面积为4   ,则抛物线的方程为   (　　) A. y 2 =6 x 　    B. y 2 =8 x 　    C. y 2 =16 x 　    D. y 2 =   答案    B　 设 M ( x , y ),因为| OF |=   ,| MF |=4| OF |,所以| MF |=2 p ,由抛物线定义知 x +   =2 p ,所以 x =   p , 所以 y = ±   p ,又△ MFO 的面积为4   ,所以   ×   ×   p =4   ,解得 p =4( p =-4舍去).所以抛物线的 方程为 y 2 =8 x . 考点二　抛物线的几何性质 1. (2018湖南雅礼中学、河南实验中学4月联考,11)过抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 P , Q 两点,与抛物线的准线交于点 M ,且   =3   ,则|   |=   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    C　 如图,不妨设 Q 点在第一象限,过 P 点作 PN 垂直于抛物线的准线,垂足为 N ,   由抛物线定义可知| PF |=| PN |,又因为   =3   ,所以   =2   ,所以| PM |=2| PF |=2| PN |,在Rt△ PNM 中,cos∠ MPN =   =   ,由抛物线焦点弦的性质可知|   |=   =   =   .故选C. 2. (2017河北衡水中学调研,15)已知抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点为 F ,过 F 的直线 l 与抛物线交 于 A 、 B 两点,且| AF |=4| FB |, O 为坐标原点,若△ AOB 的面积为   ,则 p = 　　　     . 答案 　1 解析 　解法一:易知抛物线 y 2 =2 px 的焦点 F 的坐标为   ,准线为 x =-   ,不妨设点 A 在 x 轴上方, 如图,过 A 、 B 作准线的垂线 AA ', BB ',垂足分别为 A ', B ',过点 B 作 BH ⊥ AA ',交 AA '于 H ,则| BB '|=| A ' H |,   设| FB |= t ,则| AF |=| AA '|=4 t , ∴| AH |=| AA ‘|-| A ’ H |=3 t ,又| AB |=5 t , ∴在Rt△ ABH 中,cos∠ HAB =   ,∴tan∠ HAB =   , 则可得直线 AB 的方程为 y =     . 由   得8 x 2 -17 px +2 p 2 =0, 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则| AB |= x 1 + x 2 + p =   p + p =   p , 易知点 O 到直线 AB 的距离为 d =| OF |·sin∠ A ' AB =   ×   =   p . ∴ S △ AOB =   ×   p ×   p =   =   , ∴ p 2 =1,又 p >0,∴ p =1. 解法二:设直线 AB 的倾斜角为 θ ,不妨设点 A 在 x 轴上方,由抛物线焦点弦的性质可知| AF |=   ,| BF |=   ,又| AF |=4| BF |,所以   =   ,解得cos θ =   ,∴sin θ =   .又| AB |=| AF |+| BF |=   +   =   ,点 O 到直线 AB 的距离 d =   sin θ ,所以 S △ AOB =   | AB |· d =   =   =   ,所以 p 2 =1,又 p >0,所以 p =1. 1. (2018安徽六安一中4月月考,10)若曲线 y =   的对称中心在抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0)上,过抛物 线 C 的焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A , B 两点,则| AF |+2| BF |的最小值是   (　　) A.2   　    B.6　    C.3　    D.2   +3 B 组 201 6 —201 8 年高考模拟·综合题组 (时间:35分钟　　分值:50分) 一、选择题(每题5分,共20分) 答案    D 　由题意知 y =   =2+   ,所以曲线 y =   可由奇函数 y =   的图象平移得到,易得其 对称中心为(1,2),代入抛物线方程得4=2 p ,得 p =2,所以抛物线 C 的方程为 y 2 =4 x ,设直线 l 的方程为 x = my +1,由   得 y 2 -4 my -4=0,设 A   , B   ,则 y 1 y 2 =-4,由抛物线定义可知| AF |+2| BF |=   +1+2   =   +   +3 ≥ 2   +3=2   +3,当且仅当   =   ,即   =2   时,等号成 立,故选D. 思路分析 　首先求出曲线 y =   的对称中心,从而得到抛物线方程,设出直线 l 的方程,并与抛 物线方程联立求得 y 1 y 2 =-4( y 1 、 y 2 分别为 A 、 B 的纵坐标),利用抛物线定义表示出| AF |+2| BF |,最 后利用基本不等式求得最小值. 2. (2018江西六校4月联考,10)已知抛物线 C : y 2 =2   x ,过焦点 F 且斜率为   的直线与 C 交于 P 、 Q 两点,且 P 、 Q 两点在准线上的射影分别为 M 、 N 两点,则 S △ MFN =   (　　) A.8　    B.2   　    C.4   　    D.8   答案    B 　不妨设点 P 在 x 轴上方,由抛物线定义可知| PF |=| PM |,| QF |=| QN |,设直线 PQ 的倾斜角 为 θ ,则tan θ =   ,∴ θ =   ,由抛物线焦点弦的性质可知,| PF |=   =   =2   ,| QF |=   =   =   ,所以| MN |=| PQ |·sin θ =(| PF |+| QF |)sin   =   ×   =4,所以 S △ MFN =   × | MN | × p =   × 4 ×   =2   ,故选B.   知识拓展 　已知抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点为 F ,过 F 作直线 l 交抛物线于 A , B 两点( A 点在 x 轴上 方, B 点在 x 轴下方), θ 为直线 l 的倾斜角,则有如下结论:①| AF |=   ,| BF |=   ;②| AB |=   ;③ S △ AOB =   ;④   +   =   . 思路分析 　由直线斜率得倾斜角 θ ,利用抛物线焦点弦的性质分别求| PF |与| QF |,进而得| PQ |,利 用三角函数求得| MN |,从而求得△ MFN 的面积. 一题多解　 由题意可得直线 PQ : y =     =   x -   ,与抛物线方程 y 2 =2   x 联立,得   =2   x ,即3 x 2 -5   x +   =0,设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ),则 x 1 + x 2 =   ,∴| PQ |= x 1 + x 2 + p =   +   =   ,所以| MN |=| PQ |sin   =4,所以 S △ MNF =   × 4 ×   =2   ,故选B. 3. (2018福建六校4月联考,10)已知抛物线 E : y 2 =2 px ( p >0)的焦点为 F ,过 F 且斜率为1的直线交 E 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 M ,其垂直平分线交 x 轴于点 C , MN ⊥ y 轴于点 N .若四边形 CMNF 的面 积等于7,则抛物线 E 的方程为   (　　) A. y 2 = x 　    B. y 2 =2 x 　    C. y 2 =4 x 　    D. y 2 =8 x 答案    C 　由题意,得 F   ,直线 AB 的方程为 y = x -   ,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), M ( x 0 , y 0 ),联立 y = x -   和 y 2 =2 px 得, y 2 -2 py - p 2 =0, 则 y 1 + y 2 =2 p ,所以 y 0 =   = p ,故 N (0, p ), 又因为点 M 在直线 AB 上,所以 x 0 =   ,即 M   , 因为 MC ⊥ AB ,所以 k AB · k MC =-1,故 k MC =-1, 从而直线 MC 的方程为 y =- x +   p ,令 y =0,得 x =   p ,故 C   , 四边形 CMNF 的面积可以看作直角梯形 CMNO 与直角三角形 NOF 的面积之差,即 S 四边形 CMNF = S 梯形 CMNO - S △ NOF =       p +   p   · p -   p ·   =   p 2 =7,∴ p 2 =4,又 p >0,∴ p =2,故抛物线 E 的方程为 y 2 =4 x ,故选C. 思路分析　 联立抛物线的方程与直线 AB 的方程,利用根与系数关系求得 AB 中点 M 的坐标,进而 写出线段 AB 中垂线 MC 的方程,得点 C 坐标,从而可利用 S 四边形 CMNF = S 梯形 CMNO - S △ NOF 建立参数 p 的方程, 求出 p 即可得抛物线 E 的方程. 4. (2016湖南长郡中学3月月考,8)抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点为 F ,已知点 A , B 为抛物线上的两个 动点,且满足∠ AFB =120 ° ,过 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则   的最大值为   (　　) A.   　    B.1　    C.   　    D.2 答案    A　 过 A 、 B 分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为 A 1 , B 1 ,由题意知| MN |=   (| AA 1 |+| BB 1 |)=   (| AF |+| BF |),在△ AFB 中,| AB | 2 =| AF | 2 +| BF | 2 -2| AF || BF |·cos 120 ° =| AF | 2 +| BF | 2 +| AF || BF |.   ∴   =   ·   =     =     ≤   ×   =   , 当且仅当| AF |=| BF |时取等号, ∴   的最大值为   . 思路分析 　作出辅助线,利用抛物线定义可得| MN |=   ,由余弦定理可得| AB | 2 =| AF | 2 +| BF | 2 +| AF |·| BF |,进而表示出   ,利用基本不等式求其最大值,进而得到   的最大值. 二、填空题(每题5分,共5分) 5. (2017河南安阳二模,15)已知抛物线 C 1 : y = ax 2 ( a >0)的焦点 F 也是椭圆 C 2 :   +   =1( b >0)的一个 焦点,点 M , P   分别为曲线 C 1 , C 2 上的点,则| MP |+| MF |的最小值为 　　　     . 答案 　2 解析　 将 P   代入   +   =1,可得   +   =1,∴ b =   ,∴ c =1,∴抛物线的焦点 F 为(0,1),∴抛物 线 C 1 的方程为 x 2 =4 y ,准线为直线 y =-1,设点 M 在准线上的射影为 D ,根据抛物线的定义可知| MF |=| MD |,∴要求| MP |+| MF |的最小值,即求| MP |+| MD |的最小值,易知当 D 、 M 、 P 三点共线时,| MP |+| MD |最小,最小值为1-(-1)=2. 思路分析　 求出抛物线的焦点坐标,设点 M 在准线上的射影为 D ,根据抛物线定义可得| MF |=| MD |,从而把问题转化为求| MP |+| MD |的最小值,可推断出当 D 、 M 、 P 三点共线时| MP |+| MD |最 小,从而得出答案. 方法技巧 　与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关,由于抛物线的定义 在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度,“看到准线想焦点,看到焦点想准 线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要思路. 三、解答题(共25分) 6. (2018山西康杰中学4月月考,20)已知抛物线 C : x 2 =2 py ( p >0),圆 O : x 2 + y 2 =1. (1)若抛物线 C 的焦点 F 在圆 O 上,且 A 为抛物线 C 和圆 O 的一个交点,求| AF |; (2)若直线 l 与抛物线 C 和圆 O 分别相切于点 M , N ,求| MN |的最小值及相应 p 的值. 解析　 (1)由题意得 F (0,1),从而抛物线 C : x 2 =4 y .   (1分) 解方程组   得 y A =   -2,   (3分) ∴| AF |=   -1.   (5分) (2)设 M ( x 0 , y 0 ), 则切线 l : y =   ( x - x 0 )+ y 0 , 结合   =2 py 0 ,整理得 x 0 x - py - py 0 =0.   (6分) 由| ON |=1得   =1,即| py 0 |=   =   ,∴ p =   且   -1>0.   (8分) ∴| MN | 2 =| OM | 2 -1=   +   -1=2 py 0 +   -1=   +   -1=4+   +(   -1) ≥ 8, 当且仅当 y 0 =   时等号成立.   (10分) ∴| MN |的最小值为2   ,此时 p =   .   (12分) 思路分析 　(1)求出 F (0,1),得到抛物线方程,联立圆的方程与抛物线的方程,求出点 A 的纵坐标, 然后求得| AF |; (2)设 M ( x 0 , y 0 ),求出切线 l : y =   ( x - x 0 )+ y 0 ,由| ON |=1,求得 p =   ,从而得出| MN | 2 的表达式,进而利 用基本不等式求最小值以及 p 的值. 名师点拨 　解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:①几何法,若题目的条件和结论能明 显体现几何特征及意义,则考虑利用图形的性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现 一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值,求最值常用基本不等式法、 配方法及导数法. 7. (2017河南3月适应性测试,20)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点 F 在 y 轴正半轴上,过点 F 的直 线交抛物线于 A , B 两点,线段 AB 的长是8, AB 的中点到 x 轴的距离是3. (1)求抛物线的标准方程; (2)设直线 m 在 y 轴上的截距为6,且与抛物线交于 P , Q 两点.连接 QF 并延长交抛物线的准线于 点 R ,当直线 PR 恰与抛物线相切时,求直线 m 的方程. 解析 　(1)设抛物线的方程是 x 2 =2 py ( p >0), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 由抛物线定义可知 y 1 + y 2 + p =8, 又 AB 的中点到 x 轴的距离为3, ∴ y 1 + y 2 =6,∴ p =2, ∴抛物线的标准方程是 x 2 =4 y .   (4分) (2)由题意知,直线 m 的斜率存在,设直线 m : y = kx +6( k ≠ 0), P ( x 3 , y 3 ), Q ( x 4 , y 4 ), 由   消去 y 得 x 2 -4 kx -24=0, ∴   (*)   (6分) 易知抛物线在点 P   处的切线方程为 y -   =   ( x - x 3 ), 令 y =-1,得 x =   , ∴ R   ,   (8分) 又 Q , F , R 三点共线,∴ k QF = k FR , 又 F (0,1),∴   =   , 即(   -4)(   -4)+16 x 3 x 4 =0, 整理得( x 3 x 4 ) 2 -4[( x 3 + x 4 ) 2 -2 x 3 x 4 ]+16+16 x 3 x 4 =0,   (10分) 将(*)式代入上式得 k 2 =   , ∴ k = ±   ,∴直线 m 的方程为 y = ±   x +6.   (13分) 思路分析 　(1)运用抛物线的定义及中点坐标公式求解;(2)设出直线 m 的方程,与抛物线方程联 立,借助相关点的坐标之间的关系建立方程求解. 知识拓展 　由 A 、 B 、 C 三点共线得:(1) k AB = k AC (斜率存在);(2)存在 λ ∈R,使   = λ   (   ≠ 0).