2018-2019学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

沈阳铁路实验中学2018-2019学年度下学期期中考试试题 高二数学 时间：120分钟 分数：150分 命题人：裴晓航 校对人：殷裕民 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎2．设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于　　‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．用反证法证明命题“若a2+b2=0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（　　）‎ A．a，b至少有一个为0 B．a，b至少有一个不为0‎ C．a，b全部为0 D．a，b中只有一个为0‎ ‎4．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝－5x＋150，则下列结论正确的是(　　)‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．若r表示y与x之间的线性相关系数，则r＝－5‎ C．当销售价格为10元时，销售量为100件 D．当销售价格为10元时，销售量为100件左右 ‎5．将直角坐标方程转化为极坐标方程，可以是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下面几种推理是合情推理的是(　　) ‎ ‎①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 归纳出所有三角形的内角和都是;③由,满足,,推出是奇函数;④三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是.‎ A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④‎ ‎7．下图是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是 A． B． C． D．‎ ‎8．如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来 ，则第n+1个图形的顶点个数是 (　　)‎ ‎（1） （2） （3） （4）‎ A．(2n+1)(2n+2) B．3(2n+2) C．(n+2)(n+3) D．(n+3)(n+4)‎ ‎9．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在的条件下，五个结论：①； ②；③；④；⑤设都是正数，则三个数至少有一个不小于，其中正确的个数是( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎11．箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（ ）‎ A．草花5 B．红桃 C．红桃4 D．方块5‎ ‎12．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)‎ ‎13．在中，若，则的外接圆半径 ‎，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径______________．‎ ‎14．复数满足，则的最大值是___________．‎ ‎15．若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为______．‎ ‎16．某公司调查了商品的广告投入费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表：‎ 广告费用（万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售利润（万元）‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ 由表中的数据得线性回归方程为，则当时，销售利润的估值为__________．‎ 其中：，. ‎ 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在岁到岁的人群中随机调查了人，并得到如图所示的频率分布直方图，在这人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表所示：‎ 年龄 不支持“延迟退休年龄政策”的人数 ‎15‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎23‎ ‎17‎ ‎（1）由频率分布直方图，估计这人年龄的平均数；（写出必要的表达式）‎ ‎（2）根据以上统计数据补全下面的列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为以岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异？‎ 岁以下 岁以上 总计 不支持 支持 总计 附：临界值表、公式（公式在右上）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎18．某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差，和患感冒的小朋友人数（/人）的数据如下：‎ 温差 患感冒人数 ‎8‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎26‎ 其中，，.‎ ‎（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合与的关系；‎ ‎（Ⅱ）建立关于的回归方程（精确到），预测当昼夜温差升高时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数）‎ 参考数据：．‎ 参考公式：相关系数：，‎ 回归直线方程是， ,‎ ‎19．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）若与相交于两点，，求；‎ ‎（2）圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径．‎ ‎20．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）将的方程化为普通方程，将的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线的参数方程为（，为参数，且），与交于点，与交于点，且，求的值.‎ ‎21．设函数．‎ 求不等式的解集；‎ 若，恒成立，求实数T的取值范围．‎ ‎22．已知，求证：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先上下同乘分母的共轭复数化简，再利用求模公式计算即可。‎ ‎【详解】‎ ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考察复数的运算法则以及求模公式，属于基本的计算题。‎ ‎2．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则答案可求．‎ ‎【详解】‎ 解：由，‎ 得，‎ ‎，则，‎ 在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎3．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把要证明的结论否定之后，即可得所求反设。‎ ‎【详解】‎ 由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”， ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 在原命题的条件下，假设结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫反证法。常见的反设为：都是（不都是）、全为（不全为）、至少有个（至多有个）、不大于（小于等于）等。‎ ‎4．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐个分析，A是负相关，B中，C和D中销售量为100件左右。‎ ‎【详解】‎ 由回归方程＝－5x＋150可知y与x具有负的线性相关关系，故A错误；y与x之间的线性相关系数，故B错误；当销售价格为10元时，销售量为件左右，故C错误，D正确。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程知识，考查了线性相关系数，属于基础题。‎ ‎5．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直角坐标化为极坐标的方法即可得出．‎ ‎【详解】‎ 直角坐标方程y＝x可得：,‎ ‎∴tanθ＝1，解得，‎ 化为极坐标方程为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．‎ ‎6．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：①是类比推理，②是归纳推理，③是演绎推理，④是归纳推理，据此确定所给的命题是否属于合情推理即可.‎ ‎【详解】‎ 逐一考查所给的推理：‎ ‎①由圆的性质类比出球的有关性质是类比推理，属于合情推理;‎ ‎②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 归纳出所有三角形的内角和都是是归纳推理，属于合情推理;‎ ‎③由,满足,,推出是奇函数是演绎推理，不属于合情推理;‎ ‎④三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是是归纳推理，属于合情推理.‎ 综上可得：合情推理的编号为①②④.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．‎ 二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．‎ 三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．‎ ‎7．B ‎【解析】‎ 根据流程图得到，执行过程如下：s=0+，i=2‎ S=,i=3, s=+…..+,i=9,此时输出的是要求的数值，i=9需要输出，之前的不能输出，故得到应该在判断框中填写.‎ 故答案为：B。‎ ‎8．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知图形中，分别列出顶点数个数与边数，分析它们之间的规律，用归纳法得出。‎ ‎【详解】‎ 由已知图形可以得到以下结果：‎ n=1时，由正三角形扩展而来，顶点数为12= ‎ n=2时，由正方形扩展而来， 顶点数为20= ‎ n=3时，由正五边形扩展而来， 顶点数为30= ‎ n=4时，由正六边形扩展而来， 顶点数为42= ‎ 由此可以归纳出第n个图形的顶点个数是(n+2)(n+3)，因此第n+1个图形的顶点个数是 ‎(n+3)(n+4)，故本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 解决本题的关键是先求出一些简单图形的顶点数，通过数字的运算特征归纳出规律。‎ ‎9．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入曲线化简可得到式子.‎ ‎【详解】‎ 将代入曲线方程得到。‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题.‎ ‎10．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质以及变形做差的方法得到①②③④正确，⑤由反证法可得证.‎ ‎【详解】‎ 对于①等价于，恒成立，故正确；‎ ‎②，等价于恒成立，故正确；‎ ‎③，等价于恒成立，故正确；‎ ‎④，等价于 ‎ ‎ 这个不等式应该是非负的，故不正确；‎ ‎⑤设都是正数，设三个数全都小于2，因为，如果每个值都小于2，则这三组的和应小于6，这互相矛盾，故原命题正确.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了命题真假的判断，不等式性质的应用，以及反证法的应用，题目比较综合.‎ ‎11．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 甲第一句表明点数为A，Q，5，4其中一种；乙第一句表明花色为红桃或方块，‎ 甲第二句表明不是A；乙第二句表明只能是方块5，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 因为甲只知道点数而不知道花色，甲第一句说明这个点数在四种花色中有重复，表明点数为A，Q，5，4其中一种；‎ 而乙知道花色，还知道甲不知道，说明这种花色的所有点数在其他花色中也有，所以乙第一句表明花色为红桃或方块，‎ 甲第二句说明两种花色中只有一个点数不是公共的，所以表明不是A；乙第二句表明只能是方块5；‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的合情推理，考查分析解决问题的能力，比较基础．‎ ‎12．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值的意义可求得的最小值为7，由此可得实数的取值范围，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意表示数轴上的对应点到4和对应点的距离之和，其最小值为7，‎ 再由关于的不等式有实数解，可得，‎ 即实数的取值范围是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了绝对值的意义，以及函数绝对值不等式的有解问题，其中根据绝对值的意义，求得的最小值为7是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，故可得出结论 ‎【详解】‎ 由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时 一般是由点的性质类比推理到线的性质，‎ 由线的性质类比推理到面的性质，‎ 由圆的性质推理到球的性质．‎ 由已知在平面几何中，△ABC中，若BC⊥AC，AC＝b，BC＝a，‎ 则△ABC的外接圆半径，‎ 我们可以类比这一性质，推理出：‎ 在四面体S﹣ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，‎ 则四面体S﹣ABC的外接球半径R 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），是基础题 ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两个复数差的模的几何意义得 从而求得的最大值。‎ ‎【详解】‎ 因为复数满足所以即 ‎，，所以答案 ‎【点睛】‎ 考查复数的模，解题的关键是表示出 .‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分离参数a，得，只需求在的最小值 ‎【详解】‎ 解：，， 在的最小值为， 实数a的取值范围为． 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域．‎ ‎16．12.2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，的平均数，再由题中所给公式计算出和，进而得出线性回归方程，将代入，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题中数据可得：，，‎ 所以，‎ 所以，故回归直线方程为，‎ 所以当时，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程，需要考生掌握住最小二乘法求与，属于基础题型.‎ ‎17．（1）42；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在频率分布直方图中，平均数为各小组底边中点坐标与对应频率乘积之和。‎ ‎（2）根据条件，完成联表，计算出，再和参考数据比较，即可得结论。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）估计这人年龄的平均数为 ‎ （岁）‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，岁以下共有人，岁以上共有人.‎ 列联表如下：‎ 岁以下 岁以上 总计 不支持 支持 总计 ‎ ，‎ 不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为以岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图中平均数的求法，及的计算，属基础题。‎ ‎18．(Ⅰ)线性回归模型拟合与的关系；(Ⅱ)人数会增加10人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求相关系数，在通过相关系数进行说明。‎ ‎（Ⅱ）求出线性回归方程，将代入线性回归方程。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)，‎ ‎．‎ 故，∴可用线性回归模型拟合与的关系；‎ ‎(Ⅱ)，，，‎ ‎∴关于的回归方程为．当时，．‎ 预测当昼夜温差升高时患感冒的小朋友的人数会增加10人．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相关系数于线性回归方程，用线性回归模型拟合与的关系， 越接近于1，拟合效果越好。‎ ‎19．（1）6；（2）13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，利用求解得到结果；（2）写出的普通方程并假设圆的直角坐标方程，利用弦长为建立与的关系，再结合圆心到直线距离公式得到方程，解方程求得，即为圆的半径.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得 将代入，得 设两点对应的参数分别为，则 故 ‎（2）直线的普通方程为 设圆的方程为 圆心到直线的距离为 因为，所以 解得：或（舍）‎ 则圆的半径为 ‎【点睛】‎ 本题考查直线参数方程中参数的几何意义、极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程.解决直线参数方程问题中距离之和或积的关键，是明确直线参数方程标准形式中的参数的几何意义，将距离问题转化为韦达定理的形式.‎ ‎20．（1）曲线：，曲线：（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将曲线消去参数得的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得 的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程代入曲线的普通方程,得到参数，把直线l的参数方程代入曲线的普通方程得到参数，利用计算即可答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）曲线消去参数得，曲线的极坐标方程为即 化为直角坐标方程为，即. ‎ ‎（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程得 .同理，把直线的参数方程代入曲线的普通方程得，.,‎ ‎ .综上所述：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎21．（1）或（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用零点分段去绝对值得分段函数，即可求解不等式的解集；‎ 求解的最小值，问题转化为关于T的不等式，求出T的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 函数．‎ 化简可得：，‎ 由，‎ 可得：或或，‎ 解得：或或 不等式的解集为或．‎ 由分段函数可知的最小值为，‎ ‎，恒成立，‎ 只需，‎ 故，‎ 即，‎ 解得：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式的解法和恒成立问题求解的转化思想的运用属于中档题．‎ ‎22．(1)证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）作差、相减、分解因式，结合，可判定其符合，从而可得结论；（Ⅱ）利用分析法，先两边平方，移项、化简后再平方即可证结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵（a＋b）－（1＋ab）‎ ‎＝a＋b－1－ab ‎＝（a－1）＋b（1－a）‎ ‎＝（a－1）（1－b），‎ ‎0＜a＜b＜1，‎ ‎∴a－1＜0，1－b＞0．‎ ‎∴（a－1）（1－b）＜0．‎ ‎∴a＋b＜1＋ab．‎ ‎（Ⅱ）要证： ，‎ 只需证： ，‎ 只需证： ，‎ 即，‎ 从而只需证： ，‎ 即，‎ 只需证ab＋a＜ab＋b，‎ 即a＜b，显然成立，‎ ‎∴原不等式成立．‎