海南省海南中学2020届高三摸底考试数学试题 Word版含解析

海南省海南中学2020届高三摸底考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 海南中学2020届高三年级摸底考试 数学试题 命题人：余书胜 审核人：文德良 ‎（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）‎ 注意事项：‎ ‎1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，利用求值域得出集合，根据交集的定义可得.‎ 详解：因为集合，‎ ‎，‎ 所以，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的交集，属于容易题，在解题过程中要注意交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.‎ ‎2.是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 - 22 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，在复平面上对应的点位于第三象限．故选.‎ ‎3.已知点在幂函数图像上，设，，，则、、的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点在幂函数上，可求得幂函数解析式，进而判断大小即可．‎ ‎【详解】因为点在幂函数图像上 所以，所以 ‎ 即， ‎ ‎，，‎ 即 为R上的单调递增函数 所以 ‎ 所以选A ‎【点睛】本题考查了指数幂与对数大小比较，函数单调性的简单应用，属于基础题．‎ ‎4.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人.计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）‎ A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 - 22 -‎ C. 系统抽样 D. 按地区分层抽样 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽样方法的特征，即可得出结论.‎ ‎【详解】由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故按地区分层抽样.‎ ‎【点睛】本题主要考查抽样方法，熟记每种抽样方法的特征即可，属于基础题型.‎ ‎5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 80 B. 90 C. 100 D. 110‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差，即可求解.‎ ‎【详解】根据等差数列前项和的片段和性质：‎ 也是等差数列，‎ 又，‎ 故可得：10,30,50成等差数列，故：‎ ‎，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和片段和性质.‎ ‎6.函数的图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当时，，，函数单调递减，故排除答案B，应选答案D．‎ ‎7.若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用数形结合，根据向量的加法，减法运算，以及向量的垂直关系，可得结果.‎ ‎【详解】，‎ 即 如图,取的中点 所以，又 - 22 -‎ 所以，可知 所以可得是的垂直平分线，‎ 所以是等腰三角形，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，还考查了向量的垂直关系，考验计算与化简，属基础题.‎ ‎8.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛 ‎①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为96‎ 点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．‎ ‎9.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面展开图，还原几何体，将其拆分为正四棱锥和正方体即可求解对应的体积.‎ ‎【详解】根据平面展开图，还原几何体可得：‎ - 22 -‎ 故该几何体是由棱长为1的正方体和底边棱长为1的正四棱锥组合而成.‎ 则其体积为 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查由展开图还原几何体，涉及几何体体积的求解.‎ ‎10.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线方程，联立椭圆方程，求弦长；用点到直线距离公式求高；由面积公式求解.‎ ‎【详解】设直线AB方程为，‎ 联立椭圆方程 整理可得：，‎ 设，‎ 故弦长=.‎ 由点到直线的距离公式可得：‎ - 22 -‎ 又点，直线AB：‎ 则点到直线AB的距离 故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中三角形面积的问题，属基础知识题.‎ ‎11.，满足，且对任意，都有.当取最小值时，函数的单调递减区间为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出参数，再求三角函数单调区间.‎ ‎【详解】因为，‎ 故关于对称，‎ 即：，‎ 解得. ①‎ 又 故,‎ - 22 -‎ 解得 ②‎ 由①②可得：‎ 令，则 ‎，‎ 又，故其最小值为6‎ 此时，又，故 解得.‎ 综上所述：‎ 令 解得：‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数解析式的求解以及单调区间的求解；难点是求解析式，本题属于求解析式的复杂题.‎ ‎12.设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程有三个根，转化为图像有三个交点，数形结合即可.‎ ‎【详解】有三个根，‎ 等价于与图像有三个交点，‎ - 22 -‎ 根据题意，是周期为4的周期函数，‎ 在同一直角坐标系中画出函数图像，如下所示：‎ 由图可知，若满足题意，‎ 则在处的函数值小于3，且 在处的函数值大于3，‎ 故：，‎ 解得 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查方程根的个数，涉及函数的周期性，单调性，属综合基础题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，若，则向量与向量的夹角为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用数量积为零可求得，从而得，求得，利用，从而可得结果.‎ ‎【详解】，‎ - 22 -‎ 则，‎ ‎，‎ 即，解得，‎ ‎，‎ 则，‎ 则，‎ 又，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎14.当时，不等式恒成立，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.‎ ‎【详解】当时，不等式恒成立 等价于在时恒成立 即等价于；‎ - 22 -‎ 而因为，‎ 故,当且仅当时取得最大值.‎ 故：‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.‎ ‎15.已知，则的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：令，得，令，得，‎ 联立得：，故答案为.‎ 考点：二项式定理的应用.‎ ‎【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题，属于常规题，难度中等；常见的通法是通过赋值使得多项式中的变为和，在本题中要使即给等式中的赋值，求出展开式的常数项；要使即给等式中赋值求出展开式的各项系数和即，两式相减得到要求的值．‎ ‎16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出两个切点坐标，利用导数的几何意义，以及过两点的直线斜率公式可列方程组，从而求出切点坐标，进而可得切线斜率.‎ ‎【详解】详解：设与和，分别切于点，，‎ - 22 -‎ 由导数的几何意义可得：，即，①‎ 则切线方程为，即，‎ 或，即，②‎ 将①代入②得，‎ 又直线是曲线的切线，也是曲线的切线，‎ 则，‎ 即，‎ 则或，‎ 即或，‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查了应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，重点考查了运算能力，属中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知.‎ ‎(1)求的最小正周期及单调递减区间;‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得的递减区间；‎ - 22 -‎ ‎（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∴的最小正周期.‎ 由，得，‎ ‎∴的单调递减区间为.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 当，即时，函数取得最小值，为；‎ 当，即时，函数取得最大值，为.‎ 故函数在区间上最大值为3，最小值为0.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周期，单调区间，最值，属于中档题.‎ ‎18.已知正项数列的前项和为，满足，，是等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由为等比数列，根据特殊的几项，结合已知，即可求解；‎ - 22 -‎ ‎（2）由（1）中所求得，再裂项求和即可.‎ ‎【详解】（1）设的公比为，由题知，‎ 且有：，‎ 所以：，‎ 即：，代入，‎ 得，‎ 所以或者（舍去）‎ 所以：，‎ 所以：‎ 由 得：，所以：‎ 所以：‎ 所以：.‎ ‎（2）因为，所以，‎ ‎，‎ 所以数列的前项和为 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查通项公式的求解，以及裂项相消求和法，属数列中综合基础题.‎ - 22 -‎ ‎19.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：‎ ‎（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；‎ ‎（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；‎ ‎（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 ‎ - 22 -‎ 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，‎ 所以40名读书者中年龄分布在的人数为.‎ ‎（2）40名读书者年龄的平均数为 ‎ .‎ 设中位数为，则 解得，即40名读书者年龄的中位数为55.‎ ‎（3）年龄在的读书者有人，‎ 年龄在的读书者有人，‎ 所以的所有可能取值是0,1,2，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望.‎ ‎20.如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为中点.‎ - 22 -‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若点为线段的中点，平面平面，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由正三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（2）由（1）知，结合面面垂直的性质可得，平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量取平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ 详解：（1）连接，‎ 因为，，所以为正三角形，又点为的中点，所以.‎ 又因为，为的中点，所以.‎ 又，所以平面，又平面，所以.‎ ‎（2）由（1）知.又平面平面，交线为，所以平面，‎ - 22 -‎ 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 可得得，‎ 由（1）知平面，则取平面的一个法向量，‎ ‎，故二面角的余弦值为.‎ 点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎21.已知椭圆，为椭圆与轴的一个交点，过原点的直线交椭圆于两点，且，.‎ ‎（1）求此椭圆的方程；‎ ‎（2）若为椭圆上的点且的横坐标，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.‎ ‎ ‎ - 22 -‎ ‎【答案】（1）;（2）为定值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由求出，由已知条件可得点的坐标，则椭圆的方程易求.‎ ‎(2)利用斜率公式表示出，结合点在椭圆上，可得为定值.‎ ‎【详解】(1)因为为椭圆与轴的一个交点，所以.‎ 由，可得，‎ 由等腰直角三角形的性质可得，‎ 代入椭圆方程可得，解得，‎ 所以此椭圆的方程为.‎ ‎(2)由(1)可得，，‎ 由在椭圆上，可得，‎ 所以，‎ 即是定值，定值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程，椭圆中的定值问题.判断是否为定值的一般思路是用参数表示出目标值，再看能否消去参数.‎ ‎22.己知;‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)当)时，函数有两个零点，证明:.‎ - 22 -‎ ‎【答案】(1)见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析：（1）讨论的零点与的关系，判断出的符号，即可得到函数的单调区间；‎ ‎（2）根据的单调性判断的取值范围，构造函数，利用单调性得出，判断的符号得出的大小关系，从而得到结论.‎ 详解：（1）‎ ‎①若 ，在上单调递增； ‎ ‎②若 ‎ 当时，，所以在单调递增，在单调递减； ‎ 当时，，所以在单调递增； ‎ ‎（2）由（1）的讨论可知当时，在单调递增，在单调递减，且，，所以两个零点，‎ ‎①当时，，所以，显然；‎ ‎②当时，，所以，‎ 令 - 22 -‎ 因为，所以，所以在上单调递减，）‎ 又，所以<0，即，‎ 又因为，在单调递增，‎ 所以，所以， ‎ 即，.‎ 而 所以，即 ‎，命题得证.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎ - 22 -‎ - 22 -‎