河北省鸡泽县第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学试题

河北省鸡泽县第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学试题

‎2019—2020学年第二学期返校考试 高二数学试题 一．选择题（共12小题）‎ ‎1.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与存在性命题关系，准确改写，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定为：“，”.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎2.设，若在处的导数，则的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接求出原函数的导函数，由列式求解的值．‎ ‎【详解】由，得．‎ 由，解得：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题．‎ ‎3.某射手射击所得环数的分布列如下：已知的数学期望，则的值为（ ）‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ A. 0.8 ‎B. 0.6‎ C. 0.4 D. 0.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分布列的概率之和为1得的一个关系式，由变量的期望值得 的另一个关系式，联立方程，求解的值.‎ ‎【详解】解：由表格可知：‎ ‎ ，‎ ‎ 解得.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查根据分布列和期望值求参数，熟记概念即可，属于常考题型.‎ ‎4.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为（ ）‎ A. 0.3 ‎B. ‎0.4 ‎C. 0.5 D. 0.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设2名男生为，3名女生为，则任选2人的种数共10种，其中恰有一名女同学共6种，根据古典概型概率计算公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】设2名男生为，3名女生为， 则任选2人的种数为共10种，其中全是女生为共6种， 故恰有一名女同学的概率 .‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎5.某人进行投篮训练次，每次命中的概率为（相互独立），则命中次数的标准差等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析出变量服从二项分布，再直接带入公式即可.‎ ‎【详解】命中次数服从ξ～B（100，0.8）；‎ ‎∴命中次数的标准差等于4.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查服从二项分布的变量的标准差，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）‎ A. 在内是增函数 B. 在时取得极大值 C. 在内是增函数 D. 在时取得极小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数的图象，分别判断函数的单调区间和极值．‎ ‎【详解】对A，由导函数的图象可知，在区间内函数先减后增，在不单调，故A错误；‎ 对B，当时，，此时不是极大值，故B错误；‎ 对C，在内，此时函数单调递增，故C正确．‎ 对D，当时，，但此时不是极小值，而是极大值，故D错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性和极值与导数之间的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意从图形中提取信息.‎ ‎7.设函数，则函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解.‎ ‎【详解】依题意，函数的定义域为，关于原点对称，‎ 且，‎ 故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；‎ 当时，排除D；‎ ‎，排除A.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决.‎ ‎8.已知为第二象限的角，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，①，，②，联立①②，再结合已知条件即可求出的值，则答案可求．‎ ‎【详解】解：，①，，②， 又为第二象限的角， ， 联立①②，解得， 则． 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系，是基础题．‎ ‎9.已知集合，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、中的不等式即可判断出答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以若，则，反之不成立 所以“”是“”的必要不充分条件 故选：B ‎【点睛】本题考查的是一元二次不等式和指数不等式的解法，考查了必要不充分条件的判断，属于基础题.‎ ‎10.函数恰有两个零点，，且，则所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合导数分析函数的特征性质，然后结合函数图象的基本趋势及零点判定定理进行求解即可．‎ 详解】当时不符合题意；‎ 当时，考查函数与图象 易知，与图象在区间上必有一个交点 则在区间上有且仅有一个公共点，‎ 当时，，‎ ‎，则在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，‎ 则只需，故，‎ 当时，，‎ 易知，，可知.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查对数函数的概念与性质，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想.‎ ‎11.下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B. 命题“，”的否定是“，”‎ C. “在处有极值”是“”的充要条件 D. 命题“若函数有零点，则“或”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A，否命题，条件否定，结论也要否定；选项B，命题的否定，只对结论否定；选项C，在处有极值，既要满足，也要满足函数在两边的单调性要相反；选项D，若函数有零点，等价于，原命题与逆否命题同真假．‎ ‎【详解】选项A，命题“若，则”的否命题是“若，则”，错误；选项 B，命题“，”的否定是“，”，错误；选项C，不能得到在处有极值，例如在时，导数为0，但不是函数极值点，错误；选项D，若函数有零点，即方程有解，所以，解得或，所以原命题为真命题，又因为原命题与逆否命题同真假，所以逆否命题也是真命题，正确．‎ 或 ‎【点睛】本题主要考查命题真假性的判断，涉及到四个命题、充要条件以及特称命题的否定．‎ ‎12.已知函数，若恰好有2个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，作出函数的图象，利用数形结合的思想求出使恰好有2个零点的的取值范围即可.‎ ‎【详解】令，因为方程的两根为，‎ 所以在同一直角坐标系下作出函数的图象如图所示：‎ 由图可知，当时，函数恰有两个零点，图象如图所示：‎ 当时，函数恰 有两个零点，图象如图所示：‎ 综上可知，所求实数的取值范围为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查利用分段函数 图象和函数零点的个数求参数的取值范围；考查运算求解能力和数形结合思想；熟练掌握分段函数图象的画法和零点的概念是求解本题的关键；属于中档题.‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13.若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式可知 ‎【详解】 ‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查根据诱导公式求值，属于简单题型.‎ ‎14.函数的图象对称中心是___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将函数变形为，设，，得到，根据反比例函数和奇函数的性质即可求出答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 即， 可设，，得到，‎ 所以与成反比例函数关系且为奇函数，‎ 则对称中心为，即，，得到，‎ 所以函数的对称中心为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查学生灵活运用奇偶函数对称性的能力，同时考查学生推理能力，属于中档题.‎ ‎15.已知的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为______.‎ ‎【答案】128‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的通项公式得出，从而得出第六项系数，求出，最后利用赋值法求展开式中各项的系数和.‎ ‎【详解】解：由题意，通项为：，‎ 由于的展开式中第6项的系数为-189，‎ 则第六项系数为：，解得：，‎ 故该二项式为，‎ 令得展开式各项系数的和为：．‎ 故答案为：128．‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式的通项公式得应用和指定项的系数，以及利用赋值法求展开式中各项的系数和.‎ ‎16.已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，恒有成立，当时，，则___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽象函数关系式可确定函数周期，结合奇偶性可知，利用解析式求得后即可得到结果.‎ ‎【详解】由得：，即函数的周期是，‎ ‎，‎ 是定义在上的奇函数，，‎ 又当时，，，‎ ‎，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和周期性将所求自变量转化到已知解析式的自变量所在区间内.‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间是和；单调递减区间是（2）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导，，则的解集对应的是增区间，的解集对应的是减区间.‎ ‎（2）根据（1）知，当时，，当时，，当时，，求出极值点，再加上端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值.‎ ‎【详解】（1），‎ 当或时，，当时，，‎ 所以函数单调递增区间是和，‎ 函数单调递减区间是.‎ ‎（2）由（1）知，当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 所以，，，，‎ 当时，函数的最大值为，当时，函数的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数法研究函数的单调性与最值问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果.下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.‎ 成绩优秀 成绩不够优秀 总计 选修生涯规划课 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 不选修生涯规划课 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 总计 ‎21‎ ‎29‎ ‎50‎ ‎（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）.‎ 参考附表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式，其中.‎ ‎【答案】（Ⅰ）有把握，理由见解析；（Ⅱ）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题中所给的公式求出的值，然后根据参考附表进行判断即可；‎ ‎（Ⅱ）由题意可以求出在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率，成绩不优秀的概率，可以判断可取值为0，1，2，3，根据二项分布的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意知，的观测值.‎ 所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”.‎ ‎（Ⅱ）由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为，成绩不优秀的概率为，‎ 可取值为0，1，2，3.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题考查了的计算，考查了二项分布的性质应用，考查了离散型随机变量分布列和数学期望，考查了数学运算能力.‎ ‎19.依据某地某条河流8月份水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．‎ ‎（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；‎ ‎（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．‎ 现此企业有如下三种应对方案：‎ 方案 防控等级 费用（单位：万元）‎ 方案一 无措施 ‎0‎ 方案二 防控1级灾害 ‎40‎ 方案三 防控2级灾害 ‎100‎ 试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）应选方案二．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于‎40米”为事件，“水位在‎40米至‎50米之间”为事件，“水位大于‎50米”为事件，它们发生的概率分别为：‎ ‎，‎ ‎． ‎ 记该地8月份“水位小于‎40米且发生1级灾害”为事件，“水位在‎40米至‎50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于‎50米且发生1级灾害”为事件，‎ 所以． ‎ 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件．则 ‎．‎ 估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为． ‎ ‎（2）以企业利润为随机变量，‎ 选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（1）知 ‎．‎ 的分布列为 X1‎ ‎500‎ ‎－100‎ ‎－1000‎ P ‎0.81‎ ‎0.155‎ ‎0.035‎ 则该企业在8月份的利润期望 ‎（万元）．‎ 选择方案二，则（万元）的取值为：，由（1）知，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ X2‎ ‎460‎ ‎－1040‎ P ‎0.965‎ ‎0.035‎ 则该企业在8月份的平均利润期望（万元）‎ 选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）对函数进行求导得到，把和分别代入和，求出、，利用导数的几何意义即可求解；‎ ‎（Ⅱ）对函数进行求导，再由在上恒成立得到关于的不等式，利用分离参数法和构造函数法求出实数的取值范围即可.‎ ‎【详解】（I）因为函数，，所以，‎ 当时，，.‎ ‎，．‎ 曲线在点处的切线方程为，‎ 所以即为所求；‎ ‎（Ⅱ）函数在上单调递增，，可得，‎ 令，，‎ 因为函数为上的减函数，函数为上的增函数，‎ 所以，函数在上单调递减．‎ 当时，函数取得最大值为，因此，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数在某点处的切线方程、利用导数判断函数的单调性求参数的取值范围，考查运算求解能力和转化与化归能力，熟练掌握导数的几何意义和利用导数判断函数的单调性的方法是求解本题的关键，属于中档题、常考题型.‎ ‎21.‎2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.‎ ‎（1）求一个接种周期内出现抗体次数的分布列；‎ ‎（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：‎ ‎①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元；‎ ‎②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为元.‎ 比较随机变量和的数学期望的大小.‎ ‎【答案】（1）分布列答案见解析.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知，随机变量服从二项分布，故，然后列出分布列即可 ‎（2）根据题意分别算出和的期望即可.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，随机变量服从二项分布，‎ 故.‎ 则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（2）①设一个接种周期的接种费用为元，则可能的取值为200，300，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 所以三个接种周期的平均花费为.‎ ‎②随机变量可能的取值为300，600，900，‎ 设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，.‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查二项分布以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题.‎ ‎22.已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.‎ 试题解析：（1）的定义域为，，‎ ‎（ⅰ）若，则，所以在单调递减.‎ ‎（ⅱ）若，则由得.‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.‎ ‎（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.‎ ‎①当时，由于，故只有一个零点；‎ ‎②当时，由于，即，故没有零点；‎ ‎③当时，，即.‎ 又，故在有一个零点.‎ 设正整数满足，则.‎ 由于，因此在有一个零点.‎ 综上，的取值范围为.‎ 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.‎