湖北省十堰市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

湖北省十堰市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

十堰市2018~2019学年度下学期期末调研考试 高二理科数学（2019年7月）‎ 本试题共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区城内。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.复数的共扼复数为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据虚数单位的性质化简复数z，然后再求它的共轭复数.‎ ‎【详解】，．故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎2.某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为（）‎ A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用期望的公式求解.‎ ‎【详解】由已知得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎3.如图所示，阴影部分的面积为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分的几何意义写出阴影部分的面积的表达式得解.‎ ‎【详解】由定积分的几何意义及数形结合可知阴影部分的面积为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.‎ ‎4.下列曲线中，在处切线的倾斜角为的是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】在x=1处切线的倾斜角为,即有切线的斜率为tan=−1.‎ 对于A,的导数为，可得在x=1处切线的斜率为5；‎ 对于B,y=xlnx的导数为y′=1+lnx，可得在x=1处切线的斜率为1；‎ 对于C,的导数为，可得在x=1处切线的斜率为；‎ 对于D,y=x3−2x2的导数为y′=3x2−4x，可得在x=1处切线的斜率为3−4=−1.‎ 本题选择D选项.‎ ‎5.将A，B，C，D，E，F这6个宇母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.‎ ‎【详解】由捆绑法可得所求概率为.‎ 故答案为C ‎【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.‎ ‎6.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 分两种情况讨论得到该选手能进入第四关的概率.‎ ‎【详解】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以,‎ 第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，‎ 所以.‎ 所以该选手能进入第四关的概率为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7.的计算结果精确到个位的近似值为（）‎ A. 106 B. 107 C. 108 D. 109‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，再利用二项式定理求解即可.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8.若，则，.设一批白炽灯的寿命（单位：小时）服从均值为1000，方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（）‎ A. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186‎ B. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186‎ C. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545‎ D. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.9545‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，，再求出和，即得这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率.‎ ‎【详解】∵，，∴，，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定区间的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.函数的最小值为（）‎ A. -1 B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法，令，可得函数，求导研究其最小值。‎ ‎【详解】令，，，当时，；当时，，故.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的最值问题，可以通过换元法，将复合函数简单化，注意换元后要关注新元的范围。‎ ‎10.设为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆短轴上的一个顶点，当时，该椭圆的离心率为，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为（）‎ A. 设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为2‎ B. 设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为4‎ C. 设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为2‎ D. 设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先排除A,B,再根据求出双曲线的离心率得解.‎ ‎【详解】对于双曲线而言，，排除A，B.‎ 由，得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线离心率的计算，考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11.观察下列各式，，，，，…，则的十位数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察十位数的数字特征可知周期为，根据周期计算可得结果.‎ ‎【详解】记的十位数为 经观察易知，，，，，，……‎ 可知的周期为 则的十位数为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用数列的周期性求解数列中的项，关键是能够通过数字变化规律发现数列的周期性.‎ ‎12.已知函数，函数有3个不同的零点，，，且，则的取值范围是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出函数的图像，由图可知，且，再求出，构造函数(1≤x＜‎ e）,利用导数求函数的值域得解.‎ ‎【详解】当时，的最大值为1，则，.‎ 由图可知，‎ 且，，‎ 则.‎ 令，，‎ 令，得，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 则，又，，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性和值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知随机变量，则______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项分布的方差公式求解即可.‎ ‎【详解】.‎ 故答案：9‎ ‎【点睛】本题主要考查二项分布方差的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎14.的展开式中的二项式系数最大的项的系数为______.‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理的展开式二项式系数的性质求解即可.‎ ‎【详解】因为的展开式有7项，‎ 所以第4项的二项式系数最大，‎ 所以的展开式中的二项式系数最大的项为.‎ 故答案为：-160‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式展开式的二项式系数和系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎15.某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先给其中一个小朋友2本，再均分剩余3本,列出式子求解即可.‎ ‎【详解】先给其中一个小朋友2本，再均分剩余3本，‎ 故所求分法数为.‎ 故答案为：240‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.定义域为的函数满足，且对恒成立，则 的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，判断函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式得解.‎ ‎【详解】构造函数，‎ 则有，且.‎ 由，可知，‎ 则为增函数，‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.已知函数． ‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)当时，求在上的值域．‎ ‎【答案】(1)时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到导函数后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到的单调性；（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，可知，，求得最小值和最大值后即可得到函数值域.‎ ‎【详解】（1）由题意得：‎ ‎①当时，时，；时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 ‎②当时，时，；时，‎ 在上单调递增，在上单调递减 综上所述：时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减 ‎（2）当时，‎ 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增 当时，，‎ 又， ‎ 在上的值域为：‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、求解函数在一段区间内的值域的问题；关键是能够通过对参数的讨论，得到导函数在不同情况下的符号，从而得到函数的单调性.‎ ‎18.《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain ‎》而推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对空间感知、照相式记忆进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试.规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人，女生未入围80人.‎ ‎（1）根据题意，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；‎ 性别 入围人数 未入围人数 总计 男生 ‎24‎ 女生 ‎80‎ 总计 ‎（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生，然后再从这11名学生中抽取3名参加某期《最强大脑》，设抽到的3名学生中女生的人数为，求的分布列及数学期望.‎ 附：，其中.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）填表见解析，没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意填充列联表，再利用独立性检验判断是否有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；（2）先求出的可能取值为0，1，2，3，再求出对应的概率，即得的分布列及数学期望.‎ ‎【详解】解：（1）填写列联表如下：‎ 性别 入围人数 未入围人数 总计 男生 ‎24‎ ‎76‎ ‎100‎ 女生 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ 总计 ‎44‎ ‎156‎ ‎200‎ 因为的观测值，‎ 所以没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.‎ ‎（2）这11名学生中，被抽到的男生人数为，被抽到的女生人数为，‎ 的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查2×2列联表和独立性检验，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）若在是单调函数，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围（提示：）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用导数求出函数的单调区间，再根据已知得到实数的取值范围；（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，求出，再解不等式即得k的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）的定义域为，‎ ‎，‎ 由，得；由，得.‎ 因为在上是单调函数，所以的取值范围为，‎ ‎（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减.‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以.‎ 因为当时，恒成立，所以，‎ 解得，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.手机是人们必不可少的工具，极大地方便了人们的生活、工作、学习，现代社会的衣食住行都离不开它.某调查机构调查了某地区各品牌手机的线下销售情况，将数据整理得如下表格：‎ 品牌 其他 销售比 每台利润（元）‎ ‎100‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎1000‎ ‎70‎ ‎200‎ 该地区某商场岀售各种品牌手机，以各品牌手机的销售比作为各品牌手机的售出概率.‎ ‎（1）此商场有一个优惠活动，每天抽取一个数字（，且），规定若当天卖出的第台手机恰好是当天卖出的第一台手机时，则此手机可以打5折.为保证每天该活动的中奖概率小于0.05，求的最小值；（，）‎ ‎（2）此商场中一个手机专卖店只出售和两种品牌的手机，，品牌手机的售出概率之比为，若此专卖店一天中卖出3台手机，其中手机台，求的分布列及此专卖店当天所获利润的期望值.‎ ‎【答案】（1）8（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解不等式即得的最小值；（2）由题得，再求出其对应的概率，即得的分布列及此专卖店当天所获利润的期望值.‎ ‎【详解】解：（1）卖出一台手机的概率，卖出一台其他手机的概率，‎ 可得，即 所以，故，即的最小值为8.‎ ‎（2）依题意可知手机售出的概率，手机售出的概率，‎ 由题得,‎ 所以，，‎ ‎，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以利润的期望值为（元）.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程.‎ ‎（2）当时，证明：‎ ‎（i）；‎ ‎（ii）若，则.‎ ‎【答案】（1）（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程；（2）（i）设函数，再利用导数求=0，不等式即得证；（ii）设函数 ‎，再证明，不等式即得证.‎ ‎【详解】（1）解：，则，‎ 故所求切线方程为，即.‎ ‎（2）证明：（i）设函数，‎ 则.‎ 当时，；当时，‎ 从而，‎ 则，即.‎ ‎（ii）设函数，‎ ‎.‎ 设函数，，‎ 因为，所以，‎ 所以对恒成立，则在上单调递增，‎ 从而.‎ 因为，且的两根为，‎ 所以，则.‎ 从而对恒成立，则在上单调递增，‎ 所以，从而.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，考查函数的最值、单调性的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生从第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与相交于，两点，，求.‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）线的参数方程为（为参数）消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为，利用互化公式即可得出直角坐标方程． （2）直线的参数方程为（为参数）代入方程可得：．，即可求出答案．‎ ‎【详解】解：（1）将直线的参数方程消去参数，‎ 得直线的普通方程为.‎ 由，得，则圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将代入，得，‎ 则，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎23.设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；‎ ‎（2）利用绝对值的三角不等式求出的最小值，然后求解关于的不等式即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时，，无解；当时，可得；当时，可得；故不等式的解集为． ‎ ‎（2）， ‎ ‎． ‎ 当或时，不等式显然成立；‎ 当时，，则． ‎ 故的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.‎ ‎ ‎