陕西省西安市阎良区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

陕西省西安市阎良区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

阎良区2018~2019学年度第一学期期末教学检测 高一数学试题 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 斜率，故倾斜角为，选B.‎ ‎2.如图（1）所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为简单组合体由一个圆台和一个圆锥所组成的，‎ 因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D；‎ 再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C.‎ 故选A．‎ ‎3.已知直线的斜率是，在轴上的截距是，则此直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出直线的斜截式方程，再化为一般方程即可.‎ ‎【详解】由题意可知，所求直线的斜截式方程为，即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程求解，要结合直线已知元素类型选择合适的方程来表示直线，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.直线与直线的交点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标.‎ ‎【详解】联立两直线的方程，解得，因此，两直线的交点坐标是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查两直线交点坐标的计算，一般通过联立两直线的方程求公共解来处理，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.在正方体中，与是（ ）‎ A. 相交直线 B. 平行直线 C. 异面直线 D. 相交且垂直的直线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据异面直线的概念可判断出与是异面直线.‎ ‎【详解】由图形可知，与不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，熟悉异面直线的概念是判断的关键，属于基础题.‎ ‎6.如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出的实物图，即可计算出的面积.‎ ‎【详解】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示：‎ 可知，，且，因此，的面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查由直观图计算原图形的面积，一般将图形还原，或者利用直观图和原图形面积之间的倍数关系来进行计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.圆心为且过原点的圆的方程是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.‎ 考点：圆的一般方程.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.圆与圆的位置关系为 A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径，圆心距为，，即，故两圆外切.‎ 故选B．‎ ‎9.若一个圆柱的轴截面是面积为的正方形，则这个圆柱的侧面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱的底面半径为，可得知其高为，根据轴截面的面积计算出的值，即可计算出圆柱的侧面积.‎ ‎【详解】设圆柱的底面半径为，则该圆柱的母线长为，‎ 由于该圆柱的轴截面面积为，‎ 因此，该圆柱的侧面积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，解题时要计算出圆柱底面半径和母线这两个基本量，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是 A. 平面ABCD B. 平面PBC C. 平面PAD D. 平面PBC ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，由此得到平面PCD⊥平面PAD．‎ ‎【详解】由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查与已知平面垂直的平面的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎11.已知圆，圆，A、B分别是圆和圆上的动点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据圆之间位置关系，结合折线大于线段不等关系得的最大值.‎ 详解：由折线大于线段得 ,选A.‎ 点睛：涉及圆的最值问题，一般根据圆心与半径，建立不等式关系，根据不等式关系求最值.‎ ‎12.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列正确的个数为：（ ）‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若，则或；④若，则 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：①中则与内任意直线都垂直，又，所以平行或异面，所以；②内存与平行；③‎ 中由面面垂直的性质定理可知有或；④由已知条件可知两平面的法向量垂直，因此两面垂直 考点：空间线面的位置关系 点评：本题考察了空间线面垂直平行的的判定与性质定理及常用方法，难度不大，属于基本知识点的考察 二、填空题（大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知点，，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由空间中两点间的距离公式可计算出.‎ ‎【详解】由空间中两点间的距离公式可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查空间中两点间距离的计算，熟练利用两点间的距离公式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.直线与直线之间的距离为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两平行线之间的距离公式可计算出直线与之间的距离.‎ ‎【详解】由平行线间的距离公式可知，直线与之间的距离为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查两平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知正方体的棱长为，且它的个顶点都在同一球面上，则该球的体积是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出正方体的体对角线长，可得出该正方体外接球的半径，然后利用球体的体积公式可计算出该球的体积.‎ ‎【详解】设该正方体的外接球半径为，则，，‎ 因此，该球的体积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查球体体积的计算，涉及正方体的外接球，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．现有一块“堑堵”形石材的三视图如图所示，则这块“堑堵”形石材的表面积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将几何体的实物图作出，可知该几何体为直三棱柱，结合三视图中的数据可求出该几何体的表面积.‎ ‎【详解】作出该几何体的实物图如下图所示：‎ 可知该几何体是底面为直角三角形，高为的直三棱柱．‎ 所以该几何体的表面积为：．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的表面积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知直线，直线．‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据两直线垂直得出关于实数的方程，解出即可；‎ ‎（2）根据两直线平行得出关于实数的方程，解出即可.‎ ‎【详解】（1）根据题意，已知直线，直线，‎ 若，必有，即，解得；‎ ‎（2）若，必有，整理得，解得.‎ ‎【点睛】本题考查利用两直线平行与垂直求参数，解题时要结合两直线的位置关系列出方程或不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.已知直线与圆．‎ ‎（1）若直线经过圆心，求实数的值；‎ ‎（2）当时，判断直线与圆的位置关系．‎ ‎【答案】（1）；（2）相离.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将圆的圆心坐标代入直线的方程，即可求出实数的值；‎ ‎（2）计算圆的圆心到直线的距离，比较与圆的半径的大小关系，即可判断出直线与圆的位置关系.‎ ‎【详解】（1）由圆，得圆心坐标为，半径为，‎ 若直线经过圆心，则，得；‎ ‎（2）当时，直线的方程为．‎ 圆心到直线的距离．‎ 因此，直线与圆相离．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，以及利用点在直线上求参数，解题时要找出相应的等价条件进行转化，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19.如图，在圆锥中，、为底面圆的两条直径，，且，为的中点，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求该圆锥的表面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）计算出圆锥的底面圆半径和母线长，然后利用圆锥的表面积公式可求出该圆锥的表面积.‎ ‎【详解】（1）、分别为、的中点，，‎ 又平面，平面，平面；‎ ‎（2）为的中点，，，‎ 圆锥底面圆的半径，‎ 因此，该圆锥的表面积为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了圆锥表面积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20.如图所示，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，求证：‎ ‎（1）、、、四点共面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用中位线的性质得出，再证明出，利用平行线的传递性得出，即可证明出、、、四点共面；‎ ‎（2）连接、，证明四边形是平行四边形，可得出，利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面，同理可证明出平面，最后利用平面与平面平行的判定定理可证明出平面平面．‎ ‎【详解】（1）、分别是、的中点，，‎ 在正方体中，，四边形为平行四边形，‎ ‎，，因此，、、、四点共面；‎ ‎（2）如下图所示，连接、，‎ 在正方体中，，‎ ‎、分别为、中点，，则四边形为平行四边形，‎ ‎，，，则四边形为平行四边形，，‎ 平面，平面，平面，‎ 同理可证平面，‎ ‎，平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查四点共面的证明，同时也考查了面面平行的证明，证明的关键就是要证明出线线平行，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若底面是边长为2的菱形，四棱锥的体积为，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过作，垂足为，连接，由面面垂直的性质可得平面，从而得,结合，得平面，， 利用等腰三角形的性质以及相似三角形的性质可得结果；（2）由（1）是四棱锥的高，可得四棱锥的体积为，设点到平面的距离为，利用可求得 .‎ ‎【详解】（1）过作，垂足为，连接，‎ 因为平面平面，所以平面，‎ 因为，所以平面，所以，‎ 因，所以，‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎（2）因为底面的边长为2，则，‎ 由（1）知平面，即是四棱锥的高，‎ 所以四棱锥的体积为，‎ 所以，所以，‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎∵，∴，‎ 所以，即点到平面的距离是.‎ ‎【点睛】本题主要考查“等积变换”的应用、空间垂直关系的判断与性质，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎22.已知圆以原点为圆心且与直线相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若直线与圆交于、两点，过、两点分别作直线的垂线交轴于、两点，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算原点到直线的距离，作为圆的半径，从而可得出圆的方程；‎ ‎（2）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可计算出，过点作，垂足为，求出直线的倾斜角为，再利用锐角三角函数的定义可求出.‎ ‎【详解】（1）把直线化为一般式，即，‎ 到直线的距离为，圆的半径为，‎ 圆的方程为；‎ ‎（2）直线的一般方程为，‎ 点到直线的距离为，‎ 圆的半径为，则，‎ 过点作，垂足为，．‎ 又的倾斜角为，，‎ ‎．‎ 因此，线段的长为．‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，涉及了锐角三角函数的定义的应用，考查计算能力，属于中等题.‎