2018-2019学年四川省三台中学实验学校高二上学期入学考试数学试题 Word版

2018-2019学年四川省三台中学实验学校高二上学期入学考试数学试题 Word版

‎★ 2018年8月 三台中学实验学校2018年秋季高2017级高二上学期 入学考试数学试题 ‎ ‎ Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（每小题5分,共60分）‎ ‎1．已知直线的倾斜角为，则为 ‎ A． B． C． D． 不存在 ‎2. 设，，R，且＞，则 A． B． C． D．‎ ‎3. 设，向量且 ，则 A． B. C. D.‎ ‎4. 在△ABC中内角A，B，C所对各边分别为，，，且，则角=‎ A．60° B．120° C．30° D．150°‎ ‎5. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为 A. B. C. D. ‎ 6. ‎ 在正方体中，直线与平面所成的角等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 在中，点是上的点,且满足,,则的值分别是 A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 A． B．或 C． D．‎ ‎9. 已知，，，若>恒成立，则实数的取值范围是 A．或 B．或 C． D．‎ ‎10. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中 国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历 过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10‎ 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…则此数列第20项为 A．180 B．200 C．128 D．162‎ ‎11. 在数列中，若，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎12. 如图，在四边形中，已知， 则的最小值为 A. B. ‎ C. D. ‎ Ⅱ卷（非选择题） ‎ 二、填空题（每空5分 共20分）‎ ‎13．已知圆的圆心在直线上，则的值为________ ‎ ‎14. 已知满足约束条件，则的最小值是__________．‎ ‎15. 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则____．‎ ‎16. 在正四棱锥中, ,,若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为________．‎ 三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ 17. ‎（本小题满分10分）‎ 已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是设向量，，． ‎ ‎（1）若∥，试判断△ABC的形状并证明； ‎ ‎（2）若⊥，边长，∠C=，求△ABC的面积．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知直线经过直线与直线的交点，且与直线垂直.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与圆相交于两点，且，求的值.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与广告费(万元)之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为万元，每年产万件此产品仍需要投入万元，若年销售额为，而当年产销量相等。‎ ‎（1）试将年利润（万件）表示为年广告费(万元)的函数；‎ ‎（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图所示，在四棱锥中，已知底面,底面是矩形，是的中点，.‎ ‎（1）在线段上找一点,使得,并说明理由；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知二次函数,且不等式的解集为 ‎，对任意的都有恒成立.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎（3）设函数的图象与轴交于点，与直线交于两点，求的外接圆方程.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足. ‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．‎ 高2017级2018年秋季入学考试数学参考答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎20‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B A B A C A C B A C 二、 填空题 13. ‎ 4 14. -5 15. -2 16. ‎ 三． 解答题 ‎17.【解】：（1）ABC为等腰三角形； ‎ 证明：∵=（a，b），（sinB，sinA），∥， ‎ ‎∴， 　　　　　　　　　　　　 …………………………2分 即=，其中R是△ABC外接圆半径， ‎ ‎∴ ∴△ABC为等腰三角形 …………………………4分 ‎（2）∵，由题意⊥，∴‎ ‎ ………………………………………………6分 由余弦定理可知，4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab ………………………8分 即（ab）2﹣3ab﹣4=0，∴ab=4或ab=﹣1（舍去） ………………………9分 ‎∴S=absinC=4sin=． …………………………………10分 ‎18．【解】（1）由得所以.‎ 因为，所以，‎ 所以直线的方程为，即. 6分 ‎（2）由已知可得：圆心到直线的距离为，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以或. 12分 ‎19. 【解】：（1） ………………3分 ‎ ……………………………6分 ‎ （2）， ……………………10分 ‎ ‎ 当且仅当时，即时，P有最大值41.5万元。‎ 答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元 ……………12分 20. ‎【解】：（1）解：M是线段PD的中点，在中，O,M分别是BD、PD的中点，‎ 又 ‎ ................6分 ‎（2）∵‎ 又四边形ABCD是矩形，‎ 且 ‎, ‎ 又 又，M是PD的中点 且 ‎ ...............................................12分 ‎21.【解】：（1）∵ 的解集为 ‎∴ 方程的两个根是1和3.‎ 故 ∴ ‎ 又 ∵ 在恒成立 ‎∴ 在恒成立 ‎，‎ ‎， 又∵‎ ‎∴ ∴‎ ‎ ...........4分 ‎（2）由题意，即 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 设, 则 又∵当且仅当即时取得最大值 ‎∴，即实数的取值范围为 ...........................8分 （3） 由（1）易得 ‎ 设所求圆的方程为 ‎ 故有 解得 ‎ ‎ 所以所求圆的方程为 ......................12分 ‎22.【解】（1） …………………………1分 时满足上式，故 …………………3分 ‎∵=1∴ …………………………4分 ‎∵ 　　　①‎ ‎∴　　　②‎ ‎∴①+②，得 ……………………………6分 ‎（2）∵，∴‎ ‎∴　　　①‎ ‎， ②‎ ‎①－②得 即 …………………………8分 要使得不等式恒成立，‎ 恒成立对于一切的恒成立，‎ 即……………………………10分 令，则 当且仅当时等号成立，故 所以为所求. …………12分