人教A版理科数学课时试题及解析（26）平面向量的数量积及应用

人教A版理科数学课时试题及解析（26）平面向量的数量积及应用

课时作业(二十六)　[第26讲　平面向量的数量积及应用]‎ ‎[时间：45分钟　分值：100分]‎ ‎1． 设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a－b与b垂直 D．a∥b ‎2． 若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为(　　)‎ A．0 B. C. D. ‎3．已知A(2,0)，B(0,1)，O是坐标原点，动点M满足＝λ＋(1－λ)，并且·>2，则实数λ的取值范围是(　　)‎ A．λ>2 B．λ> C.<λ<2 D．1<λ<2‎ ‎4．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5． 平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎6． 半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(＋)·的值是(　　)‎ A．－2‎ B．－1‎ C．2‎ D．无法确定，与C点位置有关 ‎7．设a、b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(　　)‎ A．a⊥b B．a∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|‎ ‎8． 已知两不共线向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则下列说法不正确的是(　　)‎ A．(a＋b)⊥(a－b)‎ B．a与b的夹角等于α－β C．|a＋b|＋|a－b|>2‎ D．a与b在a＋b方向上的投影相等 ‎9． 在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足＋＋＝，＋＋＝，＋＋＝，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为(　　)‎ A．1∶2 B．1∶3‎ C．1∶4 D．1∶5‎ ‎10． 已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．‎ ‎11． △ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．‎ ‎12． 已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．‎ ‎13．已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，则使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围是________________________________________________________________________．‎ ‎14．(10分)已知向量a＝，b＝，且x∈.‎ ‎(1)求：a·b及|a＋b|的值；‎ ‎(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．‎ ‎15．(13分)在▱ABCD中，A(1,1)，＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.‎ ‎(1)若＝(3,5)，求点C的坐标；‎ ‎(2)当||＝||时，求点P的轨迹．‎ ‎16．(12分) 已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)．‎ ‎(1)求证：向量a与向量b不可能平行；‎ ‎(2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．‎ 课时作业(二十六)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．C　[解析] A项，∵|a|＝1，‎ ‎|b|＝＝，‎ ‎∴|a|≠|b|，A错；‎ B项，∵a·b＝1×＋0×＝，B错；‎ C项，∵a－b＝(1,0)－＝，‎ ‎∴(a－b)·b＝·＝－＝0，C对；‎ D项，∵1×－0×≠0，∴a不平行于b.故选C.‎ ‎2．D　[解析] ∵a·c＝a· ‎＝a·a－a·b＝a2－a2＝0，‎ 又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.‎ ‎3．B　[解析] 根据向量减法的几何意义得＝－，所以·>2，‎ 即[λ＋(1－λ)]·(－)>2，即λ2－(1－λ)2＋(1－2λ)·>2，即λ－(1－λ)×4>2，解得λ>.‎ ‎4．A　[解析] ∵cosθ＝＝＝，‎ ‎∴a在b方向上的投影|a|cosθ＝×＝.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．C　[解析] ∵cos〈a，b〉＝，‎ ‎∴sin〈a，b〉＝ ‎＝ ‎＝，‎ ‎∴S△OAB＝||||sin〈，〉‎ ‎＝|a||b|sin〈a，b〉‎ ‎＝，故选C.‎ ‎6．A　[解析] (＋)·＝2·＝－2.‎ ‎7．A　[解析] 由题意知函数f(x)＝xa2－x‎2a·b＋a·b－xb2，又因为函数f(x)的图象是一条直线，所以a·b＝0，即a⊥b，所以选A.‎ ‎8．B　[解析] a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则|a|＝|b|＝1，设a，b的夹角是θ，则cosθ＝＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等．‎ ‎9．B　[解析] 由＋＋＝，得＋＝－，即＋＝＋，‎ ＋＝，∴＝2，P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1∶3.‎ ‎10.　[解析] ∵|a－3b|2＝a2－‎6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝.‎ ‎11．3　[解析] ∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，‎ ‎∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.‎ ‎∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.‎ ‎12.　[解析] 如图，数形结合知β＝，α＝，||＝1，C点在圆弧上运动，∠ACB＝60°，‎ 设∠ABC＝θ，由正弦定理知＝，‎ ‎∴|α|＝sinθ≤，当θ＝90°时取最大值．‎ ‎∴|α|∈.‎ ‎13.<λ<且λ≠－1‎ ‎[解析] 由条件知，cos45°＝，∴a·b＝3，‎ 设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，‎ ‎∴cosθ＝<0，‎ ‎∴(a＋λb)(λa＋b)<0，‎ ‎∴λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，‎ ‎∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，‎ ‎∴<λ<.‎ 若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，‎ ‎∴此时存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，‎ ‎∵a，b不共线，∴∴k＝λ＝－1，‎ ‎∴<λ<且λ≠－1.‎ ‎14．[解答] (1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos2x.‎ ‎|a＋b|＝ ‎＝＝2.‎ ‎∵x∈，∴cosx≥0，‎ ‎∴|a＋b|＝2cosx.‎ ‎(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.‎ ‎∵x∈，∴0≤cosx≤1.‎ ‎①当λ<0时，当且仅当cosx＝0时，‎ f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾．‎ ‎②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，‎ f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－，‎ 解得λ＝.‎ ‎③当λ>1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，‎ 解得λ＝，这与λ>1相矛盾．‎ 综上所述，λ＝即为所求．‎ ‎15．[解答] (1)设点C的坐标为(x0，y0)，‎ 又＝＋＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，‎ 即(x0－1，y0－1)＝(9,5)，‎ ‎∴x0＝10，y0＝6，即点C(10,6)．‎ ‎(2)设P(x，y)，‎ 则＝－＝(x－1，y－1)－(6,0)‎ ‎＝(x－7，y－1)，‎ ＝＋＝＋3 ‎＝＋3(－)‎ ‎＝3－ ‎＝(3(x－1)，3(y－1))－(6,0)‎ ‎＝(3x－9,3y－3)．‎ ‎∵||＝||，∴平行四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴(x－7，y－1)·(3x－9,3y－3)＝0，‎ 即(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0.‎ ‎∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1)．‎ 故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y＝1的两个交点．‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)证明：假设a∥b，则2cosx(cosx＋sinx)＝sinx(cosx－sinx)，‎ 即2cos2x＋2sinxcosx＝sinxcosx－sin2x,1＋sinxcosx＋cos2x＝0，‎ ‎1＋sin2x＋＝0，亦即sin＝－3⇒sin＝－.‎ 而sin∈[－1,1]，－<－1，矛盾．‎ 故假设不成立，向量a与向量b不平行．‎ ‎(2)a·b＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx ‎＝cos2x－sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x ‎＝sin，‎ a·b＝1⇒sin＝.‎ 又x∈[－π，0]⇒2x＋∈，‎ ‎∴2x＋＝－或2x＋＝－或2x＋＝，‎ ‎∴x＝－π或－或0.‎