2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第五章第一讲 数列的概念与简单表示法
第五章 数 列
第一讲 数列的概念与简单表示法
1.下列说法中,正确的是( )
A.一个数列中的数是不可以重复的
B.所有数列的前n项和都能用公式表达
C.任何一个数列不是递增数列,就是递减数列
D.如果数列{an}的前n项和为Sn,则∀n∈N*,都有an+1=Sn+1 - Sn
2.[改编题]给出下面四个结论:
①数列{n+1n}的第k项为1+1k;
②数列的项数是无限的;
③数列的通项公式的表达式是唯一的;
④数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}.
其中说法正确的有( )
A.①②④ B.①
C.②③④ D.①②③
3.[2020十堰模拟]图5 - 1 - 1是希尔宾斯基(SieRpinski)三角形,在所给的四个三角形图案中,阴影小三角形的个数构成数列{an}的前4项,则{an}的通项公式可以是( )
图5-1-1
A.an=3n – 1 B.an=2n – 1 C.an=3n D.an=2n - 1
4.[2019武汉市武昌区高三调考]已知数列{an}的前n项和Sn=n2 - 1,则a1+a3+a5+a7+a9=( )
A.40 B.44 C.45 D.49
5.[2019陕西榆林一中模拟]在数列{an}中,a1=1,an=1+(-1)nan-1(n≥2),则a5等于( )
A.32 B.53 C.85 D.23
6.已知数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1 - an,则a2 019等于( )
A.6 B. - 6 C.3 D. – 3
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=32,2Sn+Sn-1=3(n≥2,n∈N*),则Sn的最大值与最小值之和为( )
A.2 B.3 C.52 D.94
8.[2016浙江高考]设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ,S5= .
考法1 利用an与Sn的关系求通项公式
1 [2020山东菏泽模拟]设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.则数列{an}的通项公式为 .
用n - 1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用公式an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2求出an.
由2Sn=3n+3可得a1=S1=12×(3+3)=3,(求首项)
当n≥2时,2Sn - 1=3n - 1+3,
结合2Sn=3n+3可得an=Sn - Sn - 1=12(3n+3) - 12(3n - 1+3)=3n - 1.(求通项)
而a1=3≠31 - 1,不满足上式,(检验首项a1)
所以an=3,n=1,3n-1,n≥2.
2[改编题]设Sn是数列{an}的前n项和,且a1= - 1,an+1=12Sn+1Sn,则数列{an}的通项公式为 .
利用an+1=Sn+1 - Sn及an+1=12Sn+1Sn消去an+1,得到Sn+1与Sn的关系式,求出Sn,再由公式an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2求出an.
因为an+1=12Sn+1Sn,an+1=Sn+1 - Sn,所以Sn+1 - Sn=12Sn+1Sn,
两边同时除以Sn+1·Sn,得1Sn+1-1Sn= - 12,又a1=S1= - 1,所以{1Sn}是以 - 1为首项, - 12为公差的等差数列.
所以1Sn= - 1 - 12(n - 1)= - 12n - 12,故Sn= - 2n+1.
当n≥2时,an=Sn - Sn - 1= - 2n+1 - ( - 2n)=2n(n+1).
当n=1时,a1= - 1≠21×(1+1)=1,不满足上式,
所以an=-1(n=1),2n(n+1)(n≥2).
1.[2018全国卷Ⅰ]记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= .
考法2 数列的性质及其应用
3(1)已知数列{an}的通项公式为an=3n+k2n,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为
A.(3,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
(2)已知数列{an}的通项公式为an=9n(n+1)10n,则数列中的最大项为 .
(1)递减数列→an+1 - an<0→转化为含参数的不等式求解
(2)
(1)因为an+1 - an=3n+3+k2n+1-3n+k2n=3-3n-k2n+1,由数列{an}为递减数列知,对任意n∈N*,an+1 - an=3-3n-k2n+1<0,
所以k>3 - 3n对任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).故选D.
(2)解法一 an+1 - an=9n+1(n+2)10n+1-9n(n+1)10n=9n10n·8-n10,
当n<8时,an+1 - an>0,即an+1>an;
当n=8时,an+1 - an=0,即an+1=an;
当n>8时,an+1 - an<0,即an+1
a10>a11>…,故数列{an}中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9=98×9108=99108.
解法二 设数列{an}中的第n项最大,则an≥an-1,an≥an+1,
即9n(n+1)10n≥9n-1n10n-1,9n(n+1)10n≥9n+1(n+2)10n+1,解得8≤n≤9.又n∈N*,则n=8或n=9.故数列{an}中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9=99108.
4[2020武汉市部分学校质量监测]在数列{an}中,a1= - 14,an=1 - 1an-1(n≥2,n∈N*),则a2 019的值为
A. - 14 B.5 C.45 D.54
因为在数列{an}中,a1= - 14,an=1 - 1an-1(n≥2,n∈N*),所以a2=1 - 1--14=5,a3=1 - 15=45,a4=1 - 145= - 14,所以{an}是以3为周期的周期数列,所以a2 019=a673×3=a3=45.
C
2.[2019浙江杭州模拟]已知数列{an}满足an=(13-a)n+2,n>8,an-7,n≤8,若对任意的n∈N*,都有an>an+1,则实数a的取值范围是( )
A.(0,13) B.(0,12) C.[12,1) D.(13,12)
考法3 已知递推关系求数列的通项公式
5已知数列{an}满足a1=2,an - an - 1=n(n≥2,n∈N*),则an= .
利用递推公式an - an - 1=n(n≥2),写出n - 1个式子并相加,再利用等差数列的前n - 1项和的公式,即可求出an.
(累加法)由题意可知,a2 - a1=2,a3 - a2=3,…,an - an - 1=n(n≥2),
以上式子累加,得an - a1=2+3+…+n.(累加时注意开始的一项与最后一项)
因为a1=2,
所以an=2+(2+3+…+n)(用公式求2+3+…+n时,注意项数为n - 1)
=2+(n-1)(2+n)2
=n2+n+22(n≥2).
因为a1=2满足上式,所以an=n2+n+22.
6已知在数列{an}中,an+1=nn+2an(n∈N*),且a1=4,则数列{an}的通项公式an= .
利用递推公式an+1=nn+2an,得an+1an=nn+2,写出(n - 1)个式子并相乘,即可求出an.
(累乘法)由an+1=nn+2an,得an+1an = nn+2,
故a2a1=13,a3a2=24,…,anan-1=n-1 n+1(n≥2),
以上式子累乘得, ana1=13·24·…·n-3n-1·n-2n·n-1n+1= 2n(n+1).(累乘时注意开始的一项与最后一项)
因为a1=4,所以an=8n(n+1)(n≥2).
因为a1=4满足上式,所以an = 8 n(n+1).
7已知在数列{an}中, a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x - y+1=0上,则数列{an}的通项公式为 .
把点Pn(an,an+1)的坐标代入直线方程4x - y+1=0,得出数列{an}的递推公式,再利用构造法构造出等比数列,即可利用等比数列的通项公式求得结果.
(利用待定系数法构造)因为点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x - y+1=0上,
所以4an - an+1+1=0.(将点的坐标代入直线方程得递推公式)
所以an+1+13=4(an+13).(令an+1+λ=4(an+λ),与4an - an+1+1=0对比得λ)
因为a1=3,所以a1+13=103.
故数列{an+13}是首项为103,公比为4的等比数列.(注意数列{an+13}的首项不是a1,而是a1+13)
所以an+13 = 103×4n - 1,故数列{an}的通项公式为an= 103×4n - 1 - 13.
8已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an2+an(n∈N*),则an= .
(取倒数)因为an+1= 2an2+an,所以1an+1 -1an=12.(两边同时取倒数,构造出具有等差数列特征的式子)
因为a1=2,即1a1=12,
所以数列{1an}是首项为12,公差为12 的等差数列, (注意数列{1an}的首项不是a1,而是1a1)
所以1an = 12+(n - 1)×12=n2,故an=2n.
3.(1)各项均不为0的数列{an}满足an+1(an+an+2)2=an+2an(n∈N*),且a3=2a8=15,则数列{an}的通项公式为 .
(2)已知数列{an}中,a1=56,an+1=13an+(12)n+1,则an= .
(3)[2015江苏高考]设数列{an}满足a1=1,且an+1 - an=n+1(n∈N*),则数列{1an}前10项的和为 .
1.D 对于选项A,数列中的数是可以重复的,故A错误;对于选项B,不是所有的数列都有通项公式,如由质数组成的无穷数列,故B错误;对于选项C,数列还可以是常数列、摇摆数列等,故C错误.易知D正确,选D.
2.B 根据数列的表示方法可知,求数列的第k项就是将k代入通项公式,经验证知①正确;数列的项数可能是有限的,也可能是无限的,并且数列的通项公式的表达式不是唯一的,故②③不正确;集合中的元素具有无序性,而数列中每一个数的位置都是确定的,故④不正确.所以只有①正确,选B.
3.A 题图中的阴影小三角形的个数构成数列{an}的前4项,分别为a1=1,a2=3,a3=3×3=32,a4=32×3=33,因此{an}的通项公式可以是an=3n - 1.故选A.
4.B 解法一 因为Sn=n2 - 1,所以当n≥2时,an=Sn - Sn - 1=n2 - 1 - (n - 1)2+1=2n - 1,又a1=S1=0,所以an=0,n=1,2n-1,n≥2,所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17=44.故选B.
解法二 因为Sn=n2 - 1,所以当n≥2时,an=Sn - Sn - 1=n2 - 1 - (n - 1)2+1=2n - 1,又a1=S1=0,所以an=
0,n=1,2n-1,n≥2,所以{an}从第二项起是等差数列,且a2=3,公差d=2,所以a1+a3+a5+a7+a9=0+4a6=4×(2×6 - 1)=44,故选B.
5.D 由题可知,a2=1+(-1)2a1=2,a3=1+(-1)3a2=12,a4=1+(-1)4a3=3,a5=1+(-1)5a4=23.故选D.
6.C 依次写出数列的各项:3,6,3, - 3, - 6, - 3,3,6,3, - 3,….所以数列{an}以6为周期循环.又2 019=6×336+3,故a2 019=a3=3.故选C.
7.D 因为2Sn+Sn - 1=3(n≥2,n∈N*),所以当n≥3时,2Sn - 1+Sn - 2=3,两式相减得2an+an - 1=0,即an= - 12an - 1(n≥3).当n=2时,2S2+S1=3,即3a1+2a2=3,由a1=32得a2= - 34,则a2= - 12a1,所以数列{an}是以32为首项, - 12为公比的等比数列,所以Sn=32[1-(-12)n]1-(-12)=1 - ( - 12)n.当n为奇数时,Sn=1+(12)n,Sn随n的增大而减小,则1an+1,所以数列{an}为递减数列,
由当n≤8时an=an - 7及指数函数的性质,可知08时,an=(13 - a)n+2单调递减,且当n≤8时,an=an - 7单调递减,
所以(13 - a)×9+2≤a8 - 7,解得a≥12,所以12≤a<1.
②若08时,an=(13 - a)n+2单调递增,不符合题意,舍去.
综上可知,实数a的取值范围是[12,1),故选C.
3.(1)an=1n+2 因为an+1(an+an+2)2=an+2an,所以an+1an+an+1an+2=2an+2an.
因为anan+1an+2≠0,所以 1an+2+1an=2an+1,所以数列{1an}为等差数列.
设数列{1an}的公差为d,则1a8=1a3+(8 - 3)d.
因为a3=2a8=15,所以d=1,
又1a1=1a3 - 2d=3,所以数列{1an}是以3为首项,1为公差的等差数列.
所以1an=3+(n - 1)×1=n+2,故数列{an}的通项公式为an=1n+2.
(2)32n - 23n 解法一 将an+1=13an+(12)n+1两边同时乘以2n+1,得2n+1·an+1=23(2n·an)+1.
令bn=2n·an,则bn+1=23bn+1,
将上式变形,得bn+1 - 3=23(bn - 3).
所以数列{bn - 3}是首项为b1 - 3=2×56 - 3= - 43,公比为23的等比数列.
所以bn - 3= - 43·(23)n - 1,即bn=3 - 2·(23)n.
于是an=bn2n=32n - 23n.
解法二 将an+1=13an+(12)n+1两边同时乘以3n+1,得
3n+1an+1=3nan+(32)n+1.
令bn=3n·an,则bn+1=bn+(32)n+1,
所以bn - bn - 1=(32)n,bn - 1 - bn - 2=(32)n - 1,…,b2 - b1=(32)2.
将以上各式累加,得bn - b1=(32)2+…+(32)n - 1+(32)n.
又b1=3a1=3×56=52=1+32,所以bn=1+32+(32)2+…+(32)n - 1+(32)n=1·[1-(32)n+1]1-32=2·(32)n+1 - 2,
即bn=2·(32)n+1 - 2.故an=bn3n=32n - 23n.
(3)2011 由a1=1,且an+1 - an=n+1(n∈N*)得,an=a1+(a2 - a1)+(a3 - a2)+…+(an - an - 1)=1+2+3+…+n=n(n+1)2,则1an=2n(n+1)=2(1n - 1n+1),
故数列{1an}前10项的和S10=2×(1 - 12+12 - 13+…+110 - 111)=2×(1 - 111)=2011.
