2017-2018学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试 数学（文）

2017-2018学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试 数学（文）

深圳市高级中学2017－2018学年第一学期期中考试 高二文科数学 命题人：罗永隆 审题人：朱志敏 本试卷由两部分组成。‎ 第一部分：高二数学第一学期前的基础知识和能力考查，共79分 选择题包含第1、2、4、5、6、9、11题，共35分 填空题包含第14、16题，共10分 解答题包含第17、18、20题，共34分 第二部分：高二数学第一学期的基础知识和能力考察，共71分 选择题包含第3、7、8、10、12题，共25分 填空题包含第13、15题，共10分 解答题包含第19、21、22题，共36分 本试卷4页，22小题，全卷共计150分。考试时间为120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知向量，，若，则 A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题：，总有，则为 A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 ‎4．已知函数．若，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎6．已知，过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则 A． B． C． D．‎ ‎7．已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎8．若满足，则 A． B． C． D．‎ ‎9．若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎10．设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．若正数满足，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎12．椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设为曲线：在点处的切线．则的方程为 ．‎ ‎14．若非负变量，满足约束条件，则的最大值是 ．‎ ‎15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，线段长为5．若，那么△的周长是 ．‎ ‎16．在数列中，，，则数列的通项公式 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）‎ ‎△的内角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，△的面积，求△的周长．‎ ‎18．（12分）‎ 已知数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎19．（12分）‎ 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且．‎ ‎（Ⅰ）求该抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．‎ ‎20．（12分）‎ 已知向量，，，其中是△的内角．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）设△的内角，，的对边分别是，，，为边中点，若，，求△的面积．‎ x O B A y ‎21．（12分）‎ 如图，等边三角形的边长为，且其 三个顶点均在抛物线上．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与抛物线相切于点，与直线 相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点．‎ ‎22．（12分）‎ 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且椭圆经过点，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设线段的垂直平分线与轴交于点，求△的面积的取值范围．‎ 深圳市高级中学2017－2018学年第一学期期中考试 高二文科数学参考答案 命题人：罗永隆 审题人：朱志敏 本试卷由两部分组成。‎ 第一部分：高二数学第一学期前的基础知识和能力考查，共79分 选择题包含第1、2、4、5、6、9、11题，共35分 填空题包含第14、16题，共10分 解答题包含第17、18、20题，共34分 第二部分：高二数学第一学期的基础知识和能力考察，共71分 选择题包含第3、7、8、10、12题，共25分 填空题包含第13、15题，共10分 解答题包含第19、21、22题，共36分 本试卷4页，22小题，全卷共计150分。考试时间为120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知向量，，若，则 A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题：，总有，则为 A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 ‎4．已知函数．若，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎6．已知，过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则 A． B． C． D．‎ ‎7．已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎8．若满足，则 A． B． C． D．‎ ‎9．若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎10．设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．若正数满足，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎12．椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设为曲线：在点处的切线．则的方程为 ．‎ ‎14．若非负变量，满足约束条件，则的最大值是 ．‎ ‎15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，线段长为5．若，那么△的周长是 ．‎ ‎16．在数列中，，，则数列的通项公式 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）‎ ‎△的内角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，△的面积，求△的周长．‎ 解：（Ⅰ）∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）依题意得 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎△的周长为 ‎18．（12分）‎ 已知数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）∵，∴，∴‎ ‎∴，∴，两式相减得 而当时，也满足，∴‎ ‎（Ⅱ）‎ 则 两式相减得 ‎∴‎ ‎19．（12分）‎ 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且．‎ ‎（Ⅰ）求该抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．‎ 解：（Ⅰ）设直线的方程为 联立，得，∴‎ 由抛物线定义得，解得，‎ ‎∴抛物线的方程为 ‎（Ⅱ）由于，则，即 从而，，于是，，从而，‎ 设，则 又，即，解得或 ‎20．（12分）‎ 已知向量，，，其中是△的内角．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）设△的角，，所对的边分别是，，，为边中点，若，，求△的面积．‎ 解：（Ⅰ）∵，∴，即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又是△的内角，∴‎ ‎（Ⅱ）∵为边中点，∴，平方得，‎ 即……①‎ 又，平方得 即……②‎ 由①-②得 ‎∴△的面积 x O B A y ‎21．（12分）‎ 如图，等边三角形的边长为，且其 三个顶点均在抛物线上．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与抛物线相切于点，与直线 相交于点．证明以为直径的圆恒过轴上某定点．‎ 解：（Ⅰ）依题意，，．‎ 设，则，‎ ‎∵点在上，‎ ‎∴，解得 故抛物线的方程为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴‎ 设，则，且直线的方程为，即 联立，得，∴‎ 取，此时，，‎ 以为直径的圆为，交轴于或 取，，，‎ 以为直径的圆为，交轴于或 故若满足条件的点存在，只能是 以下证明点即为所求的点 因为，‎ 故以为直径的圆恒过轴上的定点 ‎22．（12分）‎ 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且椭圆经过点，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设线段的垂直平分线与轴交于点，求△的面积的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，‎ 则，解得，故椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）设直线的方程为 联立，消去并整理得 易知，设，，则，‎ 设是的中点，则 线段的垂直平分线的方程为 令，得 ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴的取值范围是