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文档介绍
数学理卷·2018届河北省石家庄市一中高二上学期期末考试(2017-01)
石家庄市第一中学 2016—2017学年度第一学期期末考试高二年级数学理试题 命题人:马焕新 审核人:高宏 第I卷(选择题,共60分) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在实数集中,已知集合和集合,则 . . . . 2.是的※※※条件. .充分必要 .充分不必要 .必要不充分 .既不充分也不必要 3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如下图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如6613用算筹表示就是,则9117用算筹可表示为 A. B.C. D. 4.已知为等差数列,为其前项和,若,,则 . . . . 5. 函数的图像可由函数的图像至少向右平移※※※个单位长度得到. . . . . 6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的 体积等于 . . . . 7.设过抛物线的焦点的直线交抛物线于点,若以为直径的圆过点,且与轴交于两点,则 . . . . 8.已知点为所在平面内一点,,若,且,则与的夹角为 . . . . 9.已知,则二项式的展开式中的一次项系数为 . . . . 10.设正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)的所有顶点都在球的球面上,,分别是的中点,,则球的表面积为 . . . . 11.如图,为双曲线的左右焦点,且,若双曲线右支上存在点,使得,设直线与轴交于点,且的内切圆半径为,则双曲线的离心率为 .4 . . . 12.函数在上存在导函数,对于任意的实数,都有,当时,,若,则实数的取值范围是 . . . . 第II卷(非选择题,共90分) 二、非选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分 13.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 ※※※ . 14.已知正实数满足,则 的最小值为 ※※※ . 15.在如图所示的程序框图中,若输出的值是3,则输入的取值范围是※※※ . 16.若曲线 与曲线 存在唯一一条公共切线,则a的取值范围为※※※ . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 在△中,角,,对应的边分别是,,. 已知. (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若△的面积,,求的值. 18.(本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为,=1,,. (Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)证明: 19.(本小题满分12分) 为了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度,某部门随机调查了90位三十岁到四十岁的公务员,得到如下列联表,因不慎丢失部分数据。 (1))完成表格数据,判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”并说明理由; (2)已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联,该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈,设邀请的2人中来自省妇联的人数为,求的分布列及数学期望. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附:; 20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面,,且,点在上. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值. 21.椭圆: 的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作斜率为的直线,使与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为.若,试判断是否为定值,若是求出这个定值,若不是,请说明理由. 22.(本小题满分12分) 已知函数)在其定义域内有两个不同的极值点. (Ⅰ)求的取值范围; (Ⅱ)设两个极值点分别为,证明:. 石家庄市第一中学 2015级高二级部第一学期期末数学理科试题答案 一、选择题 二、填空题 13.18 14.3 15. __16.或. 三、解答题 【17】(Ⅰ)由,得, 即,解得 或(舍去). 因为,所以. (Ⅱ)由得. 又,知. 由余弦定理得故. 又由正弦定理得. 18.解:(I)由题设, 两式相减得 由于,所以 由题设,,,可得 故可得是首项为1,公差为4的等差数列,; 是首项为3,公差为4的等差数列,. 所以. ………………6分 (Ⅱ), 当时. ………………12分 19.(本小题满分12分) 解析:(1) 男性公务员 女性公务员 总计 有意愿生二胎 30 15 45 无意愿生二胎 20 25 45 总计 50 40 90 由于 故没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”. ...................... ............ ............ ...............4分 (2)由题意可得,一名男公务员要生二胎意愿的概率为,无意愿的概率为,记事件:这三人中至少有一人要生二胎,且各人意愿相互独立 则 答:这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率为.............. ............ ............ ...............8分 (3)可能的取值为 0 1 2 ................................................. ...............12分 20.解:(Ⅰ)如图,设为的中点,连结, 则,所以四边形为平行四边形, 故,又, 所以,故, 又因为平面,所以, 且,所以平面,故有 (Ⅱ)如图,以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 则, 设, 易得, 设平面的一个法向量为, 则, 令得,即. 又平面的一个法向量为, 由题知,解得, 即,而是平面的一个法向量, 设平面与平面所成的角为,则. 故直线与平面所成的角的正弦值为. 21【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).(Ⅲ)为定值. 【解析】(Ⅰ)设,过且垂直于轴的直线与椭圆相交,则其中的一个交点坐标为,由题意可得解得, 所以椭圆的方程为 (Ⅲ)因为与椭圆有且只有一个公共点,则点为切点,设 . 设与联立得, 由得, 所以 另解:由题意可知,为椭圆的在点处的切线,由导数法可求得,切线方程, 所以,而,代入中得 为定值. 22.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)依题,函数的定义域为, 所以方程在有两个不同根. 即,方程在有两个不同根.………………1分 (解法一)转化为,函数与函数 的图像在上有两个不同交点,如图. ………………3分 可见,若令过原点且切于函数图像的直线斜率为, 只须. ………………4分 令切点,所以,又,所以, 解得,,于是, ………………5分 所以. ………………6分 (解法二)转化为,函数与函数的图像在上有两个不同交点. 又,即时,,时,,………………2分 所以在上单调增,在上单调减.从而……………3分 又有且只有一个零点是1,且在时,,在在时,, 所以的草图如下, ………………5分 可见,要想函数与函数的 图像在上有两个不同交点, 只须. ………………6分 (解法三)令,从而转化为函数有两个不同零点, 而() ………………2分 若,可见在上恒成立,所以在单调增, 此时不可能有两个不同零点. ………………3分 若,在时,,在时,, 所以在上单调增,在上单调减, 从而………………4分 又因为在时,,在在时,,于是只须: ,即,所以. ………………5分 综上所述,………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知分别是方程的两个根, 即,, 设,作差得,即.………………7分 原不等式等价于 ………………8分 令,则,………………9分 设,, ∴函数在上单调递增,………………10分 ∴, 即不等式成立,………………11分 故所证不等式成立.………………12分 查看更多