数学卷·2018届北京市西城区高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届北京市西城区高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

北京市西城区 2016-2017 学年高二（上）期末数学试卷（理科） (解析版) 　 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合要求的. 1．双曲线 的一个焦点坐标为（　　） A． B． C．（2，0） D．（0，2） 2．已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．设 α，β 是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（　　） A．若 α∥β，l∥α，则 l⊂β B．若 α∥β，l⊥α，则 l⊥β C．若 α⊥β，l⊥α，则 l⊂β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β 4．设 m∈R，命题“若 m≥0，则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是（　　） A．若方程 x2=m 有实根，则 m≥0 B．若方程 x2=m 有实根，则 m＜0 C．若方程 x2=m 没有实根，则 m≥0D．若方程 x2=m 没有实根，则 m＜0 5．已知 α，β 表示两个不同的平面，m 为平面 α 内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥ β”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线的焦点在 x 轴上，焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行，则双曲线的标准方程为（　　） A． ﹣y2=1 B．x2﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 7．已知两点 A（3，0），B（0，4），动点 P（x，y）在线段 AB 上运动，则 xy 的最大值为（　　） A． B． C．3 D．4 8．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论： ①正方体的截面不可能是直角三角形； ②正四面体的截面不可能是直角三角形； ③正方体的截面可能是直角梯形； ④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形． 其中，所有正确结论的序号是（　　） A．②③ B．①②④ C．①③ D．①④ 　 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 9．命题“存在 x∈R，使得 x2+2x+5=0”的否定是　　． 10．已知点 M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线 MN 垂直于直线 ax+2y﹣3=0， 那么 a 等于　　． 11．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，异面直线 AD，BD1 所成角的余弦值为　　． 12．一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为　　． 13．设 O 为坐标原点，抛物线 y2=4x 的焦点为 F，P 为抛物线上一点．若|PF|=3， 则△OPF 的面积为　　． 14．学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的 一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的 顶点确定为原点，对称轴确定为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他 无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的 计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是　　（所有测量数据用小 写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为　　． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15．（13 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，E 是 PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC∥平面 BDE； （Ⅱ）证明：BD⊥CE． 16．（13 分）如图，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M 为 PB 的中 点． （Ⅰ）求证：AM⊥平面 PBC； （Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值． 17．（13 分）已知直线 l 过坐标原点 O，圆 C 的方程为 x2+y2﹣6y+4=0． （Ⅰ）当直线 l 的斜率为 时，求 l 与圆 C 相交所得的弦长； （Ⅱ）设直线 l 与圆 C 交于两点 A，B，且 A 为 OB 的中点，求直线 l 的方程． 18．（13 分）已知 F1 为椭圆 + =1 的左焦点，过 F1 的直线 l 与椭圆交 于两点 P，Q． （Ⅰ）若直线 l 的倾斜角为 45°，求|PQ|； （Ⅱ）设直线 l 的斜率为 k（k≠0），点 P 关于原点的对称点为 P′，点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q′，P′Q′所在直线的斜率为 k′．若|k′|=2，求 k 的值． 19．（14 分）如图，四棱锥 E﹣ABCD 中，平面 EAD⊥平面 ABCD，DC∥AB，BC⊥ CD，EA⊥ED，且 AB=4，BC=CD=EA=ED=2． （Ⅰ）求证：BD⊥平面 ADE； （Ⅱ）求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段 CE 上是否存在一点 F 使得平面 BDF⊥平面 CDE，请说明理由． 20．（14 分）如图，过原点 O 引两条直线 l1，l2 与抛物线 W1：y2=2px 和 W2：y2=4px （其中 P 为常数，p＞0）分别交于四个点 A1，B1，A2，B2． （Ⅰ）求抛物线 W1，W2 准线间的距离； （Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2； （Ⅲ）若 l1⊥l2，求梯形 A1A2B2B1 面积的最小值． 　 2016-2017 学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷 （理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合要求的. 1．双曲线 的一个焦点坐标为（　　） A． B． C．（2，0） D．（0，2） 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论． 【解答】解：由双曲线 得 a2=3，b2=1， 则 c2=a2+b2=4， 则 c=2， 故双曲线 的一个焦点坐标为（2，0）， 故选：C 【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c 之间的关系是解决本 题的关键． 　 2．已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意可知：2b=2×2c，即 b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则 a= c， 椭圆的离心率 e= = ． 【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为： （a＞b＞0）， 由 2b=2×2c，即 b=2c， a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则 a= c， ∴椭圆的离心率 e= = ， 椭圆的离心率 ， 故选 D． 【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题． 　 3．设 α，β 是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（　　） A．若 α∥β，l∥α，则 l⊂β B．若 α∥β，l⊥α，则 l⊥β C．若 α⊥β，l⊥α，则 l⊂β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】在A 中，l⊂β 或 l∥β；在 B 中，由线面垂直的判定定理得 l⊥β；在 C 中， l 与 β 相交、平行或 l⊂β；在 D 中，l 与 β 相交、平行或 l⊂β． 【解答】解：由 α，β 是两个不同的平面，l 是一条直线，知： 在 A 中，若 α∥β，l∥α，则 l⊂β 或 l∥β，故 A 错误； 在 B 中，若 α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得 l⊥β，故 B 正确； 在 C 中，若 α⊥β，l⊥α，则 l 与 β 相交、平行或 l⊂β，故 C 错误； 在 D 中，若 α⊥β，l∥α，则 l 与 β 相交、平行或 l⊂β，故 D 错误． 故选：B． 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中 线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 　 4．设 m∈R，命题“若 m≥0，则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是（　　） A．若方程 x2=m 有实根，则 m≥0 B．若方程 x2=m 有实根，则 m＜0 C．若方程 x2=m 没有实根，则 m≥0D．若方程 x2=m 没有实根，则 m＜0 【考点】四种命题． 【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案． 【解答】解：命题“若 m≥0，则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是命题“若方程 x2=m 没有实根，则 m＜0”， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题． 　 5．已知 α，β 表示两个不同的平面，m 为平面 α 内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥ β”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由 m⊥β，m 为平面 α 内的一条直线， 可得 α⊥β；反之，α⊥β 时，若 m 平行于 α 和 β 的交线，则 m∥β，所以不一定 能得到 m⊥β． 【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线， 且 m⊥β，则 α⊥β，反之，α⊥β 时，若 m 平行于 α 和 β 的交线，则 m∥β，所 以不一定能得到 m⊥β， 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 故选 B． 【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题． 　 6．已知双曲线的焦点在 x 轴上，焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行，则双曲线的标准方程为（　　） A． ﹣y2=1 B．x2﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设双曲线的标准方程为 （a＞0，b＞0），由 2c=2 ，则 c= ，由双曲线的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行，即 = ，c2=a2+b2，即可求得 a 和 b 的值，即可求得双曲线的标准方程． 【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为 （a＞ 0，b＞0），由 2c=2 ，则 c= ， 双曲线的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行，即 = ， 由 c2=a2+b2，解得：a=2，b=1， ∴双曲线的标准方程为： ， 故选 A． 【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础 题． 　 7．已知两点 A（3，0），B（0，4），动点 P（x，y）在线段 AB 上运动，则 xy 的最大值为（　　） A． B． C．3 D．4 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】由题意易得线段 AB 的方程为 ，（x≥0，y≥0），由基 本不等式可得． 【解答】解：由题意可得直线 AB 的方程为 ， ∴线段 AB 的方程为 ，（x≥0，y≥0） ∴1= ≥2 ，∴xy≤3， 当且仅当 即 x= 且 y=2 时取等号，xy 有最大值 3， 故选：C． 【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题． 　 8．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论： ①正方体的截面不可能是直角三角形； ②正四面体的截面不可能是直角三角形； ③正方体的截面可能是直角梯形； ④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形． 其中，所有正确结论的序号是（　　） A．②③ B．①②④ C．①③ D．①④ 【考点】平行投影及平行投影作图法；棱锥的结构特征． 【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析 4 个选项，即可得出结论． 【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确； ②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确； ③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确； ④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确． 故选 D． 【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档 题． 　 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 9．命题“存在 x∈R，使得 x2+2x+5=0”的否定是　对任何 x∈R，都有 x2+2x+5≠ 0　． 【考点】特称命题． 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定． 【解答】解：因为命题“存在 x∈R，使得 x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题 的否定是全称命题， 可得命题的否定为：对任何 x∈R，都有 x2+2x+5≠0． 故答案为：对任何 x∈R，都有 x2+2x+5≠0． 【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础． 　 10．已知点 M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线 MN 垂直于直线 ax+2y﹣3=0， 那么 a 等于　1　． 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率． 【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出． 【解答】解：∵点 M（0，﹣1），N（2，3）， ∴kMN= =2， ∵直线 MN 垂直于直线 ax+2y﹣3=0， ∴2× =﹣1，解得 a=1． 故答案为 1． 【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系，属于基础题． 　 11．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，异面直线 AD，BD1 所成角的余弦值为　 　． 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标 系，利用向量法能求出异面直线 AD，BD1 所成角的余弦值． 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角 坐标系， 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 1， 则 A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1）， =（﹣1，0，0）， =（﹣1，﹣1，1）， 设异面直线 AD，BD1 所成角为 θ， 则 cosθ= = ． ∴异面直线 AD，BD1 所成角的余弦值为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审 题，注意向量法的合理运用． 　 12．一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为　8 　． 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4 的等边 三角形，由此能求出该三棱柱的侧视图的面积． 【解答】解：由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4 的 等边三角形， ∴由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为： =2 ， 底面边长为：4，∴侧视图三角形的高为：4， 该三棱柱的侧视图的面积为 S=2 ×4=8 ． 故答案为：8 ． 【点评】本题考查三棱柱的侧视图的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题， 注意空间思维能力的培养． 　 13．设 O 为坐标原点，抛物线 y2=4x 的焦点为 F，P 为抛物线上一点．若|PF|=3， 则△OPF 的面积为　 　． 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=3 求得 P 点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算． 【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=﹣1，焦点 F（1，0）， 又 P 为 C 上一点，|PF|=3，∴xP=2， 代入抛物线方程得：|yP|=2 ， ∴S△POF= ×|OF|×2 = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所迷住的 条件是解题的关键． 　 14．学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的 一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的 顶点确定为原点，对称轴确定为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他 无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的 计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是　碗底的直径 2m，碗口 的直径 2n，碗的高度 h　（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线 标准方程为　y2= x　． 【考点】抛物线的标准方程． 【分析】碗底的直径 2m，碗口的直径 2n，碗的高度 h；设方程为 y2=2px（p＞ 0），则将点（a，m），（a+h，n），即可得出结论． 【解答】解：碗底的直径 2m，碗口的直径 2n，碗的高度 h； 设方程为 y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n） 代入抛物线方程可得 m2=2pa，n2=2p（a+h），可得 2p= ， ∴抛物线方程为 y2= x． 故答案为碗底的直径 2m，碗口的直径 2n，碗的高度 h；y2= x． 【点评】本题考查抛物线的方程，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档 题． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15．（13 分）（2016 秋•西城区期末）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形， 侧棱 PA⊥底面 ABCD，E 是 PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC∥平面 BDE； （Ⅱ）证明：BD⊥CE． 【考点】直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）连结 AC 交 BD 于 O，连结 OE，推导出 PC∥OE，由此能证明 PC∥ 平面 BDE． （Ⅱ）推导出 BD⊥AC，PA⊥BD，从而 BD⊥平面 PAC，由此能证明 BD⊥CE． 【解答】（本小题满分 13 分） 证明：（Ⅰ）连结 AC 交 BD 于 O，连结 OE， 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 为 AC 中点． 又因为 E 是 PA 的中点，所以 PC∥OE，…（3 分） 因为 PC⊄平面 BDE，OE⊂平面 BDE， 所以 PC∥平面 BDE．…（6 分） （Ⅱ）因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BD⊥AC．…（8 分） 因为 PA⊥底面 ABCD，且 BD⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥BD．…（10 分） 又因为 AC∩PA=A，所以 BD⊥平面 PAC，…（12 分） 又 CE⊂平面 PAC， 所以 BD⊥CE．…（13 分） 【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题， 注意空间思维能力的培养． 　 16．（13 分）（2016 秋•西城区期末）如图，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2， M 为 PB 的中点． （Ⅰ）求证：AM⊥平面 PBC； （Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值． 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）推导出 PA⊥BC，BC⊥AB，从而 AM⊥BC，再求出 AM⊥PB，由 此能证明 AM⊥平面 PBC． （Ⅱ）在平面 ABC 内，作 Az∥BC，则 AP，AB，Az 两两互相垂直，建立空间直 角坐标系 A﹣xyz．利用向量法能求出二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值． 【解答】（本小题满分 13 分） 证明：（Ⅰ）因为 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以 PA⊥BC． 因为 BC⊥AB，PA∩AB=A， 所以 BC⊥平面 PAB．…（2 分） 所以 AM⊥BC．…（3 分） 因为 PA=AB，M 为 PB 的中点， 所以 AM⊥PB．…（4 分） 所以 AM⊥平面 PBC．… 解：（Ⅱ）如图，在平面 ABC 内，作 Az∥BC，则 AP，AB，Az 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系 A﹣xyz． 则 A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1， 0）． =（2，0，0）， =（0，2，1）， =（1，1，0）．…（8 分） 设平面 APC 的法向量为 =（x，y，z）， 则 ，令 y=1，得 =（0，1，﹣2）．…（10 分） 由（Ⅰ）可知 =（1，1，0）为平面 BPC 的法向量， 设二面角 A﹣PC﹣B 的平面角为 α， 则 cosα= = = ．…（12 分） 所以二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值为 ．…（13 分） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解 题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 　 17．（13 分）（2016 秋•西城区期末）已知直线 l 过坐标原点 O，圆 C 的方程为 x2+y2﹣6y+4=0． （Ⅰ）当直线 l 的斜率为 时，求 l 与圆 C 相交所得的弦长； （Ⅱ）设直线 l 与圆 C 交于两点 A，B，且 A 为 OB 的中点，求直线 l 的方程． 【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求直线方程． 【分析】（Ⅰ）由已知，直线 l 的方程为 y= x，圆 C 圆心为（0，3），半径 为 ，求出圆心到直线 l 的距离，即可求 l 与圆 C 相交所得的弦长； （Ⅱ）设直线 l 与圆 C 交于两点 A，B，且 A 为 OB 的中点，求出 A 的坐标，即可 求直线 l 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，直线 l 的方程为 y= x，圆 C 圆心为（0，3）， 半径为 ，…（3 分） 所以，圆心到直线 l 的距离为 = ．… 所以，所求弦长为 2 =2 ．…（6 分） （Ⅱ） 设 A（x1，y1），因为 A 为 OB 的中点，则 B（2x1，2y1）．…（8 分） 又 A，B 在圆 C 上， 所以 x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．…（10 分） 解得 y1=1，x1=±1，…（11 分） 即 A（1，1）或 A（﹣1，1）．…（12 分） 所以，直线 l 的方程为 y=x 或 y=﹣x．…（13 分） 【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力， 属于中档题． 　 18．（13 分）（2016 秋•西城区期末）已知 F1 为椭圆 + =1 的左焦点， 过 F1 的直线 l 与椭圆交于两点 P，Q． （Ⅰ）若直线 l 的倾斜角为 45°，求|PQ|； （Ⅱ）设直线 l 的斜率为 k（k≠0），点 P 关于原点的对称点为 P′，点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q′，P′Q′所在直线的斜率为 k′．若|k′|=2，求 k 的值． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）直线 l 的倾斜角为 45°，直线 l 的方程为 y=x+1，代入椭圆方程， 由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|； （Ⅱ）设直线 l：y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式 求得丨 k′丨=丨 丨=丨 丨=2，即可求得 k 的值． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆 + =1，a=2，b= ，c=1， 椭圆的左焦点 F1（﹣1，0），设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 又直线 l 的倾斜角为 45°， ∴直线 l 的方程为 y=x+1，…（1 分） 由 ，整理得：7x2+8x﹣8=0，…（3 分） 则 x1+x2=﹣ ，x1•x2=﹣ ．…（4 分） 丨 PQ 丨 = • = • = ， ∴|PQ|= ；… （ Ⅱ ） 由 ， 整 理 得 ： （ 3+4k2 ） x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（6 分） 则 x1+x2=﹣ ，x1•x2= ，…（8 分） 依题意 P′（﹣x1，﹣y1），Q′（x2，﹣y2），且 y1=k（x1+1），y2=k（x2+1）， ∴丨 k′丨=丨 丨=丨 丨，…（10 分） 其 中 丨 x1﹣x2 丨 = = ，…（11 分） ∴丨 k′丨=丨 丨=2．…（12 分） 解得：7k2=9，k=± ， k 的值± ．．…（13 分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦 长公式及直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题． 　 19．（14 分）（2014•东城区二模）如图，四棱锥 E﹣ABCD 中，平面 EAD⊥平面 ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且 AB=4，BC=CD=EA=ED=2． （Ⅰ）求证：BD⊥平面 ADE； （Ⅱ）求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段 CE 上是否存在一点 F 使得平面 BDF⊥平面 CDE，请说明理由． 【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的 角． 【分析】（Ⅰ）证明 BD⊥AD，利用平面 EAD⊥平面 ABCD，证明 BD⊥平面 ADE； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面 CDE 的一个法向量，利用向量的夹角公 式，即可求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）求出平面 BEF 一个法向量，利用平面 BEF⊥平面 CDE，向量的数量积为 0， 即可得出结论． 【解答】（I）证明：由 BC⊥CD，BC=CD=2，可得 ． 由 EA⊥ED，且 EA=ED=2，可得 ． 又 AB=4，所以 BD⊥AD． 又平面 EAD⊥平面 ABCD，平面 ADE∩平面 ABCD=AD，BD⊂平面 ABCD， 所以 BD⊥平面 ADE．　　　　　　　　　… （II）解：建立空间直角坐标系 D﹣xyz， 则 D （ 0 ， 0 ， 0 ） ， ， ， ， ， ， ． 设 =（x，y，z）是平面 CDE 的一个法向量，则 令 x=1，则 =（1，1，﹣1）． 设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为 α， 则 sinα= 所以 BE 和平面 CDE 所成的角的正弦值 ．　　　　　　…（10 分） （ III ） 解 ： 设 ， λ ∈ [0 ， 1] ． ， ， ． 则 ． 设 = （ x' ， y' ， z' ） 是 平 面 BDF 一 个 法 向 量 ， 则 令 x'=1，则 =（1，0，﹣ ）． 若 平 面 BDF ⊥ 平 面 CDE ， 则 • =0 ， 即 ， ． 所以，在线段 CE 上存在一点 F 使得平面 BDF⊥平面 CDE．…（14 分） 【点评】本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，正确运用向量知识是关 键． 　 20．（14 分）（2016 秋•西城区期末）如图，过原点 O 引两条直线 l1，l2 与抛物 线 W1：y2=2px 和 W2：y2=4px（其中 P 为常数，p＞0）分别交于四个点 A1，B1， A2，B2． （Ⅰ）求抛物线 W1，W2 准线间的距离； （Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2； （Ⅲ）若 l1⊥l2，求梯形 A1A2B2B1 面积的最小值． 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（Ⅰ）根据抛物线的性质即可求出答案， （Ⅱ）设 l1：y=k1x，代入抛物线方程，得 A1，A2 的横坐标分别是 和 ，即可得到△OA1B1∽△OA2B2，即 A1B1∥A2B2． （Ⅲ）A（x1，y1）B（x2，y2），直线 A1B1 方程为 x=ty+m1，根据韦达定理和直线 垂直的关系得到直线 A1B1 方程为 x=ty+2p，A2B2 方程为 x=ty+4p， 再根据弦长公式和两直线之间的距离公式，以及梯形的面积公式即可求出答 案． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，抛物线 W1，W2 的准线分别为 x=﹣ 和 x=﹣p， 所以，抛物线 W1，W2 准线间的距离为 （Ⅱ）设 l1：y=k1x，代入抛物线方程，得 A1，A2 的横坐标分别是 和 ． ∴ = = ，同理 = ， 所以△OA1B1∽△OA2B2， 所以 A1B1∥A2B2． （Ⅲ）设 A（x1，y1）B（x2，y2），直线 A1B1 方程为 x=ty+m1， 代入曲线 y2=2px，得 y2﹣2pty﹣2pm1=0， 所以 y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm1． 由 l1⊥l2，得 x1x2+y1y2=0，又 y12=2px1，y22=2px2， 所以 +y1y2=0，由 y1y2=﹣2pm1，得 m1=2p． 所以直线 A1B1 方程为 x=ty+2p， 同理可求出直线 A2B2 方程为 x=ty+4p， 所 以 |A1B1|= |y1﹣y2|=2p • ， |A2B2|=4p • ， 平行线 A1B1 与 A2B2 之间的距离为 d= ， 所 以 梯 形 A1A2B2B1 的 面 积 ≥12p2 当 t=0 时，梯形 A1A2B2B1 的面积达最小，最小值为 12p2． 【点评】本题考查了抛物线的性质直线和抛物线的位置关系，考查了学生的运算 能力，以及转化能力，属于中档题．