2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第六章 不等式、推理与证明 第4节
第六章 第4节
1．下列命题正确的是( )
A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋≥4
B．若a<0，则a＋≥－4
C．若a>0，b>0，则lg a＋lg b≥2
D．若a<0，b<0，则＋≥2
解析：D [当sin2x＝1时，1＋1＝2<4，所以A错；若a<0，则a＋≤－4，B错；因为lg a，lg b可以小于零，C错；由a<0，b<0，所以，都大于零，D正确．]
2．已知0
0.
∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.
当x＝1－x，即x＝时取等号．]
3．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：C [由已知正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，∴m＋n＝(a＋b)＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5，故选C.]
4．(2020·长春市质检)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.＋有最大值4 B.有最小值
C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值
解析：C [由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值，故选C.]
5．(2020·宿州市一模)若圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0关于直线l：ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值为( )
A．1 B．5
C．4 D．4
解析：D [圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心为(2,1)，
圆C关于直线l∶ax＋by＝2对称，∴圆心在l上，
∴2a＋b＝2，∴a＋＝1.又a＞0，b＞0，
∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，
∴＋的最小值为4.]
6．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为 ________ .
解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以a的最大值为3.
答案：3
7．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是 ________ .
解析：＝－＝(a－1,1)，＝－
＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴与共线，
∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.
∵a＞0，b＞0，∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．
答案：8
8．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是 __________ .
解析：总费用4x＋×6＝4≥4×2＝240，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．
答案：30
9．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中
(1)求n的值；
(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？
解：(1)由试验数据知，s1＝n＋4，s2＝n＋，
所以解之得.又n∈N，所以n＝6.
(2)由(1)知，s＝＋，v≥0.依题意，
s＝＋≤12.6，
即v2＋24v－5 040≤0，解得－84≤v≤60.
因为v≥0，所以0≤v≤60.
故行驶的最大速度为60 km/h.
10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)
得
(1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，
∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，
∴(3＋1)(－1)≥0，
∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
∴xy的最小值为1.
(2)∵x＞0，y＞0，
∴x＋y＋1＝3xy≤3·2，
∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，
当且仅当x＝y＝1时取等号，
∴x＋y的最小值为2.
