2020年高中数学第二章推理与证明2

2020年高中数学第二章推理与证明2

‎2.1.2‎‎ 演绎推理 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是(　　)‎ A．实数分为有理数和无理数 B．无理数是无限不循环小数 C．无限不循环小数都是无理数 D．有理数都是有限循环小数 解析：由三段论的知识可知，其大前提是：无限不循环小数都是无理数．‎ 答案：C ‎2．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是(　　)‎ A．①　　　　　　　　　　 B．②‎ C．③ D．①②‎ 解析：由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.‎ 答案：B ‎3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 解析：直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．‎ 答案：A ‎4．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，这是因为(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 解析：推理形式不符合三段论推理的形式．三段论的形式是：M是P，S是M，则S是P，而上面的推理形式则是：M是P，S是P，则S是M.故选C.‎ 答案：C ‎5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)‎ A．类比推理 B．归纳推理 5‎ C．演绎推理 D．一次三段论 解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．‎ 答案：C ‎6．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．‎ 解析：题中推理的依据是勾股定理的逆定理．‎ 答案：一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形．‎ ‎7．以下推理中，错误的序号为________．‎ ‎①∵ab＝ac，∴b＝c；‎ ‎②∵a≥b，b>c，∴a>c；‎ ‎③∵75不能被2整除，∴75是奇数；‎ ‎④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.‎ 解析：当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．‎ 答案：①‎ ‎8．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．‎ 解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.‎ 答案：log2x－2≥0‎ ‎9．判断下列几个推理是否正确？为什么？‎ ‎(1)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”‎ ‎(2)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”‎ 解析：(1)不正确．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．‎ ‎(2)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．‎ ‎10.如图所示，从A地出发到河边饮完马再到B地去，在河边哪个地方饮马可使路途最短？‎ 解析：如图，先作点A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于点P，P点即为所求．用演绎法证明如下：‎ 5‎ 如图所示，在MN上任取一点P′(异于点P)，连接AP′、A′P′、BP′，则AP′＝P′A′，AP＝PA′，从而AP′＋P′B＝A′P′＋P′B＞A′P＋PB＝AP＋PB.由此可知：A到B经P点距离最短．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)‎ A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D．使用了“三段论”，但小前提使用错误 解析：应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．‎ 答案：D ‎2．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(　　)‎ A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．无理数集 解析：A错，因为自然数集对减法不封闭；B错，因为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．‎ 答案：C ‎3．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市．‎ 丙说：我们三个去过同一城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为________．‎ 解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或B城市，结合丙的回答可得乙去过A城市．‎ 5‎ 答案：A ‎4．已知函数f(x)满足：f(1)＝，‎4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________.‎ 解析：令y＝1得‎4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)①‎ 令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)②‎ 由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，即f(x－1)＝－f(x＋2)，‎ ‎∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)，‎ ‎∴f(x)＝f(x＋6)，即f(x)周期为6，‎ ‎∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0)，‎ 对‎4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得‎4f(1)f(0)＝‎2f(1)，‎ ‎∴f(0)＝，即f(2 010)＝.‎ 答案： ‎5．计算机装置有一个数据输入口A和一个运算结果的输出口B，某同学编入下列运算程序，将数据输入且满足以下性质：‎ ‎①从A输入1时，从B得到.‎ ‎②从A输入整数n(n≥2)时，在B得到的结果f(n)是将前一结果f(n－1)先乘奇数2n－3，再除以奇数2n＋1.‎ ‎(1)求出f(2)，f(3)，f(4)；‎ ‎(2)由(1)推测出f(n)的表达式，并给出证明．‎ 解析：(1)由题设条件知，f(1)＝，f(n)＝f(n－1)，‎ ‎∴当n＝2时，f(2)＝×＝；‎ 当n＝3时，f(3)＝×＝；‎ 当n＝4时，f(4)＝×＝.‎ ‎(2)猜想f(n)＝.‎ ‎∵＝，‎ ‎∴f(n)＝··…··f(1)‎ ‎＝···…····＝.‎ 5‎ ‎6.(2014·高考江西卷)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．‎ ‎(1)证明：动点D在定直线上；‎ ‎(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.‎ 证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．‎ 证明：(1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，‎ 直线AO的方程为y＝x；BD的方程为x＝x2.‎ 解得交点D的坐标为 注意到x1x2＝－8及x＝4y1，则有y＝＝＝－2，‎ 因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上．‎ ‎(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，‎ 即x2－4ax－4b＝0，‎ 由Δ＝0得(‎4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.‎ 故切线l的方程可写为y＝ax－a2.‎ 分别令y＝2、y＝－2得N1、N2的坐标为 N1(＋a,2)，N2(－＋a，－2)，‎ 则|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.‎ 5‎