【数学】安徽省蚌埠市2020届高三上学期期末考试试题（理）（解析版）

【数学】安徽省蚌埠市2020届高三上学期期末考试试题（理）（解析版）

安徽省蚌埠市2020届高三上学期期末考试数学试题（理）‎ 一、选择题：‎ ‎1.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ ‎,‎ 故选：A.‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,,‎ 所以，‎ 所以 .‎ 故选：B.‎ ‎3.海水稻就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区的水稻，具有抗旱抗涝、抗病虫害、抗倒伏抗盐碱等特点.近年来，我国的海水稻研究取得了阶段性成果，目前已开展了全国大范围试种.某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各株，测量了它们的根系深度（单位：），得到了如下的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A. 海水稻根系深度的中位数是 B. 普通水稻根系深度的众数是 C. 海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数 D. 普通水稻根系深度方差小于海水稻根系深度的方差 ‎【答案】D ‎【解析】A中，海水稻根系深度中位数为，正确；B中普通水稻根系深度的众数由茎叶图知是，正确；C中，由茎叶图可知海水稻根系深度平均数大于普通稻根系深度的平均数，正确；D中，分别计算两组数据的方差，‎ 海水稻根系深度的平均值为，‎ 普通水稻根系深度的平均值为 海水稻,‎ 普通稻，‎ 所以海水稻根系深度方差小，错误.‎ 故选：D.‎ ‎4.在棱长为的正方体内随机抽取一点，则该点恰好在以为球心，半径的球的内部的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】以为球心，为半径的球在正方体内部的体积为，‎ 又正方体的体积为，‎ 根据几何概型的概率公式可得所求概率为：.‎ 故选：D.‎ ‎5.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱截去四分之一所得几何体，‎ 其表面积为：.‎ 故选：C.‎ ‎7.过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，其中点位于第一象限．若，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图：过作与准线垂直，垂足为，过作与准线垂直，垂足为，‎ 过作，垂足为，‎ 因为，所以，‎ 设，则，所以，‎ 根据抛物线的定义可得，，‎ 所以，所以，‎ 所以斜率.‎ 故选：C.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则，‎ 所以为奇函数，图象关于原点对称，所以排除，‎ 又，所以排除，‎ 故选：D.‎ ‎9.已知函数，则的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎10.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，．现将两块三角板拼接在一起，取中点与中点，则下列直线与平面所成的角不为定值的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为为中点，所以，所以，‎ 又，且，‎ 所以平面，‎ 所以与平面所成的角分别为和，它们相等，等于45°，‎ 根据直线与平面所成角的定义知，与平面 所成的角为 故只有与平面所成的角不为定值.‎ 故选：B.‎ ‎11.已知函数.有下列四个结论：‎ ‎①函数的值域为； ②函数的最小正周期为；‎ ‎③函数在上单调递增； ④函数的图像的一条对称轴为.‎ 其中正确的结论是（ ）‎ A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ①②‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①，因为，的最小值为，所以，故错误；对于②，因为，所以是周期，且没有比小的，所以正确；对于③，当时，，时，函数不单调，故错误；对于④，因为，即取得最小值，所以函数的图像的一条对称轴为正确.‎ 故选：B.‎ ‎12.已知函数，若在处取得极值，且，恒成立，则实数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数，所以，‎ 因为在处取得极值，所以，所以，‎ 所以，‎ 所以即，即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 所以时，，递减，‎ 时，，递增，‎ 所以时，，‎ 所以，‎ 所以的最大值为.‎ 故选：D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知实数，满足则目标函数的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出可行域，如图所示：‎ 由图可知最优解为，‎ 所以.‎ 故答案：6‎ ‎14.在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为展开式中，只有第项二项式系数最大，根据二项式系数的性质可知，，‎ 所以，，‎ 令 解得，所以所求系数为.‎ 故答案为：‎ ‎15.若，是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示：‎ 设，则，‎ 根据双曲线的定义得，‎ 即，‎ 解得，‎ 即，，‎ 因为，所以△为以为直角的直角三角形，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以由得，‎ 所以，所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎16.某小区欲利用一块直角三角形空地（如图）建一个正三角形（如图）健身器材休闲场地，经测量，，．若正三角形的顶点在的三条边界线上，则该健身器材休闲场地面积的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示：‎ 设，，则，‎ 则180°，‎ 又，所以 在△中，由正弦定理得，解得，‎ 由得，‎ 得 （其中）‎ 所以正三角形的面积，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题： ‎ ‎17.若数列的前项和满足对任意的正整数，均有 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ 解：（1），∴‎ 当时时，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴是首项为，公比为的等比数列，其通项为．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎18.如图，四边形为矩形，，，为线段上的动点．‎ ‎（1）若为线段的中点，求证：平面；‎ ‎（2）若三棱锥的体积记为，四棱锥的体积记为，当时，求二面角的余弦值．‎ 解：（1）连接，，记它们的交点为，连接 因为四边形为矩形，∴为中点，‎ 又为线段中点，∴，‎ 而平面，平面 ‎∴平面．‎ ‎（2）∵矩形，∴，‎ 又，∴，，∴平面，‎ 设，取中点，‎ 因为是等边三角形，∴，‎ 又因为平面，‎ ‎∴，，∴平面，且，‎ 设三棱锥的高为，则，∴，‎ 由得，解得，‎ 由题意，如图以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎∵，∴，‎ 易知平面的一个法向量为，‎ 设平面的法向量为，‎ 则 令则得平面的一个法向量，‎ 因为二面角为锐角二面角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎19.某饼屋进行为期天的五周年店庆活动，现策划两项有奖促销活动，活动一：店庆期间每位顾客一次性消费满元，可得元代金券一张；活动二：活动期间每位顾客每天有一次机会获得一个一元或两元红包．根据前一年该店的销售情况，统计了位顾客一次性消费的金额数（元），频数分布表如下图所示：‎ 一次性消费金额数 人数 以这位顾客一次消费金额数的频率分布代替每位顾客一次消费金额数的概率分布．‎ ‎（1）预计该店每天的客流量为人次，求这次店庆期间，商家每天送出代金券金额数的期望；‎ ‎（2）假设顾客获得一元或两元红包的可能性相等，商家在店庆活动结束后会公布幸运数字，连续天参加返红包的顾客，如果红包金额总数与幸运数字一致，则可再获得元的“店庆幸运红包”一个．若公布的幸运数字是“”，求店庆期间一位连续天消费的顾客获得红包金额总数的期望．‎ 解：（1）依题意，顾客一次消费满元的概率为 记商家每天送出代金券金额数为，则，‎ ‎∴商家每天送出代金券金额数的期望为元；‎ ‎（2）记店庆期间一位连续天消费的顾客获得红包金额总数为，则的可取值为，，，，，，且，，，‎ ‎，，．‎ ‎∴‎ 店庆期间一位连续5天消费的顾客获得红包金额总数的期望为元．‎ ‎20.已知椭圆一个顶点的坐标为，且离心率，，是其左、右顶点．过点的直线与轴垂直，点在直线上，为的中点．设是椭圆上异于椭圆顶点的一点，轴，为垂足，射线与直线交与点，且．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求的值．‎ 解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，‎ 且，‎ 解得．‎ ‎∴所求椭圆方程为．‎ ‎（2）设，则由题意，‎ ‎∵，∴，．‎ ‎∴直线的方程为，‎ 在直线上，∴，∴．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 由于，，∴．‎ ‎21.已知函数在区间内存在零点．‎ ‎（1）求的范围；‎ ‎（2）设，是的两个零点，求证：．‎ 解：（1）由题意，方程在区间有解，‎ 即方程在区间有解，‎ 设函数，即在区间存在零点．‎ 因为，‎ ‎①若，则，，成立，‎ 在区间单调递增，‎ ‎，，，‎ 所以在区间存在零点；‎ ‎②若，则，在内单调递减，‎ 且，所以在区间无零点；‎ ‎③若，则，，‎ 当时，，‎ 故在区间无零点；‎ 综上所述，．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 时，在区间单调递减，在区间单调递增，‎ 且在区间存在一个零点；‎ 又，，‎ 所以在区间也存在一个零点，‎ 从而，‎ 所以，不等式得证．‎ ‎22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线（为参数）与曲线相交于，两点.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 解：（1）根据题意，即，‎ 从而曲线的直角坐标方程为，即，‎ 又，消去参数可得 直线的普通方程为.‎ ‎（2）根据题意，得圆心到直线的距离，‎ 即，解得，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，使得不等式成立，求实数的最大值.‎ 解：（1）‎ 当时，，解得；‎ 当时，，不成立；‎ 当时，，解得.‎ 综上可知，不等式的解集为.‎ ‎（2），使得不等式成立，‎ 即，‎ 所以在时有解，‎ ‎，‎ 当时，，，‎ 所以.‎