湖南2020届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题

湖南2020届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题

‎2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设全集是实数集，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数，则（ ）‎ A．15 B．‎16 ‎ C．17 D．18‎ ‎3．下列说法正确的是（ ）‎ A．“”的否定是 B．命题“设，若，则或”是一个假命题 C．“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件 D．向量，，则在方向上的投影为5‎ ‎4．在中，，且，则（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5．已知实数，满足，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎6．函数在上的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（ ）‎ A．6 B． C．3 D．‎ ‎8．当时，，则下列大小关系正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．函数（）的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在区域内任取一点，满足的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设是定义在上的可导函数，，且，则不等式 ‎ 的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．二项式的展开式中常数项为_________．所有项的系数和为_________．‎ ‎14．设向量，则向量与向量的夹角为_______．‎ ‎15．已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为_______．‎ ‎16．在中，角的对边分别为，若，是锐角，且，，则的面积为________．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知等比数列的前项和为，且对一切正整数恒成立．‎ ‎（1）求和数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎18．（12分）如图，在多面体中，已知，,，，，平面平面，为的中点，连接．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎19．（12分）众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区5个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下：‎ 位置 类型 A B C D E 电信 ‎4‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ 网通 ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎（1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过0.15的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？‎ ‎（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，求A，B两地区至少选到一个的概率．‎ 参考公式：．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若与直线平行的直线交椭圆于两点，当时，求的面积．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若，求的单调区间．‎ ‎（2）证明：①；‎ ‎②对任意，对恒成立．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，为常数）．以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线圆有两个公共点，求实数的取值范围．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 设函数，其中．‎ ‎（1）当，求等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求的值．‎ ‎2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷 文科数学答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】由于，‎ 所以，，‎ 所以．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】“”的否定是“”，A错误；‎ B选项命题的逆否命题为：“若，则”为真命题，B错误；‎ 为幂函数时，，可判断C正确；‎ 在方向上的投影为，D错误，‎ 故选C．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示，‎ 其为阴影部分的三角区，‎ 解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为，‎ 根据三角形的面积公式可以求得．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】，为奇函数，D不对，‎ 在上的零点为0，，A不对，‎ 又，B不对．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】不妨设，则，‎ 又，解得，，‎ 则是的最小内角为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 化简得，解得．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】根据，得到，而，‎ 所以根据对数函数的单调性可知时，，‎ 从而可得，函数单调递增，‎ 所以，‎ 而，所以有，‎ 故选D．‎ ‎9．【答案】A ‎【解析】由图知，‎ 点是五点作图的第二个点，则，‎ ‎，‎ 易知与的最小正周期相同，均为．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】如图，曲线的轨迹是以为圆心，1为半径的上半圆，‎ 由几何概型得．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】是偶函数且大于0，，‎ 则为上的奇函数和增函数，‎ ‎，‎ 则．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】关于的不等式在区间上恒成立关于的不等式在区间上恒成立．‎ 显然当时，关于的不等式在区间上恒成立．‎ 当时，在同一坐标系内分别作出的图象，‎ 所以关于的不等式在区间上恒成立点的位置不低于点的位置．‎ 综上，实数的取值范围为．故选B．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】5；32‎ ‎【解析】展开式的通项为，‎ 令，解得，‎ 所以展开式中的常数项为，‎ 令，得到所有项的系数和为，得到结果．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】，，．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】令，由，得或，‎ 再由，解得，，‎ 由，解得，‎ 即函数的所有零点所构成的集合为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由，‎ 得，，，‎ 所以或，‎ 又，所以，即，‎ 所以，，，‎ ‎，．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 与两式相减得．‎ 数列是等比数列，公比，．‎ 又，，．‎ ‎（2）由，得，‎ ‎．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：过作于．‎ 因为，所以，‎ 因为，，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以四边形为矩形，‎ 所以，，‎ 取的中点为，连接，．‎ 因为为的中点，所以，，‎ 所以，，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，因为平面，平面．‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为平面平面，，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以平面平面，‎ 因为，，所以，‎ 因为平面平面，‎ 平面，所以平面，‎ 因为四边形为平行四边形，‎ 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积，‎ 等于三棱锥的体积，‎ 所以三棱锥的体积 ‎．‎ ‎19．【答案】（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）根据题意列出列联表如下：‎ 位置 类型 糟糕 良好 合计 电信 ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ 网通 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 合计 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎，‎ 在犯错误的概率不超过的前提下，不能说明网络状况与网络的类型有关．‎ ‎（2）依题意，在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，‎ 其所有的可能有，‎ 其中满足条件的为，‎ 故所求概率．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的方程为，‎ 由题意可得，解得，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）直线的方程为，‎ 设直线的方程为，，，‎ 将直线的方程代入椭圆的方程并整理得 ‎，‎ 由，‎ 得，，‎ 由，得，‎ ‎，得，‎ 又，‎ 到直线的距离，‎ 所以．‎ ‎21．【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；‎ ‎（2）①证明见解析；②证明见解析．‎ ‎【解析】（1）若，，‎ 令，得或，‎ 则的单调递增区间为，，‎ 令，得，‎ 则的单调递减区间为．‎ ‎（2）①设，则，‎ 令，得；令，得，‎ 故，从而，‎ 即．‎ ‎②当时，由①知，，‎ 则，‎ 若，则 ‎，‎ 当时，，‎ 则当时，，‎ 故对任意，对恒成立．‎ ‎22．【答案】（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）圆的普通方程为，‎ 将直线的极坐标方程化为，‎ 即，化简得．‎ ‎（2）圆的普通方程为，‎ 圆的圆心为，半径为，‎ 圆心到直线的距离，‎ 直线与圆有两个公共点，‎ ‎，解得，‎ 的取值范围为．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，可化为，‎ 由此可得或，‎ 故不等式的解集为．‎ ‎（2）由，得，‎ 此不等式化为不等式组为或，‎ 即或，‎ 因为，所以不等式组的解集为，‎ 由题设可得，故．‎