2020-2021年新高三数学一轮复习考点：函数的图象

2020-2021年新高三数学一轮复习考点：函数的图象

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点：函数的图象 考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的 问题. 本部分常结合函数的基本性质、导数、不等式等知 识进行综合考查，多以选择题为主，难度中，高考命题 频率比较高。 一、作函数的图象； 二、函数图象的辨识； 三、函数图象的应用。 【易错警示】 1.图象变换是针对自变量 x 而言的，如从 f(－2x)的图象到 f(－2x＋1)的图象是向右平移1 2个单 位，先作如下变形 f(－2x＋1)＝f －2 x－1 2 ，可避免出错. 2.明确一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称的不同，前者是自身对 称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系. 3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用. 作函数的图象 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周 期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点 等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象―——————————―→关于x轴对称 y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象―——————————―→关于y轴对称 y＝f(－x) 的图象； y＝f(x)的图象――————————————→关于原点对称 y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象――——————————→关于直线y＝x对称 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)――———————————————————→ 纵坐标不变 各点横坐标变为原来的1 a（a>0）倍 y＝f(ax). y＝f(x)―————————————————————―→ 横坐标不变 各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍 y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象――————————————→ x轴下方部分翻折到上方 x轴及上方部分不变 y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象―————————————————―→ y轴右侧部分翻折到左侧 原y轴左侧部分去掉，右侧不变 y＝f(|x|)的图象. 作函数图象的一般方法 (1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征 描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象 变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【温馨提示】 图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y＝x＋ 1 x的函数． (2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但 要注意变换顺序． 【典例】 【例 1】 作出下列函数的图象： (1)y＝ 1 2 |x| ；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝x2－2|x|－1. 解 (1)先作出 y＝ 1 2 x 的图象，保留 y＝ 1 2 x 图象中 x≥0 的部分，再作出 y＝ 1 2 x 的图象中 x>0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝ 1 2 |x| 的图象，如图①实线部分. (2)将函数 y＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得 到函数 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②. (3)∵y＝  x2－2x－1，x≥0， x2＋2x－1，x<0， 且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对 称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③. 【例 2】分别作出下列函数的图象： (1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝2x－1 x－1 . 解 (1)首先作出 y＝lg x 的图象，然后将其向右平移 1 个单位，得到 y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，即得所求函数 y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)． (2)将 y＝2x 的图象向左平移 1 个单位，得到 y＝2x＋1 的图象，再将所得图象向下平移 1 个单位，得到 y＝2x＋1 －1 的图象，如图②所示． (3)y＝x2－|x|－2＝   x2－x－2，x≥0， x2＋x－2，x<0， 其图象如图③所示． (4)y＝2x－1 x－1 ＝2＋ 1 x－1，故函数的图象可由 y＝1 x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到，如图 ④所示． 函数图象的辨识 函数图象的辨识可从以下方面入手 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象． 1.抓住函数的性质，定性分析： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域， 判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶 性，判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 【典例 3】函数 y＝1＋x＋sin x x2 的部分图象大致为( ) (2)函数 y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( ) 解析 (1)法一 易知 g(x)＝x＋sin x x2 为奇函数，故 y＝1＋x＋sin x x2 的图象关于点(0，1)对称，排 除 C；当 x∈(0，1)时，y>0，排除 A；当 x＝π 时，y＝1＋π，排除 B，选项 D 满足. 法二 当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排 除 B，而 D 满足. (2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数， 又 f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项 A，B； 当 x≥0 时，f(x)＝2 x2－ex，f′(x)＝4x－ex， 所以 f′(0)＝－1<0，f′(2)＝8－e2>0， 所以函数 f(x)在(0，2)上有解， 故函数 f(x)在[0，2]上不单调，排除 C，故选 D. 答案 (1)D (2)D 【例 4】函数 f (x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为( ) 答案 B 解析 ∵f (x)定义域为{x|x≠0}，且 f (－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f (x)， ∴f (x)为偶函数，关于 y 轴对称，排除 D； 当 x∈(0,1)时，2x＋2－x>0，ln|x|<0，可知 f (x)<0，排除 A，C. (2)设函数 f (x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( ) A．y＝f (|x|) B．y＝－|f (x)| C．y＝－f (－|x|) D．y＝f (－|x|) 答案 C 解析 题图中是函数 y＝－2－|x|的图象， 即函数 y＝－f (－|x|)的图象，故选 C. 函数图象的应用 1.识图 对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系. 2.用图 借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的 图象，还可以判断方程 f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等. 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质 (单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象 特征的对应关系. 利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x) 与 g(x)图象交点的横坐标；不等式 f(x)m，其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________. 解析 在同一坐标系中，作 y＝f(x)与 y＝b 的图象. 当 x>m 时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2， ∴要使方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则有 4m－m20.又 m>0，解得 m>3. 答案 (3，＋∞)[