2017-2018学年浙江省温州市“十五校联合体”高二上学期期中数学试题（解析版）

2017-2018学年浙江省温州市“十五校联合体”高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2017-2018学年浙江省温州市“十五校联合体”高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（　　）‎ A．一个棱锥 B．一个圆锥 C．两个圆锥的组合体 D．无法确定 ‎2．（5分）直线的倾斜角是（　　）‎ A．120° B．150° C．30° D．60°‎ ‎3．（5分）已知平面α∩平面β=c，直线a⊂α，a∥c，直线b⊂β，且b与c相交，则a和b的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．上述三种都有可能 ‎4．（5分）下列结论中错误的是（　　）‎ A．若a⊥α，b⊂α，且a⊥b B．若a∥b，a⊥α，且b⊥α C．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α ‎5．（5分）若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（　　）‎ A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β C．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n ‎7．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．‎ ‎8．（5分）m，n是两条不垂直的异面直线，平面α，β分别过m，n则下列各关系不可能出现的是（　　）‎ A．m∥β B．α∥β C．m⊥β D．α⊥β ‎9．（5分）点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（　　）‎ A．[0，5] B．[0，10] C．[5，10] D．[5，15]‎ ‎10．（5分）如图，在长方体ABCD一A′B′C′D′中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC′=2，直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，则△PQC′的面积的最小值是（　　）‎ A． B．8 C． D．10‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．（5分）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为，则该圆台的母线长为　 　．‎ ‎12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是　 　，表面积是　 　．‎ ‎13．（5分）已知两直线l1：mx+y=5﹣m，l2：2x+my=8，若l1∥l2，则m=　 　；若l1⊥l2，则m=　 　．‎ ‎14．（5分）点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点的坐标为　 　；直线l1：y=2x+3关于直线l：x﹣y=0对称的直线l2的方程为　 　．‎ ‎15．（5分）半径为的球内接正方体的表面积为　 　；体积为　 　．‎ ‎16．（5分）已知直线x﹣2y+1+λ（1﹣x）=0与两坐标轴围城一个三角形，该三角形的面积记为S（λ），当λ∈（1，+∞）时，S（λ）的最小值是　 　．‎ ‎17．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AP=BQ=x（0＜x＜1），截面PQEF∥A'D，截面PQGH∥AD'，则截面PQEF和截面PQGH面积之和　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．（15分）△ABC的三个顶点分别为A（2，0），B（4，4），C（0，3），求：‎ ‎（1）AC边所在直线的方程；‎ ‎（2）AC边的垂直平分线DE所在直线的方程．‎ ‎19．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1‎ ‎=1，E，F分别是AB，BC的中点，‎ ‎（Ⅰ）求A1E与B1F所成的角；‎ ‎（Ⅱ）求A1E与面BCC1B1所成的角．‎ ‎20．（15分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，‎ ‎（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．‎ ‎21．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，点M在线段PC上（不含端点），且BM⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求证：AP⊥平面BCP．‎ ‎22．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，‎ ‎（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；‎ ‎（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年浙江省温州市“十五校联合体”高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（　　）‎ A．一个棱锥 B．一个圆锥 C．两个圆锥的组合体 D．无法确定 ‎【分析】一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是以斜边上的高为半径的两个圆锥的组合体．‎ ‎【解答】解：一个直角三角形绕其最长边旋转一周，‎ 最长边是斜边，‎ ‎∴一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是以斜边上的高为半径的两个圆锥的组合体．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查空间几何体的形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意旋转体的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）直线的倾斜角是（　　）‎ A．120° B．150° C．30° D．60°‎ ‎【分析】根据直线和斜率和倾斜角的关系即可求出．‎ ‎【解答】解：直线的倾斜角为θ，‎ 则tanθ=，‎ ‎∴θ=60°，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了直线和斜率和倾斜角的关系，属于基础题 ‎　‎ ‎3．（5分）已知平面α∩平面β=c，直线a⊂α，a∥c，直线b⊂β，且b与c相交，则a和b的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．上述三种都有可能 ‎【分析】由条件可排除两直线平行和相交的情况，故只能是异面．‎ ‎【解答】解：如图，若a∥b，结合a∥c可得b∥c，这与b与c相交矛盾；‎ 若a∩b=P，则a与β有公共点P，与a∥α矛盾；‎ 又因为空间中两直线的位置共平行、相交、异面三种，‎ 故a与b的位置关系只能是异面，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查空间中两直线的位置关系，涉及反证法的思路，属中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）下列结论中错误的是（　　）‎ A．若a⊥α，b⊂α，且a⊥b B．若a∥b，a⊥α，且b⊥α C．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α ‎【分析】结合空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：对于A，若a⊥α，b⊂α，根据线面垂直的性质可得a⊥b，故正确；‎ 对于B，若a∥b，a⊥α，根据线线平行、线面垂直的性质可得b⊥α，故正确；‎ 对于C，若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，故错；‎ 对于D，若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间线面关系判断，难度中档．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎【分析】利用中点坐标公式可得P，Q，再利用斜率的计算公式即可得出，‎ ‎【解答】解：设P（x，1），Q（7，y）．‎ ‎∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），‎ ‎∴，解得x=﹣5，y=﹣3．‎ ‎∴P（﹣5，1），‎ ‎∴直线l的斜率==﹣．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了中点坐标公式、斜率的计算公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（　　）‎ A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β C．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n ‎【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．‎ ‎【解答】解：对于A，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定⇒m∥n，故正确；‎ 对于B，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为n不一定在平面α内，不能得到n⊥β，故错；‎ 对于C，若α⊥β，m⊥α，n∥β，m、n不一定垂直，故错；‎ 对于D，若m∥α，n⊂α，m、n位置关系时可能平行、可能异面，故错；‎ 故选：A ‎【点评】本题考查空间线面位置关系，涉及反例法和平面与平面垂直的判定，属中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．‎ ‎【分析】在6x+my+14=0上取点，利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：在6x+my+14=0上取点，‎ 则它们之间的距离==2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了点到直线的距离公式、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）m，n是两条不垂直的异面直线，平面α，β分别过m，n则下列各关系不可能出现的是（　　）‎ A．m∥β B．α∥β C．m⊥β D．α⊥β ‎【分析】结合点线面位置关系的判定定理和性质定理，和必要的空间模型，可得答案 ‎【解答】解：若m⊥β，则m垂直于面β内的任意一条直线，则m⊥n，与已知条件矛盾 故选C ‎【点评】本题考察直线、平面的位置关系，要求熟练掌握平行和垂直的 判定定理与性质定理，有较好的空间想象力 ‎　‎ ‎9．（5分）点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（　　）‎ A．[0，5] B．[0，10] C．[5，10] D．[5，15]‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值即可．‎ ‎【解答】解析：因x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，‎ 则点P（x，y）在 所确定的区域内，且原点也在这个区域内．‎ 又点P（x，y）在直线4x+3y=0上，‎ ‎，解得A（﹣6，8）．‎ ‎，解得B（3，﹣4）．‎ P到坐标原点的距离的最小值为0，‎ 又|AO|=10，|BO|=5，‎ 故最大值为10．‎ ‎∴其取值范围是[0，10]．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）如图，在长方体ABCD一A′B′C′D′中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC′=2，直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，则△PQC′的面积的最小值是（　　）‎ A． B．8 C． D．10‎ ‎【分析】以C为原点建立空间直角坐标系，设P（0，a，0），Q（b，0，0），求出平面PQC′的法向量，则cos＜＞=，解出a，b的关系式，得出△PQC的最小值，又C到平面PQC′的距离为，利用等体积法求出△PQC′的面积最小值．‎ ‎【解答】解：以C为原点，以CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 则C（0，0，0），C′（0，0，2）．设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．‎ ‎∴=（﹣b，0，2），=（0，﹣a，2），=（0，0，2），‎ 设平面PQC′的一个法向量为=（x，y，z），则，‎ ‎∴，令z=1，得=（，，1）．‎ ‎∴=2，||=2，||=，‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∴，∴a2+b2=≥2ab，解得ab≥8．‎ ‎∴当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′﹣PQC的体积最小，‎ ‎∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2×‎ ‎=．‎ ‎∵VC′﹣PQC=VC﹣PQC′，‎ ‎∴=，∴S△PQC′=8．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题你考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．（5分）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为，则该圆台的母线长为　　．‎ ‎【分析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为cm，能求出该圆台的母线长．‎ ‎【解答】解：如图是圆台的轴截面，‎ 圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为cm，‎ 则该圆台的母线长为：=cm．‎ 故答案为：cm．‎ ‎【点评】本题考查圆台的母线长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是　　，表面积是　+1+　．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积和体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，‎ 其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，‎ 边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．‎ 于是此几何体的体积V=S△ABC•PO=×2×1×=，‎ 几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+．‎ 故答案为：，+1+．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知两直线l1：mx+y=5﹣m，l2：2x+my=8，若l1∥l2，则m=　或　；若l1⊥l2，则m=　0　．‎ ‎【分析】利用直线与直线垂直平行的条件直接求解．‎ ‎【解答】解：∵两直线l1：mx+y=5﹣m，l2：2x+my=8，l1∥l2，‎ 则m2=2，‎ 解得m=±，‎ 当l1⊥l2，则2m+m=0，‎ 解得m=0，‎ 故答案为：或﹣，0．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点的坐标为　（0，﹣1）　；直线l1：y=2x+3关于直线l：x﹣y=0对称的直线l2的方程为　x﹣2y﹣3=0　．‎ ‎【分析】设点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点为（a，b），由中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得a，b；‎ 求得y=x和y=2x+3的交点，再取直线y=2x+3上一点（0，3），设关于直线l：x﹣y=0对称点为（m，n），由中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得m，n，再由点斜式方程即可得到所求直线方程．‎ ‎【解答】解：设点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点为（a，b），‎ 可得，解得a=0，b=﹣1，‎ 即对称点为（0，﹣1）；‎ 直线l1：y=2x+3关于直线l：x﹣y=0对称的直线l2的方 由可得交点为（﹣3，﹣3），‎ 再取直线y=2x+3上一点（0，3），设关于直线l：x﹣y=0对称点为（m，n），‎ 可得，解得m=3，n=0，‎ 可得对称点为（3，0），‎ 则所求直线的方程为y=（x﹣3），即为x﹣2y﹣3=0．‎ 故答案为：（0，﹣1），x﹣2y﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法和对称点的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）半径为的球内接正方体的表面积为　96　；体积为　64　．‎ ‎【分析】设半径为的球内接正方体的棱长为a，则=，解得a=4，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：设半径为的球内接正方体的棱长为a，‎ 则=，解得a=4，‎ ‎∴半径为的球内接正方体的表面积为：S=6a2=6×42=96，‎ 体积为V=a3=43=64．‎ 故答案为：96，64．‎ ‎【点评】本题考查正方体的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知直线x﹣2y+1+λ（1﹣x）=0与两坐标轴围城一个三角形，该三角形的面积记为S（λ），当λ∈（1，+∞）时，S（λ）的最小值是　2　．‎ ‎【分析】‎ 分别可得与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式，变形利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由直线x﹣2y+1+λ（1﹣x）=0，分别可得与坐标轴的交点（，0），（0，），λ∈（1，+∞），‎ S（λ）=××=[（λ﹣1）++4]≥（4+2）=（4+4）=2，当且仅当λ=3时取等号．‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查了直线的交点、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AP=BQ=x（0＜x＜1），截面PQEF∥A'D，截面PQGH∥AD'，则截面PQEF和截面PQGH面积之和　　．‎ ‎【分析】推导出PF∥A′D，PH∥AD′，A′D=AD′=，A′P=1﹣x，由此求出，再由截面PQEF和截面PQGH面积之和S=S矩形PQEF+S矩形PQGH，从而能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，‎ AP=BQ=x（0＜x＜1），截面PQEF∥A'D，截面PQGH∥AD'，‎ ‎∴PF∥A′D，PH∥AD′，‎ ‎∴，‎ ‎∵A′D=AD′=，A′P=1﹣x，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴截面PQEF和截面PQGH面积之和：‎ S=S矩形PQEF+S矩形PQGH ‎=（PQ×PF+PQ×PH）‎ ‎=PQ（PF+PH）‎ ‎=1×（）‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查两个矩形的面积之和的求法，考查正方体的结构特征、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．（15分）△ABC的三个顶点分别为A（2，0），B（4，4），C（0，3），求：‎ ‎（1）AC边所在直线的方程；‎ ‎（2）AC边的垂直平分线DE所在直线的方程．‎ ‎【分析】（1）求得直线AC的斜率，由点斜式方程即可得到所求直线方程；‎ ‎（2）运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得DE的斜率，求得AC的中点坐标，运用点斜式方程即可得到所求垂直平分线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）A（2，0），C（0，3），‎ 可得AC的斜率为kAC==﹣，‎ 由点斜式易得直线方程为y=﹣（x﹣2），‎ 化为3x+2y﹣6=0；‎ ‎（2）AC的斜率为kAC==﹣，‎ 可得直线DE的斜率为，‎ 线段AC的中点坐标为，‎ 故由点斜式可得直线DE的方程为y﹣=（x﹣1），‎ 即为4x﹣6y+5=0．‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法，注意运用直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E，F分别是AB，BC的中点，‎ ‎（Ⅰ）求A1E与B1F所成的角；‎ ‎（Ⅱ）求A1E与面BCC1B1所成的角．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 取AD的中点H，连接A1H，HE，则B1F∥A1H，从而A1E与B1F所成的角等于A1E与A1H所成的角，由此能求出A1E与B1F所成的角．‎ ‎（Ⅱ）直线A1E与平面BCC1B1所成的角即为直线A1E与平面ADD1A1所成的角，从而∠EA1A即为A1E与面BCC1B1所成的角，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 取AD的中点H，连接A1H，HE，‎ ‎∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E，F分别是AB，BC的中点，‎ ‎∴B1F∥A1H，‎ ‎∴A1E与B1F所成的角等于A1E与A1H所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴A1E与B1F所成的角为600．‎ ‎（Ⅱ）∵平面BCC1B1∥平面ADD1A1，‎ ‎∴直线A1E与平面BCC1B1所成的角即为直线A1E与平面ADD1A1所成的角，‎ ‎∴∠EA1A即为A1E与面BCC1B1所成的角，‎ ‎∵AA1=AE=1，AA1⊥AE，∴，‎ ‎∴直线A1E与平面BCC1B1所成的角为450．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，‎ ‎（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先证AC⊥BC1，可通过证出AC⊥平面BCC1实现．由已知，易证AC⊥BC，AC⊥C1C，可得AC⊥平面BCC1成立，进而可证A1C1⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）令BC1交CB1于点E，连接ED，可知E、D是△AC1B的中位线，得出DE∥AC1，利用线面平行的判定定理证出AC1∥平面CDB1；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 易知A1C1⊥BC，A1C1⊥CC1，且BC1∩CC1=C1，‎ 可得A1C1⊥面BCC1B1，‎ 故AC⊥BC1；‎ 又A1C1∥AC，‎ ‎∴A1C1⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）设CB1与C1B交于E，连接DE，‎ 由于E、D分别是BC1和AB的中点，‎ 可得DE∥AC1，‎ 而AC1⊄平面CDB1，‎ 故AC1∥平面CDB1．‎ ‎【点评】本题考查空间直线和直线、平面位置关系的判断，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，点M在线段PC上（不含端点），且BM⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求证：AP⊥平面BCP．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AB的中点O连接OP，由等腰三角形的性质可得OP⊥AB，进而可得OP⊥AD，结合BC⊥AD，即可得证AD⊥面PAB．‎ ‎（Ⅱ）利用线面垂直的性质可得AP⊥BM，可证BC⊥侧面PAB，可证AP⊥BC，从而利用线面垂直的判定可证AP⊥平面BCP．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O连接OP，‎ ‎∵PA=PB，‎ ‎∴OP⊥AB，‎ 又侧面PAB⊥平面ABCD，‎ ‎∴OP⊥平面ABCD，‎ ‎∴OP⊥AD，‎ 又∴BC⊥AD，AB∩OP=0，‎ ‎∴AD⊥面PAB．‎ ‎（Ⅱ）∵BM⊥平面PAC，‎ ‎∴AP⊥BM，‎ ‎∵侧面PAB⊥底面ABCD，‎ 又BC⊥AB，‎ ‎∴BC⊥侧面PAB，‎ ‎∴AP⊥BC，‎ 而BC与BM是平面BCP内两相交直线，‎ ‎∴AP⊥平面BCP．‎ ‎【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，‎ ‎（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；‎ ‎（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，从而EC∥FD，由此能证明EC∥平面ADE．‎ ‎（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则∠PBH是PB与平面ABCD所成角，由此能求出BP与平面ABCD所成的角的正切值．‎ ‎（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF，FD，‎ ‎∵E是BP的中点，∴EF∥AB，且，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD，‎ 又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，‎ ‎∴EC∥平面ADE．‎ 解：（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，∵PA=PD，∴PH⊥AD ‎∵平面PAD⊥平面ABCD于AD，∴PH⊥面ABCD，‎ ‎∴HB是PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角，‎ ‎∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是直角梯形，‎ 设AB=2a，则，‎ 在△ABD中，∠DBA=45°，∴，．‎ 又∵BD2+AD2=4a2=AB2‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，‎ ‎∴，‎ ‎∴在Rt△PHB中，，‎ ‎∴BP与平面ABCD所成的角的正切值为．‎ ‎（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，‎ 则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，‎ ‎∴∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，‎ 由，又，‎ 在Rt△PHG中，，‎ ‎∴二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎