【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-1函数及其表示教案

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第章　函数、导数及其应用 第一节　函数及其表示 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．‎ ‎(对应学生用书第7页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A，B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B ‎2. 函数的有关概念 ‎ (1)函数的定义域、值域 ‎ 在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．‎ ‎ (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．‎ ‎ (3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．‎ ‎ (4)函数的表示法 ‎ 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．‎ ‎3．分段函数 ‎ (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．‎ ‎ (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．‎ ‎[知识拓展]‎ ‎　 求函数定义域的依据 ‎ (1)整式函数的定义域为R；‎ ‎ (2)分式的分母不为零；‎ ‎ (3)偶次根式的被开方数不小于零；‎ ‎ (4)对数函数的真数必须大于零；‎ ‎ (5)正切函数y＝tan x的定义域为；‎ ‎ (6)x0中x≠0；‎ ‎ (7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)函数是特殊的映射．(　　)‎ ‎ (2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)‎ ‎ (3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(　　)‎ ‎ (4)分段函数是两个或多个函数．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)函数y＝＋的定义域为(　　)‎ ‎ A．　　　　　　 B．(－∞，3)∪(3，＋∞)‎ ‎ C．∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)‎ ‎ C　[由题意知解得x≥且x≠3.]‎ ‎3．(2018·西安模拟)已知函数f(x)＝则f[f(4)]＝________. ‎ ‎【导学号：79170012】‎ ‎ 　[f(4)＝log4＝－2，所以f[f(4)]＝f(－2)＝2－2＝.]‎ ‎4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.‎ ‎ －2　[∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，‎ ‎ ∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.]‎ ‎5．给出下列四个命题：‎ ‎ ①函数是其定义域到值域的映射；‎ ‎ ②f(x)＝＋是一个函数；‎ ‎ ③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；‎ ‎ ④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一个函数．‎ ‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎ ①　[由函数的定义知①正确．‎ ‎ ∵满足的x不存在，∴②不正确．‎ ‎ ∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，‎ ‎ ∴③不正确．‎ ‎ ∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．]‎ ‎(对应学生用书第8页)‎ 求函数的定义域 ‎　(1)(1)(2018·深圳模拟)函数y＝的定义域为(　　)‎ ‎ A．(－2,1)　　　　　　 B．[－2,1]‎ ‎ C．(0,1) D．(0,1]‎ ‎ (2)(2017·郑州模拟)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．‎ ‎ (1)C　(2)[0,1)　[(1)由题意得，解得0＜x＜1，故选C．‎ ‎ (2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，‎ ‎ 所以0≤x<1，即g(x)的定义域为[0,1)．]‎ ‎ [规律方法]　　1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．‎ ‎ 2．(1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；‎ ‎ (2)若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．‎ ‎[变式训练1]　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)‎ ‎ A．(－3,0]　　　　　　　　　 B．(－3,1]‎ ‎ C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]‎ ‎ (2)已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________．‎ ‎ (1)A　(2)　[(1)由题意，自变量x应满足解得∴－3＜x≤0.‎ ‎ (2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，‎ ‎ ∴≤2x≤2，即f(x)的定义域为.]‎ 求函数的解析式 ‎　(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．‎ ‎ (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式．‎ ‎ (3)已知f(x)＋‎2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．‎ ‎ [解]　(1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，‎ ‎ ∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x＞1)．‎ ‎ (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，‎ ‎ ∴即∴f(x)＝x2－x＋2.‎ ‎ (3)∵f(x)＋‎2f＝x，∴f＋‎2f(x)＝.‎ ‎ 联立方程组 ‎ 解得f(x)＝－(x≠0)．‎ ‎ [规律方法]　　求函数解析式的常用方法 ‎ (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；‎ ‎ (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；‎ ‎ (3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)；‎ ‎ (4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表达式．‎ ‎[变式训练2]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________. 【导学号：79170013】‎ ‎ (2)已知f(x)是一次函数，且‎2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，则f(x)＝________.‎ ‎ (3)已知函数f(x)满足f(－x)＋‎2f(x)＝2x，则f(x)＝________.‎ ‎ (1)x2－1(x≥1)　(2)2x＋　(3)　[(1)(换元法)设＋1＝t(t≥1)，则＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．‎ ‎ (配凑法)f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，‎ ‎ 又＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．‎ ‎ (2)∵f(x)是一次函数，‎ ‎ ∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，‎ ‎ 由‎2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，得 ‎ 2[k(x－1)＋b]＋k(x＋1)＋b＝6x，即3kx－k＋3b＝6x，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴k＝2，b＝，即f(x)＝2x＋.‎ ‎ (3)由f(－x)＋‎2f(x)＝2x①，‎ ‎ 得f(x)＋‎2f(－x)＝2－x②，‎ ‎ ①×2－②，得‎3f(x)＝2x＋1－2－x.‎ ‎ 即f(x)＝.‎ ‎ ∴f(x)的解析式为f(x)＝.]‎ 分段函数及其应用 角度1　求分段函数的函数值 ‎　(1)(2017·湖南衡阳八中一模)若f(x)＝则f＝(　　)‎ ‎ A．－2　　　　 B．－3 ‎ ‎ C．9　　　　 D．－9‎ ‎ (2)(2017·东北三省四市一联)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果f(x＋2 016)＝那么f(2 016＋)·f(－7 984)＝(　　)‎ ‎ A．2 016　　　　 B． ‎ ‎ C．4　　　　 D． ‎ (1)C　(2)C　[(1)∵f(x)＝∴f＝log3＝－2，∴f＝f(－2)＝－2＝9.故选C．‎ ‎ (2)当x≥0时，有f(x＋2 016)＝sin x，∴f＝sin＝1；当x＜0时，f(x＋2 016)＝lg(－x)，∴f(－7 984)＝f(－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f·f(－7 984)＝1×4＝4，故选C．]‎ 角度2　已知分段函数的函数值求参数 ‎　(1)(2017·成都二诊)已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝2，则实数m的值为(　　)‎ ‎ A．1 B．1或－1‎ ‎ C． D．或－ ‎ (2)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　　)‎ ‎ A．1　　　　　 B． ‎ ‎ C．　　　　　 D． ‎ (1)D　(2)D　[(1)f(f(－1))＝f(1＋m2)＝log2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±，故选D．‎ ‎ (2)f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.]‎ 角度3　解与分段函数有关的方程或不等式 ‎　(1)(2017·石家庄一模)已知函数f(x)＝且f(x)＝－，则x的值为________. 【导学号：79170014】‎ ‎ (2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．‎ ‎ (1)－　(2)(－∞，8]　[(1)当－1＜x≤0时，f(x)＝sin＝－，解得x＝－；‎ ‎ 当0＜x＜1时，f(x)＝log2(x＋1)∈(0,1)，此时f(x)＝－无解，故x的值为－.‎ ‎ (2)当x<1时，x－1<0，ex－1

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