2018届二轮复习（文）　函数图象与性质学案（全国通用）

2018届二轮复习（文）　函数图象与性质学案（全国通用）

第1讲　函数图象与性质 高考定位　1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)‎ 解析　法一　易知g(x)＝x＋为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.‎ 法二　当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.‎ 答案　D ‎2.(2017·山东卷)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)‎ A.2 B.4 ‎ C.6 D.8‎ 解析　由已知得a>0，∴a＋1>1，‎ ‎∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2(a＋1－1)，‎ 解得a＝，∴f＝f(4)＝2(4－1)＝6.‎ 答案　C ‎3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)‎ A.f(x)在(0，2)上单调递增 B.f(x)在(0，2)上单调递减 C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 解析　由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝‎ ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.‎ 答案　C ‎4.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝（　　）‎ A.0 B.m ‎ C.2m D.4m 解析　∵f（x）＝f（2－x），‎ ‎∴函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.‎ 又y＝|x2－2x－3|＝|（x－1）2－4|的图象关于直线x＝1对称，‎ ‎∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称.‎ 当m为偶数时，i＝2×＝m；‎ 当m为奇数时，i＝2×＋1＝m.‎ 答案　B 考 点 整 合 ‎1.函数的性质 ‎(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.‎ ‎(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x).‎ ‎②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0.‎ ‎③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.‎ ‎(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数.‎ ‎②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.‎ ‎③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.‎ ‎④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.‎ 易错提醒　错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.‎ ‎2.函数的图象 ‎(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.‎ ‎(3)函数图象的对称性 ‎①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.‎ 热点一　函数及其表示 ‎【例1】 (1)(2017·邯郸调研)函数y＝的定义域为(　　)‎ A.(－∞，1] B.[－1，1]‎ C.∪ D.∪ ‎(2)(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)‎ A.3 B.6 ‎ C.9 D.12‎ 解析　(1)函数有意义，则 即 所以函数的定义域为.‎ ‎(2)因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.‎ 答案　(1)C　(2)C 探究提高　1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.‎ ‎(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.‎ ‎2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·山东卷)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　)‎ A.(1，2) B.(1，2] ‎ C.(－2，1) D.[－2，1)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝(　　)‎ A. B. ‎ C.1 D.2‎ 解析　(1)由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，‎ 由1－x＞0得x＜1，∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1).‎ ‎(2)∵f(－1)＝2－(－1)＝2，[来源:学。科。网]‎ ‎∴f[f(－1)]＝f(2)＝4a＝1，解得a＝.‎ 答案　(1)D　(2)A 热点二　函数的图象及应用 命题角度1　函数图象的识别 ‎【例2－1】 (2017·汉中模拟)函数f(x)＝·sin x的图象大致形状为(　　)‎ 解析　∵f(x)＝·sin x，‎ ‎∴f(－x)＝·sin(－x)＝－sin x＝·sin x＝f(x).‎ ‎∴函数f(x)为偶函数，故排除C，D，‎ 当x＝2时，f(2)＝·sin 2<0，故排除B，只有A符合.‎ 答案　A 命题角度2　函数图象的应用 ‎【例2－2】 (1)(2017·历城冲刺)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)‎ A.有最小值－1，最大值1‎ B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值 ‎(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，‎ ‎∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.‎ 法二　(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，‎ 从而可得c>a>b.‎ 答案　(1)6　(2)C 探究提高　1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.‎ ‎2.‎ 函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.‎ ‎【训练3】 (1)(2017·淄博诊断)已知奇函数f(x)＝则f(－2)的值等于________.‎ ‎(2)(2017·石家庄调研)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0.若 f(x－1)>0，则x的取值范围是________.‎ 解析　(1)因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，则30－a＝0，∴a＝1.‎ ‎∴当x≥0时，f(x)＝3x－1，则f(2)＝32－1＝8，‎ 因此f(－2)＝－f(2)＝－8.‎ ‎(2)因为f(2)＝0，f(x－1)>0，‎ 所以f(x－1)>f(2).‎ 又因为f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，‎ 所以f(|x－1|)>f(2)，即|x－1|<2，解得－10，忽视ln x≠0的限制.‎ ‎2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x).‎ ‎3.三种作函数图象的基本思想方法 ‎(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；‎ ‎(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线；‎ ‎(3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.‎ ‎4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.‎ 一、选择题 ‎1.(2017·唐山一模)若函数f(x)＝则f(f(2))＝(　　)‎ A.1 B.4‎ C.0 D.5－e2‎ 解析　由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，‎ 所以f(f(2))＝1.‎ 答案　A ‎2.(2017·衡阳二模)已知函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，且g(x)≠0，设p：函数f(x)＝g(x)是偶函数；q：函数g(x)是奇函数，则p是q的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　令h(x)＝－(x≠0)易得h(x)＋h(－x)＝0，h(x)为奇函数，g(x)是奇函数，f(x)为偶函数；反过来也成立.因此p是q的充要条件.‎ 答案　C ‎3.(2017·全国Ⅰ卷)函数y＝的部分图象大致为(　　)‎ 解析　令f(x)＝，定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在定义域内为奇函数，图象关于原点对称，B不正确.‎ 又f＝0，f(π)＝0，f＝<0.∴选项A，D不正确，只有选项C满足.‎ 答案　C ‎4.已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a 解析　由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，‎ 所以f(x)＝2|x|－1.‎ 所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，‎ b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，‎ c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以cf(－)，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D.∪ 解析　∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，‎ ‎∴在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，‎ ‎∴f(2|a－1|)>f()，∴2|a－1|<＝2，‎ ‎∴|a－1|<，即－－1.‎ 答案　{x|x>－1}‎ ‎7.(2017·郴州二模)已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且 f(log4)＝－3，则a的值为________.‎ 解析　∵奇函数f(x)满足f＝－3，而log4＝－2<0，∴f(－2)＝－3，即f(2)＝3，‎ 又∵当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，又2>0，‎ ‎∴f(2)＝a2＝3，解之得a＝.‎ 答案　 ‎8.(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________.‎ 解析　由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|).‎ 当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围.‎ 解　当m＝0时，f(x)＝－2x＋1，它显然有一个正实数的零点.‎ 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x＋1的图象是抛物线，且与y轴的交点为(0，1)，‎ 由f(x)有且仅有一个正实数的零点，得或x＝<0，解得m＝1或m<0.‎ 综上所述，m的取值范围是(－∞，0]∪{1}.‎ ‎10.(2017·深圳中学调研)已知函数f(x)＝a－.‎ ‎(1)求f(0)；‎ ‎(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；‎ ‎(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)0，2 x2＋1>0.‎ ‎∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

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