2017-2018学年河北省武邑中学高二上学期第一次月考数学文试题

2017-2018学年河北省武邑中学高二上学期第一次月考数学文试题

河北武邑中学 2017—2018 学年高二上学期第一次月考 数学试题（文） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题 ：如果 ，那么 ，命题 ：如果 ，那么 ，则命题 是 命题 的（ ） A．否命题 B．逆命题 C．逆否命题 D．否定形式 2．若 是假命题，则（ ） A． 是真命题， 是假命题 B． ， 均为假命题 C． ， 至少有一个是假命题 D． ， 至少有一个是真命题 3．下列叙述错误的是（ ） A．若事件 发生的概率为 ，则 B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C．5 张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同 D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 4．设命题 ： ， ， 为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 5．一个袋子装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个球，从中有放回地 每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号和小于 15 的概率为（ ） A． B． C． D． 6．矩形 中， ， ， 为 的中点，在矩形 内随机取一点， 则取到的点到 的距离大于 1 的概率为（ ） A． B． C． D． α 3x < 5x < β 3x ≥ 5x ≥ α β p q∧ p q p q p q p q A ( )P A ( )0 1P A≤ ≤ p 0x∀ > 22 logx x> p¬ 0x∀ > 22 logx x< 0 0x∃ > 0 2 02 logx x≤ 0 0x∃ > 0 2 02 logx x< 0 0x∃ > 0 2 02 logx x≥ 29 32 63 64 31 32 61 64 ABCD 2AB = 1BC = O AB ABCD O 8 π 1 8 − π 4 π 1 4 − π 7．在 上随机取一个数 ，则 的概率为（ ） A． B． C． D． 8．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充 分也不必要条件 9．一个球形容器的半径为 ，里面装满纯净水，因不小心混入了 1 个感冒病毒，从中任 取 水含有感冒病毒的概率为（ ） A． B． C． D． 10．下列四个命题： ①命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”； ② 是 的必要而不充分条件； ③若命题“ ”与命题“ 或 ”都是真命题，则命题 一定是真命题； ④命题“若 ，则 ”是真命题. 其中正确命题的序号是（把所有正确的命题序号都填上）（ ） A．②③ B．② C．①②③ D．④ 11．点 是区域 内的任意一点，则使函数 在区间 上是增函数的概率为（ ） A． B． C． D． 12．设命题 ：函数 的定义域为 ；命题 ：不等式 对一切正实数均成立.如果命题“ 或 ”为真命题，且“ 且 ”为假命题，则实数 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． [ ]2,3− x ( )( )+1 3 0x x − ≤ 2 5 1 4 3 5 4 5 x∈R 1x < − 22 1 0x x+ − > 3cm 1mL 1 3 1 3π 1 36π 4 9π 0a = 0ab = 0a = 0ab ≠ 2 5 6 0x x− − = 1x = − p¬ p q q 0 1a< < ( ) 1log 1 log 1a aa a  + < +   ( ),a b 4 0 0 0 x y x y + − ≤  >  > ( ) 2 2 3f x ax bx= − + 1 ,2  +∞  1 4 1 2 1 3 2 3 p ( ) 2 1lg 4f x ax x a = − +   R q 3 9x x a− < p q p q a ( )1,+∞ [ ]0,1 [ )0,+∞ ( )0,1 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．如图表示某班 21 位同学衣服上口袋的数目.若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为 5 的概率是 ． 14．已知：对 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 15．下列命题中 为真命题（把所有真命题的序号都填上）． ①“ ”成立的必要条件是“ ”；②“若 ，则 ， 全为 0”的 否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 16．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽 的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全 等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用 勾 股 （股 勾） 朱实 黄实 弦实，化简，得 ，设勾股中勾股比 为 ，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数 大约为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．） x +∀ ∈R 1a x x < + a A B A= A B 2 2 0x y+ = x y 2× × + − 2 4= × + = 2 2 2+ =勾 股 弦 1: 3 17．已知命题甲： 或 ，命题乙： 或 ，当甲是真 命题，且乙是假命题时，求实数 的取值范围. 18．随机地排列数字 1，5，6 得到一个三位数，计算下列事件的概率. （1）所得的三位数大于 400； （2）所得的三位数是偶数. 19．是否存在实数 ，使 是 的充分条件？如果存在，求出 的取 值范围；否则，说明理由. 20．某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中 各随机抽取 100 人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率 分布直方图. （1）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意任取 2 人，求至 少有一名男生的概率. 21．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家两家商场的奖励 方案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中两个阴影部分均为扇形，且每 个扇形圆心角均为 ，边界忽略不计）即为中奖． 乙商场：从装有 2 个白球、2 个蓝球和 个红球的盒子中一次性摸出 1 球（这些球除颜色外 完全相同），它是红球的概率是 若从盒子中一次性摸出 2 球，且摸到的是 2 个相同颜色的 球，即为中奖． { 1a a a∈ < − 1 3a >  1 2a a a∈ < − }1a > a p 4 0x p+ < 2 2 0x x− − > p 4 π a 1 3 （1）求实数 的值； （2）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由. 22．已知 设命题 ：函数 为增函数. 命题 ：当 时函数 恒成立. 如果 为真命题， 为假命题，求 的范围. 河北武邑中学 2017—2018 学年高二上学期第一次月考 数学试题（文）答案 一、选择题 1-5:ACDBD 6-10:DDACA 11、12：CB 二、填空题 13． 14． 15．②④ 16．134 三、解答题 17．解：当甲真乙假时，集合 . 18．解：1，5，6 三个数字可以排成 156，165，516，561，615，651，共 6 个不同的三位数. （1）大于 400 的三位数的个数为 4，所以 . （2）三位数为偶数的有 156,516，共 2 个， 所以相应的概率为 . 19．解：由 ，解得 或 ，令 或 ， 由 ，得 ， a 0a > p 1 x y a  =    q 1 ,22x  ∈   ( ) 1 1f x x x a = + > p q∨ p q∧ a 4 21 2a < ( )M A B= =R  1 13a a < ≤   4 2 6 3P = = 2 1 6 3P = = 2 2 0x x− − > 2x > 1x < − { 2A x x= > }1x < − 4 0x p+ < 4 pB x x = < −   当 时，即 ，即 ， 此时 ， ∴当 时， 是 的充分条件. 20．解：（1）由题意得，男生优秀人数为 人， 女生优秀人数为 人. （2）因为样本容量与总体中的个体数的比是 ， 所以样本中包含男生人数为 人，女生人数为 人. 设两名男生为 ， ，三名女生为 ， ， . 则从 5 人中任意选取 2 人构成的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 个. 每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 ：“选取的 2 人至少有一名男生”，则事件 包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， 共 7 个. 所以 ，即选取的 2 人中至少有一名男生的概率为 . 21．解：（1）根据随机事件的概率公式， ，解得 . （2）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件 ， 试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为 （ 为圆盘的半径）， 阴影区域的面积为 . 故由几何概型，得 . 设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件 ，记 2 个白球为白 1，白 2；2 个红球 为红 1、红 2；2 个篮球为蓝 1、蓝 2，则从盒子中一次性摸出 2 球，一切可能的结果有（白 1、白 2），（白 1、红 1）、（白 1、红 2），（白 1、蓝 1），（白 1、蓝 2）；（白 2、红 1），（白 2，红 2），（白 2，蓝 1），（白 2、蓝 2）；（红 1、红 2），（红 1、蓝 1），（红 1、蓝 2），（红 B A⊆ 14 p− ≤ − 4p ≥ 14 px < − ≤ − ⇒ 2 2 0x x− − > 4p ≥ 4 0x p+ < 2 2 0x x− − > ( )100 0.01 0.02 10 30× + × = ( )100 0.015 0.03 10 45× + × = 5 1 30 45 15 =+ 130 215 × = 145 315 × = 1A 2A 1B 2B 3B { }1 2,A A { }1 1,A B { }1 2,A B { }1 3,A B { }2 1,A B { }2 2,A B { }2 3,A B { }1 2,B B { }1 3,B B { }2 3,B B C C { }1 2,A A { }1 1,A B { }1 2,A B { }1 3,A B { }2 1,A B { }2 2,A B { }2 3,A B ( ) 7 10P C = 7 10 1 2 2 3 a a =+ + 2a = A 2rπ r 2 2 2 14 2 4S r r × = = π π ππ ( ) 2 2 1 14 4 r P A r = = π π B 2、蓝 1），（红 2、蓝 2）；（蓝 1、蓝 2）等共 15 种； 其中摸到的是 2 个相同颜色的球有（白 1、白 2），（红 1、红 2），（蓝 1、蓝 2）等共 3 种； 故由古典概型，得 . 因为 ，所以顾客在甲商场中奖的可能性大. 22．解：由 为增函数得， 因为 在 上为减函数，在 上为增函数. ∴ 在 上最小值为 . 当 时，由函数 恒成立得， ，解得 如果 真且 假，则 . 如果 假且 真，则 所以 的取值范围为 . ( ) 3 1 15 5P B = = ( ) ( )P A P B> 1 x y a  =    0 1a< < ( )f x 1 ,12      [ ]1,2 ( )f x 1 ,22x  ∈   ( )1 2f = 1 ,22x  ∈   ( ) 1 1f x x x a = + > 12 a > 1 2a > p q 10 2a< ≤ p q 1a ≥ a [ )10, 1,2   +∞   