【数学】2019届一轮复习通用版第12章推理与证明、算法、复数学案
第十二章推理与证明、算法、复数
第一节 合情推理与演绎推理
本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.
突破点(一) 合情推理
类型
定义
特点
归纳
推理
根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、
由个别到一般
类比
推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
1．判断题
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．填空题
(1)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是an＝________.
解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
答案：n2
(2)由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．
答案：类比
(3)观察下列不等式：
①<1；②＋<；③＋＋<.
则第5个不等式为____________________________________________________．
答案：＋＋＋＋<
归纳推理
运用归纳推理时的一般步骤
(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；
(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；
(3)对所得出的一般性命题进行检验．
类型(一) 与数字有关的推理
[例1] (1)给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i行的第 j 个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝( )
A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)
C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)
(2)(2018·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.
[解析] (1)由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．
(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
[答案] (1)A (2)n2
解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． [易错提醒]
类型(二) 与式子有关的推理
[例2] (1)(2016·山东高考)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.
[解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×n×(n＋1)＝.
(2)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
[答案] (1) (2)nn
[方法技巧]
与式子有关的推理类型及解法
(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．
(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
类型(三) 与图形有关的推理
[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )
A．21 B．34
C．52 D．55
[解析] 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
[答案] D
[方法技巧]
与图形有关的推理的解法
与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．
类比推理
1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：
类比定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解
类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键
类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移
2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：
平面
点
线
圆
三角形
角
面积
周长
…
空间
线
面
球
三棱锥
二面角
体积
表面积
…
[例4] 如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．
[解] 如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F
，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积相等．
下面证明该结论的正确性，
设内切球半径为R，
则VABEFD＝(S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD)×R＝VAEFC＝(S△AEC＋S△ACF＋S△ECF)×R，
即S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD＝S△AEC＋S△ACF＋S△ECF，两边同加S△AEF可得结论．
[方法技巧]
类比推理的步骤和方法
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．
2.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
3.将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第 行有 个奇数)，其中第i行第j个数表示为aij，例如a42＝15，若aij＝2 017，则i－j＝( )
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
…
A．26 B．27
C．28 D．29
解析：选A 前 行共有奇数为1＋2＋3＋…＋ ＝个，所以第 行的最后一个数为2·－1＝ 2＋ －1，第 ＋1行的第一个数为 ( ＋1)＋1，当 ＋1＝45时， ( ＋1)＋1＝44×45＋1＝1 981，即第45行的第一个数为1 981，因为＝18，
所以2 017是第45行的第19个数，
即i＝45，j＝19，所以i－j＝45－19＝26.故选A.
4．[考点一·类型(二)]观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A 各等式可化为＋＝2，＋＝2；＋＝2，＋＝2，可归纳得一般等式：＋＝2，故选A.
5.
蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．
则f(4)＝________，f(n)＝________.
解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.
答案：37 3n2－3n＋1
突破点(二) 演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
1．判断题
(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )
(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )
答案：(1)√ (2)×
2．填空题
(1)下列说法：
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．
其中正确的有________个．
解析：易知①③④正确．
答案：3
(2)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号)．
答案：②
演绎推理
[典例] 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
[证明] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·，(小前提)
故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知数列是等比数列，(大前提)
所以＝4·(n≥2)，
即Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)．
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
[方法技巧]
演绎推理的推证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．
(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
1．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以mb＜ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以＜，即＜.(结论)
2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调递增函数．
证明：设任意x1，x2∈R，取x1
x1f(x2)＋x2f(x1)，
所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
因为x10，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．(小前提)
所以y＝f(x)为R上的单调递增函数．(结论)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：
选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．
答案：1和3
3．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三个去过同一城市．
由此判断乙去过的城市为________．
解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，因此三人去过的同一城市应为A，而甲去过的城市比乙多，但没去过B城市，所以甲去过A，C城市，乙去过的城市应为A.
答案：A
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 合情推理
1．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理
解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.
2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．121 B．123
C．231 D．211
解析：选B 令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是( )
A．n(n＋1) B.
C. D．n(n－1)
解析：选C 由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝.
4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选B 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4 与5m( ∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.
5．(2018·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2 ＋3＝0的距离为( )
A．3 B．5
C. D．3
解析：选B 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x0，y0， 0)到直线Ax＋By＋C ＋D＝0的距离公式为d＝，则所求距离d＝＝5，故选B.
6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．
解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.
答案：33
7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
1 2 3 4 5 …
3 5 7 9 …
8 12 16 …
20 28 …
2 013 2 014 2 015 2 016
4 027 4 029 4 031
8 056 8 060
16 116
……
该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为____________．
解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2 015行的公差为22 014，故第一行的第一个数为2×2－1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，第四行的第一个数为5×22，…，第n行的第一个数为(n＋1)·2n－2，故第2 016行(最后一行)仅有一个数为(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.
答案：2 017×22 014
8.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为____________．
解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.
答案：(1 009,1 008)
对点练(二) 演绎推理
1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
解析：选B 对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，大前提均错误．故选B.
2．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
解析：选A 若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：选C 因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
4．(2018·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.
5．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为____________．
解析：
因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．
答案：甲、丁、乙、丙
[大题综合练——迁移贯通]
1．给出下面的数表序列：
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：＝＋.在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．
解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
证明：如图，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.
∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，
∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF.
∴在Rt△ACD中＝＋，
∴＝＋＋.
3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
第二节 直接证明与间接证明、数学归纳法
本节主要包括2个知识点： 1.直接证明； 2.间接证明；
突破点(一) 直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
思维
过程
由因导果
执果索因
框图
表示
→
→…→
→→…→
书写
格式
“因为…，所以…”
或“由…，得…”
“要证…，只需证…，
即证…”
1．判断题
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )
(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )
(4)证明不等式＋<＋最合适的方法是分析法．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．填空题
(1)－2与－的大小关系是________．
解析：假设－2>－，由分析法可得，要证－2>－，只需证＋>＋2，即证13＋2>13＋4，即>2.因为42>40，所以－2>－成立．
答案：－2>－
(2)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x、y的大小关系是________．
解析：x2＝(a＋b＋2)，y2＝a＋b＝(a＋b＋a＋b)>(a＋b＋2)＝x2，又∵x>0，y>0，∴y>x.
答案：y>x
(3)设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．
解析：∵a>b>0，∴>， >0，
∴n2－m2＝a－b－(a＋b－2)
＝2－2b>2－2b＝0，∴n2>m2，
又∵m>0，n>0，∴n>m.
答案：n>m
综合法
综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；
(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．
[例1] (2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.
(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：>0.
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.
则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当00，
故f(x)在(0,1)上是增函数；
当x>1时，f′(x)<0，
故f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
故f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.
(2)证明：由题可得，f′(x)＝λln x＋－1.
由题设条件，得f′(1)＝1，即λ＝1.
∴f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
由(1)知，ln x－x＋1<0(x>0，且x≠1)．
当00.
当x>1时，x－1>0，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝ln x＋(xln x－x＋1)＝ln x－x>0，
∴>0.综上可知，>0.
[方法技巧] 综合法证题的思路
分析法
[例2] 已知a>0，－>1，求证：>.
[证明] 由已知－>1及a>0，可知0，只需证·>1，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即>1，即－>1.这是已知条件，所以原不等式得证．
[方法技巧]
分析法证题的思路
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
1.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证明法
解析：选B 因为证明过程是“由因导果”，即由条件逐步推向结论，故选B.
2.(2018·广州调研)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是( )
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C.＜ D.＞
解析：选B a2－ab＝a(a－b)，∵a＜b＜0，∴a－b＜0，∴a(a－b)>0，即a2－ab＞0，∴a2＞ab.①
又∵ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2，②
由①②得a2＞ab＞b2.
3.已知a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.
证明：因为a＋b＋c＝1，所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．所以a2＋b2＋c2≥.
4.已知m>0，a，b∈R，求证：2≤.
证明：因为m>0，所以1＋m>0.所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证m(a－b)2≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．
突破点(二) 间接证明
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤
第一步
分清命题“p⇒q”的条件和结论
第二步
作出命题结论q相反的假设綈q
第三步
由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果
第四步
断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真
3．常见的结论和反设词
原结论词
反设词
原结论词
反设词
至少有一个
一个都没有
对任意x
成立
存在某个x
不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x
不成立
存在某个x
成立
至少有n个
至多有(n－1)个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有(n＋1)个
p且q
綈p或綈q
都是
不都是
不都是
都是
1．判断题
(1)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“ab，那么> ”，假设的内容应是________．
答案：≤
(2)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可把下列哪些作为条件使用________(填序号)．
①结论相反的判断即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义；
④原结论．
答案：①②③
(3)写出下列命题的否定．
①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；
否定为____________________________________________________________；
②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q≤2；
否定为________________________________________________________；
③所有的正方形都是矩形；
否定为________________________________________________________________；
④至少有一个实数x，使x2＋1＝0；
否定为_______________________________________________________________．
答案：①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c都是奇数
②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q>2
③至少存在一个正方形不是矩形
④不存在实数x，使x2＋1＝0
证明否定性命题
[例1] 设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
[解] (1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，
∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的 ∈N*，
(a ＋1＋1)2＝(a ＋1)(a ＋2＋1)，
a＋2a ＋1＋1＝a a ＋2＋a ＋a ＋2＋1，
aq2 ＋2a1q ＝a1q －1·a1q ＋1＋a1q －1＋a1q ＋1，
∵a1≠0，∴2q ＝q －1＋q ＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
证明存在性问题
[例2] 若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，
所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．
证明“至多”“至少”“唯一”命题
[例3] 已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
[证明] 假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
上述三个式子相加得：
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
由已知a，b，c是互不相等的非零实数．
因此，上式“＝”不能同时成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0与事实不符，
故ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
1.(2018·上海十二校模拟)用反证法证明命题“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析：选B 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个能被5整除的否定是都不能被5整除，故作的假设是“a，b都不能被5整除”．
2.若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与aa B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：选A ∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.∵1＋a2－a＝2＋>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a，故选A.
3．(2018·山西大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：选C 要证0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证[2a－(a＋b)](a－c)>0，即证(a－b)(a－c)>0，故索的因应是(a－b)(a－c)>0.
4．已知a，b∈R，m＝，n＝b2－b＋，则下列结论正确的是( )
A．m≤n B．m≥n
C．m>n D．mc>b
6．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，
∴cn随n的增大而减小．∴cn＋1cn＋1
对点练(二) 间接证明
1．用反证法证明命题：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为( )
A．a，b，c，d中至少有一个正数
B．a，b，c，d全都为正数
C．a，b，c，d全都为非负数
D．a，b，c，d中至多有一个负数
解析：选C 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定是“a，b，c，d全都为非负数”．
2．用反证法证明“若△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则B<”时，应假设( )
A．B> B．B＝
C．B≥ D．B≤
答案：C
3．用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A 反证法中否定结论需全否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”．
对点练(三) 数学归纳法
1．用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.
2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f( )≥ ＋1成立时，总能推出f( ＋1)≥ ＋2成立，那么下列命题总成立的是( )
A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立
B．若f(3)≥4成立，则当 ≥1时，均有f( )≥ ＋1成立
C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，则当 ≥4时，均有f( )≥ ＋1成立
解析：选D 当f( )≥ ＋1成立时，总能推出f( ＋1)≥ ＋2成立，说明如果当 ＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当 ＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当 ＝4时，f(4)≥5成立，那么当 ≥4时，f( )≥ ＋1也成立．
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝ ＋1时左端应在n＝ 的基础上加上的项为______________．
解析：当n＝ 时左端为
1＋2＋3＋…＋ ＋( ＋1)＋( ＋2)＋…＋ 2，
则当n＝ ＋1时，左端为
1＋2＋3＋…＋ 2＋( 2＋1)＋( 2＋2)＋…＋( ＋1)2，
故增加的项为( 2＋1)＋( 2＋2)＋…＋( ＋1)2.
答案：( 2＋1)＋( 2＋2)＋…＋( ＋1)2
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝.求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p0，求证 －≥a＋－2.
证明：要证 －≥a＋－2，
只需要证 ＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只需要证2≥2，
即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只需要证2 ≥ ，
只需要证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，
故原不等式成立．
3．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：
①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；
②f(1)＝1；
③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；
(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数．
解：(1)证明：取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，
∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.
又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，
∴f(0)≥0，于是f(0)＝0.
(2)对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，
f(1)＝2不满足新定义中的条件②，
∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数．
对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.
任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，
f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)
＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0，
即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．
∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．
对于f(x)＝，x∈[0,1]，显然满足条件①②.
对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，
有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2
＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2)
＝－2≤0，
即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.
∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.
∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数．
综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数．
第三节 算法与程序框图、复数
本节主要包括2个知识点： 1.算法与程序框图； 2.复数.
突破点(一) 算法与程序框图
1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构
名称
定义
程序框图
顺序结构
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构
条件结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
循环结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体
1．判断题
(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( )
(2)算法可以无限操作下去．( )
(3)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件分支结构和循环结构．( )
(4)条件分支结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( )
(5)▱是赋值框，有计算功能．( )
(6)循环结构有两个出口：一个维持循环操作，重复执行循环体；另一个是结束循环操作，离开循环体．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×
2．填空题
(1)如图所示的程序框图的运行结果为________．
解析：因为a＝2，b＝4，所以输出S＝＋＝2.5.
答案：2.5
(2)执行如图的程序框图，则输出的结果为________．
解析：进行第一次循环时，S＝＝20，i＝2，S＝20>1；
进行第二次循环时，S＝＝4，i＝3，S＝4>1；
进行第三次循环时，S＝＝0.8，i＝4，S＝0.8<1，
此时结束循环，输出的i＝4.
答案：4
(3)设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上能填入的整数是________．
解析：填入的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13，故能填入的整数为14或15.
答案：14或15
顺序结构和条件结构
条件结构的程序框图只有顺序结构和条件结构，虽然结构比较简单，但由于选择支路较多，容易出现错误．解决此类问题，可按下列步骤进行：
第一步：弄清变量的初始值；
第二步：按照程序框图从上到下或从左到右的顺序，依次对每一个语句、每一个判断框进行读取，在读取判断框时，应注意判断后的结论分别对应着什么样的结果，然后按照对应的结果继续往下读取程序框图；
第三步：输出结果．
[例1] (1)(2018·石家庄、唐山部分学校模拟)阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x的取值范围是( )
A．{x∈R|0≤x≤log23}
B．{x∈R|－2≤x≤2}
C．{x∈R|0≤x≤log23或x＝2}
D．{x∈R|－2≤x≤log23或x＝2}
(2)(2018·福州五校联考)定义[x]为不超过x的最大整数，例如[1.3]＝1.执行如图所示的程序框图，当输入的x为4.7时， 输出的y值为( )
A．7 B．8.6
C．10.2 D．11.8
[解析] (1)根据题意，得当x∈(－2,2)时，f(x)＝2x，由1≤2x≤3，得0≤x≤log23；当x∉(－2,2)时，f(x)＝x＋1，由1≤x＋1≤3，得0≤x≤2，即x＝2.故输入的实数x
的取值范围是{x∈R|0≤x≤log23或x＝2}．故选C.
(2)当输入的x为4.7时，执行程序框图可知，4.7>3，4.7－[4.7]＝0.7，即4.7－[4.7]不等于0，因而可得y＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6＝10.2，即输出的y值为10.2，故选C.
[答案] (1)C (2)C
[方法技巧]
顺序结构和条件结构的运算方法
(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．
(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．
(3)对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．
循环结构
考法(一) 由程序框图求输出结果
[例2] (1)(2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
第(1)题图 第(2)题图
(2)(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．2 B.
C. D.
[解析] (1)第一次循环，24能被3整除，N＝＝8>3；
第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；
第三次循环，7不能被3整除，N＝7－1＝6>3；
第四次循环，6能被3整除，N＝＝2<3，结束循环，
故输出N的值为2.
(2)运行该程序， ＝0，s＝1， <3；
＝0＋1＝1，s＝＝2， <3；
＝1＋1＝2，s＝＝， <3；
＝1＋2＝3，s＝＝，此时不满足循环条件，输出s，故输出的s值为.
[答案] (1)C (2)C
[方法技巧]
循环结构程序框图求输出结果的注意事项
解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：
(1)要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；
(2)要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；
(3)要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．
考法(二) 完善程序框图
[例3] (1)(2018·广东省五校协作体第一次诊断)已知函数f(x)＝ax3＋x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝.执行如图所示的程序框图，若输出的结果S>，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是( )
A．n≤2 016? B．n≤2 017?
C．n>2 016? D．n>2 017?
(2)如图，给出的是计算＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句是( )
A．i>100，n＝n＋1 B．i>100，n＝n＋2
C．i>50，n＝n＋2 D．i≤50，n＝n＋2
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋x，则f′(－1)＝3a－1＝0，解得a＝，g(x)＝＝＝＝－，g(n)＝－，则S＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，因为输出的结果S>，分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n≤2 017？”，选B.
(2)经第一次循环得到的结果是
经第二次循环得到的结果是
经第三次循环得到的结果是
据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母＝2(i－1)，
令2(i－1)＝100，解得i＝51，
即需要i＝51时输出．
故图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句分别是i>50，n＝n＋2.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
解决程序框图填充问题的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
基本算法语句
[例4] (1)按照如图程序运行，则输出 的值是________．
第(1)题图 第(2)题图
(2)执行如图所示的程序，输出的结果是________．
[解析] (1)第一次循环：X＝7， ＝1；
第二次循环：X＝15， ＝2；
第三次循环：X＝31， ＝3；
终止循环，输出 的值是3.
(2)程序反映出的算法过程为
i＝11⇒S＝11×1，i＝10；
i＝10⇒S＝11×10，i＝9；
i＝9⇒S＝11×10×9，i＝8；
i＝8<9退出循环，执行“PRINT S”．
故S＝990.
[答案] (1)3 (2)990
[方法技巧]
解决算法语句问题的步骤及解题规律
(1)解决算法语句问题有三个步骤：
首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．
(2)解题时应注意以下规律：
①赋值语句在给出变量赋值时，先计算赋值号右边的式子，然后赋值给赋值号左边的变量；给一个变量多次赋值时，变量的取值只与最后一次赋值有关．
②条件语句必须以IF开始，以END IF 结束，一个IF必须和一个END IF 对应，尤其对条件语句的嵌套问题，应注意每一层结构的完整性，不能漏掉END IF.
③循环语句的格式要正确，要保证有结束循环的语句，不要出现死循环．
1.执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 当满足条件时，由线性规划的图解法(图略)知，目标函数S＝2x＋y的最大值为2；当不满足条件时，S的值为1.所以输出的S的最大值为2.
2.(2018·福州五校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为170，则判断框内的条件可以为( )
A．i>5 B．i≥7
C．i>9 D．i≥9
解析：选D S＝0＋2＝2，i＝1＋2＝3，不满足条件，执行循环体；
S＝2＋23＝10，i＝3＋2＝5，不满足条件，执行循环体；
S＝10＋25＝42，i＝5＋2＝7，不满足条件，执行循环体；
S＝42＋27＝170，i＝7＋2＝9，满足条件，退出循环体．
故判断框内的条件可以为“i≥9？”，故选D.
第2题图
第3题图
3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝( )
A．4 B．5
C．2 D．3
解析：选A 第一次循环，得S＝2，否；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝，否；第三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝，否；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝>10，是，输出的n＝4，故选A.
4.阅读下面的程序．
则程序执行的目的是( )
A．求实数x的绝对值
B．求实数x的相反数
C．求一个负数的绝对值
D．求一个负数的相反数
解析：选A 由程序可知，当输入的x<0时，取其相反数再赋值给x，其他情况x不变，然后输出x，则程序执行的目的是求实数x的绝对值，故选A.
突破点(二) 复数
1．复数的定义及分类
(1)复数的定义：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：
2．复数的有关概念
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量的模叫做复数 ＝a＋bi的模，记作| |或|a＋bi|，即| |＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)
3.复数的几何意义
复平面
的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、
虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的
几何表示
复数 ＝a＋bi 复平面内的点 (a，b) 平面向量
4.复数的运算法则
设 1＝a＋bi， 2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1) 1＋ 2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2) 1－ 2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3) 1· 2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
1．判断题
(1)方程x2＋1＝0没有解．( )
(2)复数 ＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．( )
(4)已知复数 的共轭复数＝1＋2i，则 的复平面内对应的点位于第三象限．( )
(5)复数中有复数相等的概念，因此复数可以比较大小．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．填空题
(1)(3＋2i)i＝________.
答案：－2＋3i
(2)(4－3i)(－5－4i)＝________.
答案：－32－i
(3)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限．
答案：二
(4)如果(a＋b)＋(b－1)i＝(2a＋3b)＋(2b＋1)i，则实数a＝________，b＝________.
解析：由复数相等得解得
答案：4 －2
(5)若复数 ＝2－i，则＋＝________.
解析：∵ ＝2－i，∴＋＝(2＋i)＋＝(2＋i)＋＝6＋3i.
答案：6＋3i
(6)已知i是虚数单位，则复数i13(1＋i)＝________.
解析：i13(1＋i)＝i(1＋i)＝i－1.
答案：－1＋i
复数的有关概念
[例1] (1)设i是虚数单位，若复数 ＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
(3)(2016·山东高考)若复数 满足2 ＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则 ＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
(4)i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
[解析] (1)∵ ＝a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.
(2)(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，
所以a＝3，b＝－2.
(3)设 ＝a＋bi(a，b∈R)，则2 ＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.所以a＝1，b＝－2，故 ＝1－2i，故选B.
(4)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i, 所以其共轭复数为i.
[答案] (1)D (2)A (3)B (4)A
[方法技巧]
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
复数的几何意义
[例2] (1)(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)(2018·长春质量检测)复数的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)在复平面内与复数 ＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－2＋i D．2＋i
[解析] (1)∵复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，∴∴a<－1.
(2)因为＝－i，所以其共轭复数为＋i，在第一象限．
(3)依题意得，复数 ＝＝＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A的坐标为(－2,1)，其对应的复数为－2＋i.
[答案] (1)B (2)A (3)C
复数的运算
1.复数的加减法
可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．
2．复数的乘法
(1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i的幂写成简单的形式；
(2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立．
3．复数的除法运算
关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：
(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；
(2)对分子、分母分别进行乘法运算；
(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．
[例3] (1)(2018·合肥模拟)已知 ＝(i为虚数单位)，则复数 ＝( )
A．－1 B．1
C．i D．－i
(2)(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数 满足 i＝1＋i，则 2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
(3)(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
[解析] (1)由题意得＝
＝＝i.
(2)由 i＝1＋i得 ＝＝1－i，所以 2＝(1－i)2＝－2i.
(3)∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，a，b∈R，
∴⇒⇒
∴a2＋b2＝2a2－3＝5，ab＝2.
[答案] (1)C (2)A (3)5 2
[易错提醒]
在乘法运算中要注意i的幂的性质：
(1)区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a，b∈R);
(2)区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)与(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a，b∈R)．
1.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.
2.若复数 ＝sin θ－＋i是纯虚数，则tan θ的值为( )
A. B．－
C. D．－1－i
解析：选B ∵复数 ＝sin θ－＋i是纯虚数，∴sin θ－＝0，cos θ－≠0，∴sin θ＝，cos θ＝－.则tan θ＝＝－.故选B.
3.如图，若向量对应的复数为 ，则 ＋表示的复数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析：选D 由题图可得 (1，－1)，即 ＝1－i，所以 ＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.
4.设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
答案：3
5.已知复数 ＝，是 的共轭复数，则 ·＝________.
解析：∵ ＝＝＝＝＝＝－＋i，∴＝－－i，∴ ·＝＝＋＝.
答案：
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )
A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
解析：选D 程序框图中A＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n，所以判断框中应填入A≤1 000，由于初始值n＝0，要求满足A＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n＝n＋2.
2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 运行程序框图，
a＝－1，S＝0， ＝1， ≤6成立；
S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1， ＝2， ≤6成立；
S＝－1＋1×2＝1，a＝－1， ＝3， ≤6成立；
S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1， ＝4， ≤6成立；
S＝－2＋1×4＝2，a＝－1， ＝5， ≤6成立；
S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1， ＝6， ≤6成立；
S＝－3＋1×6＝3，a＝－1， ＝7， ≤6不成立，输出S＝3.
3．(2013·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
解析：选A 由程序框图得分段函数s＝所以当－1≤t＜1时，s＝3t∈[－3,3)；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此时3≤s≤4.综上函数的值域为[－3,4]，即输出的s属于[－3,4]，故选A.
4．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
A．7 B．12
C．17 D．34
解析：选C 第一次循环：s＝0×2＋2＝2， ＝1；第二次循环：s＝2×2＋2＝6， ＝2；第三次循环：s＝6×2＋5＝17， ＝3>2，结束循环，s＝17.
5．(2016·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
解析：选C 输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；运行第二次，n＝2，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，n＝3，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝，y＝6.由于点在直线y＝4x上，故选C.
6．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( )
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i＋i2＝1＋3i.故选B.
7．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数 ＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数 ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
8．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B. C. D．2
解析：选B ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 算法与程序框图
1．(2017·山东高考)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )
A．x＞3 B．x＞4
C．x≤4 D．x≤5
解析：选B 当x＝4时，若执行“是”，则y＝4＋2＝6，与题意矛盾；若执行“否”，则y＝log24＝2，满足题意，故应执行“否”．故判断框中的条件可能为x＞4.
第1题图
第2题图
2．根据程序框图，当输入x为2 018时，输出的y＝( )
A．2 B．4
C．10 D．28
解析：选C x每执行一次循环减少2，当x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1＝32＋1＝10.
3．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x3＋x＋2 D．f(x)＝x2
解析：选C 当输入f(x)＝sin x时，由于f(x)＝sin x是奇函数，因而输出“是奇函数”，然后结束；当输入f(x)＝ex时，f(x)＝ex不是奇函数，但恒为正，因而输出“非负”，然后结束；当输入f(x)＝x3＋x＋2时，f(x)＝x3＋x＋2既不是奇函数，又不恒为非负，因而输出该函数；而当输入f(x)＝x2时， 由于f(x)＝x2是偶函数，且非负，因而输出“非负”．故选C.
4．(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )
A．9 B．18
C．20 D．35
解析：选B 由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，第一次循环：v＝4，
i＝1；第二次循环：v＝9，i＝0；第三次循环：v＝18，i＝－1.结束循环，输出当前v的值18.故选B.
5．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )
A．25 B．30
C．31 D．61
解析：选C 该语句表示分段函数y＝当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.∴输出y的值为31.
6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为________．
解析：第一次循环：S＝2，i＝4， ＝2；第二次循环：S＝4，i＝6， ＝3；第三次循环：S＝8，i＝8， ＝4，当i＝8时不满足i0，点(cos 2，sin 2)在第二象限，故选B.
5．(2018·湖南十三校模拟)已知i为虚数单位，若复数 ＝(a∈R)的实部为－3，则| |＝( )
A. B．2
C. D．5
解析：选D ∵ ＝＝＝的实部为－3，∴＝－3，解得a＝7.
∴ ＝－3－4i，则| |＝5.故选D.
6．(2018·河南濮阳模拟)计算2 017＋2 017＝( )
A．－2i B．0
C．2i D．2
解析：选B ∵＝＝＝i，＝－i，
∴2 017＋2 017＝(i4)504·i＋[(－i)4]504·(－i)＝i－i＝0，故选B.
7．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
解析：由＝＝＝a＋bi，
得a＝，b＝，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.
答案：3
8．复数 满足(3－4i) ＝5＋10i，则| |＝________.
解析：由(3－4i) ＝5＋10i知，|3－4i|·| |＝|5＋10i|，即5| |＝5，解得| |＝.
答案：
[大题综合练——迁移贯通]
1．复数 1＝＋(10－a2)i， 2＝＋(2a－5)i，若1＋ 2是实数，求实数a的值．
解：1＋ 2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋ 2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
因为a＋5≠0，所以a≠－5，故a＝3.
2．实数m分别取什么数值时，复数 ＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i：
(1)与复数2－12i相等；
(2)与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)对应的点在x轴上方．
解：(1)根据复数相等的充要条件得
解得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义得
解得m＝1.
(3)由题意，得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.
3．已知数列{an}的各项均为正数，观察程序框图，若 ＝5， ＝10时，分别有S＝和S＝，求数列{an}的通项公式．
解：当i＝1时，a2＝a1＋d，M＝，S＝；
当i＝2时，a3＝a2＋d，M＝，S＝＋；
当i＝3时，a4＝a3＋d，M＝，S＝＋＋；
……
因此，由程序框图可知，数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d.
当 ＝5时，S＝＋＋＋＋
＝
＝＝＝，
∴a1a6＝11，即a1(a1＋5d)＝11.①
当 ＝10时，S＝＋＋…＋
＝
＝＝＝，
∴a1a11＝21，即a1(a1＋10d)＝21.②
由①②解得a1＝1，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
