【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）绝对值不等式学案

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【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）绝对值不等式学案

第1讲　绝对值不等式 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　绝对值不等式的解法 ‎1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解．‎ ‎2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式 ‎(1)绝对值不等式|x|>a与|x|0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<－a}‎ ‎{x|x≠0}‎ R ‎ (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．‎ 考点2　绝对值不等式的应用 ‎1．定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎2．如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎3．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ‎(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.‎ ‎(2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)|ax＋b|≤c(c≥0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.(　　)‎ ‎(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　　)‎ ‎(3)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　　)‎ ‎(4)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　)‎ ‎(5)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√‎ ‎2．[课本改编]不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　)‎ A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]‎ C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)‎ 答案　D 解析　由题得⇒ ‎⇒得解集为(－2,1]∪[4,7)．‎ ‎3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)‎ B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)‎ C．[1,2]‎ D．(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ 答案　A 解析　∵|x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，∴a2－3a≥4恒成立，∴a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．‎ ‎4．[课本改编]不等式|x－1|<4－|x＋2|的解集是________．‎ 答案　 解析　由|x－1|<4－|x＋2|，得或 或解得1≤x<或－22，所以x>2.‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　绝对值不等式的解法 例　1　[2017·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝ 当x＜－1时，f(x)≥1无解；‎ 当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，‎ 解得1≤x≤2；‎ 当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．‎ ‎(2)由f(x)≥x2－x＋m，得 m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.‎ 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|‎ ‎＝－2＋≤，‎ 且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝，‎ 故m的取值范围为.‎ 触类旁通 绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法：对a>0，|x|a⇔x<－a或x>a.‎ ‎(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．‎ ‎(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎ ‎(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．‎ ‎(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．‎ ‎【变式训练1】　[2017·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，‎ g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①‎ 当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；‎ 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；‎ 当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，‎ 从而1＜x≤.‎ 所以f(x)≥g(x)的解集为.‎ ‎(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，‎ 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.‎ 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，‎ 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.‎ 所以a的取值范围为[－1,1]．‎ 考向　绝对值三角不等式的应用 例　2　(1)[2018·江西模拟]已知函数f(x)＝|2x－1|.‎ ‎①求不等式f(x)<4的解集；‎ ‎②若函数g(x)＝f(x)＋f(x－1)的最小值为a，且m＋n＝a(m>0，n>0)，求＋的取值范围．‎ 解　①不等式f(x)<4，即|2x－1|<4，即－4<2x－1<4，求得－0，n>0)，则＋＝＋＝1＋＋＋＝＋＋≥＋2＝＋，‎ 当且仅当m＝4－2，n＝2－2时等号成立．‎ 故＋的取值范围为.‎ ‎(2)[2018·太原模拟]已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.‎ ‎①解不等式：|g(x)|<5；‎ ‎②若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．‎ 解　①由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，‎ 所以－7<|x－1|<3，解不等式得－21时，2x≥3，∴x≥1.5.‎ 综上所述x≤－1.5或x≥1.5.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.‎ ‎① 若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；‎ ‎②当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．‎ 解　①由题f(x)≤2－|x－1|，可得x－＋|x－1|≤1.‎ 而由绝对值的几何意义知x－＋|x－1|≥－1，‎ 由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，得－1≤1，‎ 即0≤a≤4.‎ 故实数a的取值范围是[0,4]．‎ ‎②函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a<2，即<1时，‎ f(x)＝ 所以f(x)min＝f＝－＋1＝3，得a＝－4<2(符合题意)，‎ 故a＝－4.‎ 考向　与绝对值不等式有关的求参问题 例3　[2018·安徽模拟]已知函数f(x)＝|x－4|，g(x)＝a|x|，a∈R.‎ ‎(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)>2g(x)＋1；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)－4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝2时，不等式f(x)>2g(x)＋1为|x－4|>4|x|＋1，‎ x<0，不等式化为4－x>－4x＋1，解得x>－1，‎ ‎∴－14x＋1，解得x<，‎ ‎∴0≤x<；‎ x>4，不等式化为x－4>4x＋1，解得x<－，无解；‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)－4对任意x∈R恒成立，即|x－4|≥a|x|－4对任意x∈R恒成立，‎ 当x＝0时，不等式|x－4|≥a|x|－4恒成立；‎ 当x≠0时，问题等价于a≤对任意非零实数恒成立．‎ ‎∵≥＝1，‎ ‎∴a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．‎ 触类旁通 ‎ (1)当a＝2时，不等式f(x)>2g(x)＋1为|x－4|>4|x|＋1，分类讨论求得x的范围．‎ ‎(2)由题意可得|x－4|≥a|x|－4对任意x∈R恒成立．当x＝0时，不等式显然成立；当x≠0时，采用分离参数法，问题等价于a≤对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a的范围．‎ 含绝对值不等式的应用中的数学思想 ‎(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．‎ ‎(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．‎ ‎【变式训练3】　(1)已知函数f(x)＝|1－2x|－|1＋x|.‎ ‎①若不等式f(x)<4的解集为{x|a时，x－2<4，∴1，即a<－1.‎ 综上，实数a的取值范围为(－∞，－1)．‎ ‎②在同一坐标系内作出函数g(x)＝|x＋1|－|x|图象和y＝x的图象如图所示，由题意可知，把函数y＝g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．‎ 解　(1)f(x)0，‎ ‎∴x<－5或x>1，‎ ‎∴不等式的解集为{x|x<－5或x>1}．‎ ‎(2)令H(x)＝2f(x)＋g(x)＝ G(x)＝ax，‎ ‎2f(x)＋g(x)>ax对任意的实数x恒成立，即H(x)的图象恒在直线G(x)＝ax的上方，故直线G(x)＝ax的斜率a满足－4≤a<，即a的范围为.‎ ‎2．[2018·深圳模拟]已知函数f(x)＝|x－5|－|x－2|.‎ ‎(1)若∃x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的取值范围；‎ ‎(2)求不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0的解集．‎ 解　(1)f(x)＝|x－5|－|x－2|＝ 当29；‎ ‎(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝5时，f(x)＝|x＋5|＋|x－2|.‎ ‎①当x≥2时，由f(x)>9，得2x＋3>9，解得x>3；‎ ‎②当－5≤x<2时，由f(x) >9，得7>9，此时不等式无解；‎ ‎③当x<－5时，由f(x)>9，得－2x－3>9，解得x<－6.‎ 综上所述，当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9的解集为{x∈R|x<－6或x>3}．‎ ‎(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.‎ 又B＝{x∈R||2x－1|≤3}＝{x∈R|－1≤x≤2}，关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，‎ ‎∴当－1≤x≤2时，f(x)≤|x－4|恒成立．‎ 由f(x)≤|x－4|得|x＋a|≤2.‎ ‎∴当－1≤x≤2时，|x＋a|≤2恒成立，即－2－x≤a≤2－x恒成立．‎ ‎∴实数a的取值范围为[－1,0]．‎ ‎4．[2018·泉州模拟]已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|.‎ ‎(1)解关于x的不等式f(x)<9；‎ ‎(2)若直线y＝m与曲线y＝f(x)围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．‎ 解　(1)x≤－1，不等式可化为－x－1－2x＋4<9，‎ ‎∴x>－2，∴－2－4，∴－1－2时，x的取值范围是{x|－2≤x≤a}．‎ ‎6．[2018·辽宁大连双基考试]设函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)>2的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤a的解集非空，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)原不等式等价于 或或 ‎∴不等式的解集为∪(3，＋∞)．‎ ‎(2)f(x)＝|x－1|＋|x－3|‎ ‎＝ f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(3,2)，‎ 直线y＝a绕点旋转，‎ 由图可得不等式f(x)≤a的解集非空时，a的取值范围为∪.‎
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