2017-2018学年河北省石家庄市第一中学学年高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河北省石家庄市第一中学学年高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省石家庄市第一中学学年高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用并集定义、不等式性质直接求解．‎ 详解：∵集合，‎ ‎∴‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查集合的并集运算，掌握交集的定义是解题的关键，属于容易题.‎ ‎2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是（ ）‎ A. 总体 B. 个体 C. 样本的容量 D. 从总体中抽取的一个样本 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：从5000份中抽取200份，样本的容量是200，抽取的200份是一个样本，每个居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体.所以选A.‎ ‎【考点定位】统计基本概念.‎ ‎3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】A. =i⋅2i=−2，是实数。‎ B. =−1+i，不是纯虚数。‎ C. =2i为纯虚数。‎ D. =i−1不是纯虚数。‎ 故选：C.‎ ‎4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 ‎【答案】B ‎【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．‎ 点睛:用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．‎ ‎5．分别以正方形的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由8部分组成，每一部分是由边长为的正方形面积减去半径为的四分之一圆的面积得到．‎ 详解：由题 意知本题是一个几何概型，设正方形的边长为2. ∵试验发生包含的所有事件是矩形面积，空白区域的面积是 ∴阴影区域的面积为 ∴由几何概型公式得到 ‎ 故选D.‎ 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；‎ ‎（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆 有公共焦点,则的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为，‎ 椭圆中： ，故双曲线C的焦点坐标为，‎ 据此可得双曲线中的方程组： ，解得，则双曲线的方程为.‎ 故选B.‎ ‎【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.‎ ‎7．设， 满足，则（ ）．‎ A. 有最小值，最大值 B. 有最小值，无最大值 C. 有最大值，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.‎ ‎【考点】线性规划.‎ ‎8．执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的值满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：运行程序，，判断否，，判断否，，判断是，输出，满足.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎9．设函数，其中.若且的最小正周期大于，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由f(x)的最小正周期大于2π,得 ，‎ 又,得 ，‎ ‎∴T=3π,则 .‎ ‎∴ ，‎ 由 ,得 .‎ ‎∴ .‎ 取k=0,得 .‎ ‎∴ .‎ 本题选择A选项.‎ ‎10．一个几何体的三视图(单位：) 如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由已知三视图得到几何体的直观图，根据图中数据计算表面积．‎ 详解：由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个半球，半球的半径是1，下面是一个棱长为2，1，2的长方体和一个半圆柱，如图所示：‎ ‎∴几何体的表面积是 ‎ 故选C.‎ 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎11．已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足， ，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ， ‎ ‎ ‎ ‎∴点 的轨迹为以为以点 为圆心，1为半径的圆，‎ ‎， 越小， 越小，‎ 结合图形知，当 点为椭圆的右顶点时， ‎ 取最小值 最小值是 故选：C．‎ 点睛：本题考查椭圆上的线段长的最小值的求法，属中档题.解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的性质，．‎ ‎12．已知函数（， 为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数与（‎ 为自然对数的底数）的图象上存在关于直线对称的点，所以函数与的图象有公共点，则有解，即有解，令，则在成立， 在上成立，即在单调递减，在上单调递增，且，所以；故选A.‎ 点睛：解决本题的技巧在于利用指数函数和对数函数的对称性将问题等价转化为有解问题，再分离参数，使问题进一步转化为求函数的最值问题.‎ 二、填空题 ‎13．已知点，向量，则向量 . ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：设，因为,则有 ，则有，故,则 .‎ ‎【考点】平面向量的运算.‎ ‎14．已知直线经过点，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据直线经过点，得出，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.‎ 详解：∵直线经过点 ‎∴‎ ‎∴，当且仅当，即 时取等号.‎ ‎∴的最小值为 点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎15．已知函数，若，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：判断为偶函数，运用导数判断在的单调性，则转化为，解不等式即可得到的范围．‎ 详解：∵函数 ‎∴当时，则，；‎ 当时，则，.‎ ‎∴，即函数为偶函数.‎ 当时，，则，故函数在上为单调增函数.‎ ‎∵‎ ‎∴，即.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为.‎ 点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用.在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系 三、解答题 ‎16．（2016年全国Ⅲ高考）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】∵,，，‎ ‎∴.‎ 故三角形的内切球半径为，‎ 又由，‎ 故直三棱柱的内切球半径为，‎ 此时的最大值.‎ 点睛：本题考查的是空间几何体的问题，解题的关键在于确定球的半径，半径最大的时候体积最大，由题意可知，当球与棱柱内切的时候球的半径最大，求解球与棱柱相切时的半径，然后利用体积公式求解最大体积即可.‎ ‎17．的内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.‎ 试题解析：（1）由已知可得 ‎（2）‎ 又 ‎， ‎ 的周长为 ‎【考点】正余弦定理解三角形.‎ ‎18．某学校高一年级共有20个班，为参加全市的钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距为5将数据分组成时，作出如下频率分布直方图. ‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；‎ ‎（Ⅱ）若会弹钢琴的人数为的班级作为第一备选班级，会弹钢琴的人数为的班级作为第二备选班级，现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；（II）由频率分布直方图得第一备选班级为2个，记为，第二备选班级为3个，记为，从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，利用列举法能求出这两类备选班级中均有班级被选中的概率．‎ 详解：（Ⅰ）设各班中会弹钢琴的人数的平均值为，由频率分布直方图知， .‎ 所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图知，第一备选班级为2个，记为；第二备选班级为3个，记为.‎ 要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，基本事件总数有10种，分别为：，，，，，，，，， ；‎ 这两类备选班级中均有班级被选中包含的基本事件有6种，分别为：，，‎ ‎，，，.‎ 所以，这两类备选班级中均有班级被选中的概率为.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎（1）列举法；‎ ‎（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；‎ ‎（3）列表法：适应于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎19．如图，在三棱锥中， ， ， ， ， 为线段的中点， 为线段上一点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当平面时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（2）要证平面平面，可证平面， 平面，运用面面垂直的判定定理可得平面平面，再由等腰三角形的性质可得，运用面面垂直的性质定理，即可得证； （3）由线面平行的性质定理可得，运用中位线定理，可得的长，以及平面，求得三角形的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：由已知得平面， 平面，∴平面平面，平面平面， 平面， ，∴平面， 平面，∴平面平面.‎ ‎(2) 平面，又平面平面， 平面，∴， 是中点，∴为的中点，∴，∴， .‎ ‎20．在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为． ‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）以曲线上的点为切点做曲线的切线，设分别与、轴交于 两点，且恰与以定点为圆心的圆相切.当圆的面积最小时，求与面积的比．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】分析：（I）由，根据抛物线的定义，点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，即可求得抛物线方程；（II）求直线的斜率，解法一，联立直线的方程与抛物线的方程，根据，即可求得直线的斜率；解法二，当时，，求导，即可求得切线斜率，然后利用点斜式方程即可求得切线方程，取得和点坐标，利用点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，当时，满足题意的圆的面积最小，求得和点坐标，利用三角形的面积公式即可求得△与△面积的比．‎ 详解：（Ⅰ）由题意得，‎ 点到直线的距离等于它到定点的距离，‎ 点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，‎ 点的轨迹的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则 ．‎ 由 ，得，即，由，得到． ‎ ‎∴，‎ 解法二：由，当时，.‎ 以为切点的切线的斜率为 以为切点的切线为，即，整理.‎ 令则.‎ 令则.‎ 点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．‎ ‎∴ 当时，满足题意的圆的面积最小．‎ ‎∴，．‎ ‎∴，．‎ ‎∴． ‎ ‎△与△面积之比为．‎ 点睛：求轨迹方程的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接利用条件建立， 之间的关系；‎ ‎（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；‎ ‎（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；‎ ‎（4）代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．‎ ‎21．已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的图像在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，都有恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】分析：（I）求出函数的导数，计算，的值，从而可求出切线方程；（II）求出函数的导数，令，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而即可求出的范围．‎ 详解：（Ⅰ）当时，，当时，，.‎ ‎∴所求切线方程为：‎ ‎（Ⅱ）首先，令其为，则.‎ ‎(1)当即时， 单调递减，即单调递减，，单调递减，，所以成立；‎ ‎(2)当时，解得：，当时， 单调递增，即单调递增，，单调递增，，所以不成立．‎ 综上所述：．‎ 点睛：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想. 解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．‎ ‎22．在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），再以原点为极点，以正半轴为极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的值.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）运用直角坐标与极坐标之间的互化关系探求；（2）依据题设直线的参数方程中的参数的几何意义分析求解：‎ ‎（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为.‎ ‎（2）直线的普通方程为，点在直线上，‎ 过点的直线的参数方程为（为参数），‎ 代入圆方程得：.设对应的参数方程分别为，则，.‎ 于是.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）当函数的定义域为时，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数的定义域，即，根据零点分段法去绝对值，分段解不等式，最后求每段解集的并集；（Ⅱ）当函数的定义域为时，即不等式恒成立，等价于，利用公式，即得的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，要使函数有意义，‎ 有不等式①成立，‎ 当时，不等式①等价于，即， ；‎ 当时，不等式①等价于， 无解；‎ 当时，不等式①等价于，即， ；‎ 综上，函数的定义域为.‎ ‎（Ⅱ）∵函数的定义域为，∴不等式恒成立，‎ ‎∴只要即可，‎ 又∵（当且仅当时取等号）‎ 即.的取值范围是.‎ ‎【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.不等式的恒成立的问题.‎