安徽省阜阳市第三中学2019-2020学年高二上学期第一次调研考试数学（理）试题

安徽省阜阳市第三中学2019-2020学年高二上学期第一次调研考试数学（理）试题

2019—2020 学年度第一学期第一次调研考试高二年级 理科数学试题 第Ⅰ卷（60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知命题 ： ， ，则 （） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案． 【详解】∵命题 p：∀x＞0，总有 lgx＞0， ∴命题¬p 为：∃x0＞0，使得 lgx0≤0， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题的否定，考查了推理能力，属于基础题． 2.抛物线 的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线的方程判断抛物线的焦点坐标，结合抛物线的准线方程进行求解即可． 【详解】由题意可得： 抛物线的焦点在 y 轴上，其中 2p＝8，则 p＝4， 则抛物线的标准方程为 y 2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查抛物线准线的求解，根据抛物线的方程是解决本题的关键．比较基 础． 是p 0x∀ > lg 0x > p¬ 0x∀ > lg 0x ≤ 0 0x∃ > 0lg 0x < 0x∀ > lg 0x < 0 0x∃ > 0lg 0x ≤ 21 8y x= − 2y = 2y = − 1 32y = − 1 32y = 2 8x y= - 4 2 2 p= = = 3.与圆 及圆 都外切的圆的圆心轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的左支 D. 双曲线的 右支 【答案】C 【解析】 【分析】 设动圆 P 的半径为 r，然后根据动圆与⊙O：x2+y2＝1，⊙F： 都外切得|PF| ＝3+r、|PO|＝1+r，再两式相减消去参数 r，则满足双曲线的定义，问题解决． 【详解】解：设动圆的圆心为 P，半径为 r， 而圆 x2+y2＝1 的圆心为 O（0，0），半径为 1； 圆 x2+y2﹣8x+7＝0 的圆心为 F（4，0），半径为 3． 依题意得|PF|＝3+r，|PO|＝1+r， 则|PF|﹣|PO|＝（3+r）﹣（1+r）＝2＜|FO|， 所以点 P 的轨迹是双曲线的左支． 故选：C． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，考查圆与圆的位置关系，紧扣定义正确转化是关键． 4.已知椭圆 ，直线 ，则椭圆 上的点到直线 的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 可设椭圆上任意一点为 ，根据点到直线的距离公式得到距离 的表达式，进而得到最值. 2 2 1x y+ = 2 2 8 7 0x y x+ − + = 2 2 8 7 0x y x+ − + = 2 2: 12 xC y+ = : 3l y x= + C l 6 2 3 6 2 6 2 3 ( ) ( )2, , x cosx y y sin θ θ θ  = = 为参数 【详解】设椭圆上的点为： ， 根据点到直线的距离公式得到 . 当三角函数值为 1 时，取得最大值，得到 故答案为：C. 【点睛】这个题目考查了椭圆参数方程的应用，参数方程的引入，能够使得二元问题转化为 一元问题，参数方程主要用于求最值和范围问题. 5.下列说法中，错误的是（ ） A. 若命题 ， ，则命题 ， B. “ ”是“ ”的必要不充分条件 C. “若 ，则 、 中至少有一个不小于 ”的逆否命题是真命题 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 利用全称命题的否定可判断出选项 A 中命题的真假；利用充分必要性判断出选项 B 中命题的 真假；将原命题改写出其逆否命题，利用不等式的性质可判断出选项 C 中命题的真假；取特 殊值来判断出选项 D 中命题的真假. 【详解】对于 A 选项，由全称命题的否定可知该选项中的命题正确； 对于 B 选项，由 ，可得 或 ， 所以，“ ”是“ ”的必要不充分条件，选项 B 中的命题正确； 对于 C 选项，“若 ，则 、 中至少有一个不小于 ”的逆否命题为“若 且 ，则 ”，由不等式的性质可知，命题“若 且 ，则 ”为真命 题，则选项 C 中的命题为真命题； 对于 D 选项，取 ，则 ，所以，选项 D 中 命题错误.故选：D.的 ( ) ( )2, , x cosx y y sin θ θ θ  = = 为参数 : 3 0l x y− + = ( )2cos sin 3 3sin 3 2 2 d θ θ θ ϕ− + − + = = max 3 3 6. 2 d + = = :p x R∀ ∈ 2 0x ≥ 0:p x R¬ ∃ ∈ 2 0 0x < 1sin 2x = 5 6x π= 4a b+ ≥ a b 2 x R∀ ∈ 22x x> 1sin 2x = ( )26x k k Z π π= + ∈ ( )5 26x k k Z π π= + ∈ 1sin 2x = 5 6x π= 4a b+ ≥ a b 2 2a < 2b < 4a b+ < 2a < 2b < 4a b+ < 4x = 4 22 4= 【点睛】本题考查全称命题的否定、必要不充分关系的判断、逆否命题的真假以及全称命题 的真假的判断，解题时可以利用逻辑推证法和特例法进行推导，考查逻辑推理能力，属于中 等题. 6.“ ， ”是“双曲线 的离心率为 ”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件D. 充分不必 要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 当 时 ， 计 算 可 得 离 心 率 为 ， 但 是 离 心 率 为 时 ， 我 们 只 能 得 到 ，故可得两者之间的条件关系. 【详解】当 时，双曲线 化为标准方程是 ， 其离心率是 ； 但当双曲线 的离心率为 时， 即 的离心率为 ，则 ，得 ， 所以不一定非要 . 故“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的充分不必 要条件.故选 D. 【点睛】充分性与必要性 判断，可以依据命题的真假来判断，若“若 则 ”是真命题，“若 则 ”是假命题，则 是 的充分不必要条件；若“若 则 ”是真命题，“若 则 ”是 的 3a = 2 3b = 2 2 2 2 2( 0, 0)x y a ba b − = − > > 7 2 3, 2 3a b= = 7 2 7 2 3 2 a b = 3, 2 3a b= = 2 2 2 2 2x y a b − = − 2 2 124 18 y x− = 42 7 224 e = = 2 2 2 2 2( 0, 0)x y a ba b − = − > > 7 2 2 2 2 2 1( 0, 0)2 2 y x a bb a − = > > 7 2 2 2 2 2 2 7 22 b a b + = 3 2 a b = 3, 2 3a b= = 3, 2 3a b= = 2 2 2 2 2x y a b − = − ( 0, 0)a b> > 7 2 p q q p p q p q q p 真命题，则 是 的充分必要条件；若“若 则 ”是假命题，“若 则 ”是真命题，则 是 的必要不充分条件；若“若 则 ”是假命题，“若 则 ”是假命题，则 是 的既不 充分也不必要条件. 7.命题“对任意 ”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 在命题为真命题的情况下求得 的范围，在选项中找到所得范围的真子集即可. 【详解】命题为真命题，则 对 恒成立 是 的真子集 是命题为真的充分不必要条件 本题正确选项： 【点睛】本题考查充分不必要条件的求解问题，关键是明确充分不必要条件与集合包含关系 之间的关系. 8.已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值 范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意得到 4=（m2+n）+（3m2-n），解得 m2=1，又因为方程表示双曲线得到（n+1）（3-n）＞ 0，解得-1＜n＜3. 【详解】∵双曲线两焦点间的距离为 4，∴c=2，可得 4=（m2+n）+（3m2-n），解得 m2=1， ∵方程 表示双曲线，∴（m2+n）（3m2-n）＞0， p q p q q p p q p q q p p q 2[1,2), 0x x a∈ − < 4a ≥ 4a > 1a ≥ 1a > a 2a x> [ )1,2x∈ 4a∴ ≥ { }4a a > { }4a a ≥ 4a∴ > B 2 2 2 2 13 x y m n m n − =+ − ( )0,3 ( )1, 3− ( )1,3− ( )0, 3 2 2 2 2 13 x y m n m n − =+ − 可得（n+1）（3-n）＞0，解得-1＜n＜3，即 n 的取值范围是（-1，3）. 故选 C． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单 调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两 类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和 双曲线中 的关系式，求值问题就是建立关于 的等式，求取值范围问题就是建立关 于 的不等式． 9.已知点 是抛物线 上的一动点， 为抛物线的焦点， 是圆 ： 上一动点，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线定义和三角形三边关系可知当 三点共线时， 的值最小，根据 圆的性质可知最小值为 ；根据抛物线方程和圆的方程可求得 ，从而得到所求的最 值. 【详解】 如图所示，利用抛物线的定义知： 当 三点共线时， 的值最小，且最小值为 抛物线 准线方程： ， 的 , ,a b c , ,a b c , ,a b c M 2 4x y= F A C 2 2( 1) ( 4) 1x y− + − = | | | |MA MF+ , ,M A P MA MF+ CP r− CP MP MF= , ,M A P MA MF+ 1CP r CP− = −  1y = − ( )1,4C 4 1 5CP∴ = + = ( ) min 5 1 4MA MF∴ + = − = 本题正确选项： 【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键 是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解. 10.如图，已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， 是 轴正半轴上一点， 交椭圆于 A，若 ，且 的内切圆半径为 ，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由直角三角形的内切圆半径 可得 ，结合 ，可得 ，从而可求 ，即可求得椭圆的离心率. 【详解】直角三角形的内切圆半径 ， ， ， ， B 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2,F F 1 2 10F F = P y 1PF 2 1AF PF⊥ 2APF∆ 2 2 5 4 5 3 10 4 15 4 2 2r = 2 1 2 2 2 AF AF− = 1 2 10F F = 2 2 1 2 10AF AF+ = 1 2 3 2 2AF AF a+ = = 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 PA AF PF PA PF PF AF AFr + − − + −= = = = 2 1 2AF AF− = 1 2 10F F = 2 2 1 2 10AF AF∴ + = 1 22 8AF AF∴ = ， ， ， 椭圆的离心率是 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是 一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定 义求解. 11.过双曲线 的右焦点 F 作一条直线，当直线斜率为 1 时，直线与双 曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3 时，直线与双曲线右支有两个不同的交点， 则双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去 y,由 k=1 得到 ，即 . 由 k=3 得到 ，即 ，再求离心率 的范围. 【详解】双曲线右焦点为 ，过右焦点的直线为 ，与双曲线方 程联立消去 y 可得到 ，由题意可 知，当 k=1 时，此方程有两个不相等的异号实根，所以 ，得 0＜a＜b，即 ( )2 1 2 18AF AF∴ + = 1 2 3 2 2AF AF a∴ + = = 1 2 10 2F F c= = ∴ 10 5 33 2 ce a = = = ,a c e ,a c e ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − ＝ ＞ ＞ ( )1 2， ( )1 10， ( )2 10， ( )5 10， 2 2 2 2 2 ( 2 ) 0a a b b a + >− 1b a > 2 2 2 2 2 (9 10 ) 09 a a b b a + <− 3b a < 2 2 2 2 1 ( )a b be a a += = + 2 2( ,0)a b+ 2 2y kx k a b= − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0b a k x a k a b x a a k b k b− + + − + + = 2 2 2 2 2 ( 2 ) 0a a b b a + >− ；当 k=3 时，此方程有两个不相等的同号实根，所以 ，得 0＜b＜3a， ；又 ，所以离心率的取值范围为 ．故答案为：C 【点睛】(1)本题主要考查双曲线的离心率的范围，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查 学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求离心率常用的方法用公式法和方程法. 12.已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ，线段 的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值为（） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 ，再利用均值不等式得到 答案. 【详解】设椭圆长轴 ，双曲线实轴 ，由题意可知： ， 又 ， ， 两式相减，可得： ， ， . ， ，当且仅当 时等立， 最小值为 6， 故选:C． 的 1b a > 2 2 2 2 2 (9 10 ) 09 a a b b a + <− 3b a < 2 2 2 2 1 ( )a b be a a += = + ( )2, 10 1 2F F， 1 2PF PF> 1PF 2F 1e 2e 2 1 e2 e 2 + 6 3 2 1 e2 e 2 + 12a 22a 1 2 2 2F F F P c= = 1 2 1 1 2 22 , 2F P F P a F P F P a+ = − = 1 1 1 22 2 , 2 2F P c a F P c a∴ + = − = 1 2 2a a c− = 2 2 1 1 2 1 2 2 2 42 2 2 2 e a a a cc e c a ca ++ = + = ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 2 2 4 2 8 42 4 22 2 2 2 c a a ce ca a c a c e ca ca c a + + + +∴ + = = = + + 2 2 2 2 22 2 22 2 a ac c c a c a + ≥ ⋅ = 2 2 2 2 a c c a = 2 1 e2 e 2 ∴ + 【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 是解题的关 键，意在考查学生的计算能力. 第 II 卷（90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 中, ,若该三角形只有一解,则 的取值范围是______. 【答案】 或 【解析】 【详解】根据题意，由于 中， ， 根据正弦定理 ， 因为该三角形只有一解， 所以 或 , 故答案为 或 . 考点：解三角形 点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。 14.过点 与双曲线 ： 有且只有一个公共点的直线共__________条. 【答案】4 2 1 e2 e 2 + ABC∆ , 2, 45a x b B= = =  x 0 2x< ≤ 2 2x = ABC∆ , 2, 45a x b B= = =  2 b sin 2, sin 1sin sin 2 xa a BAA B b = ∴ = = ≤ 2 2x ≤ 0 2a x b< = ≤ = 2 2x = 0 2x< ≤ 2 2x = ( )1,2P C 2 22 2x y− = 【解析】 【分析】 把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解，注意分类 讨论． 【详解】解；双曲线方程为 2x2﹣y2＝2，化为标准形式： 1， 当 k 不存在时，直线为 x＝1，与 1 的图象有且只有一个公共点， 当 k 存在时，直线为：y＝k（x﹣1）+2，代入双曲线的方程可得： （2﹣k2）x2+（2k2﹣4k）x﹣k2+4k﹣6＝0， （1）若 2﹣k2＝0，k 时，y＝ （x﹣1）+2 与双曲线的渐近线 y x 平行， 所以与双曲线只有 1 个公共点， （2）k 时，△＝（2k2﹣4k）2﹣4×（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）＝﹣32k+48＝0 即 k ，此时直线 y （x﹣1）+2 与双曲线相切，只有 1 个公共点． 综上过点 P（1，2）且与该双曲线只有一个公共点的直线 4 条． 故答案为：4 【点睛】本题以双曲线为载体，主要考查了直线与双曲线的位置关系，突出考查了双曲线的 几何性质，属于中档题和易错题． 15.已知 为椭圆 的下焦点，点 为椭圆 上任意一点， 点的坐标为 ， 则当 的值最大时点 的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 由椭圆的定义可得 ，根据三角形的性质可得当 共线时， 有最大值，利用直线与椭圆的交点可得结果. 2 2 1 2 x y− = 2 2 1 2 x y− = 2= ± 2± 2= ± 2≠ ± 3 2 = 3 2 = F 2 2 : 14 3 y xC + = P C Q ( )11， PQ PF+ P ( )3 ,12 − 12PQ PF PQ a PF+ = + − 1, ,P F Q PQ PF+ 【详解】设椭圆上焦点为 ， 则 ， 当 共线时， 有最大值 9， 直线 的方程为 与椭圆方程联立， 可得 或 （舍去），故答案为 . 【点睛】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的 定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题， 然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及 均值不等式法. 16.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且垂直于 轴的直 线与该双曲线的左支交于 ， 两点， ， 分别交 轴于 ， 两点，若 的周 长为 ，则 的最大值为________． 【答案】 【解析】 由题意，△ABF2 的周长为 32， ∵|AF2|+|BF2|+|AB|=32， ∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|= ， ∴ =32﹣4a，∴ ， ∴ ，令 ， 1F 12PQ PF PQ a PF+ = + − 1 18 8 9PQ PF QF= + − ≤ + = 1, ,P F Q PQ PF+ FQ 1y = 3 ,12P −   3 ,12P     3 ,12P −   2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F 1F x A B 2AF 2BF y P Q 2PQF 16 1 b a + 4 3 22b a 24b a 2b 8a a= − 28 1 1 b a a a a −=+ + t 1a= + 则 ， 令 m= ，则 当 m= 时， 的最大值为 故答案为： 三、解答题（17 题 10 分，其余每小题 12 分，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、计算过 程、步骤） 17.如图所示，圆 与圆 的半径都是 1， ，过动点 分别作圆 、圆 的切线 （ 为切点），使得 ，试建立适当的坐标系，并求动点 的轨 迹方程。 【答案】 （或 ）. 【解析】 【分析】 建立直角坐标系，设 P 点坐标，根据几何关系列方程，化简即可得到结果. 【详解】以 的中点 为原点， 所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标 系，则 ，设点 . ( ) ( )2 2 2 2 2 8 1 1 10 9 9 10 11 t tb t t a t t t t − − − − −= = = − + −+ 1 t 29 10m 11 b ma = − + −+ ( ) 10 5 2 9 9 − =× − 1 b a + 25 50 49 181 9 3 − × + − = 4 3 1O 2O 1 2 4O O = P 1O 2O ,PM PN ,M N | | 2 | |PM PN= P 2 2( 6) 33x y− + = 2 2 12 3=0x y x+ − + 1 2O O O 1 2O O x 1 2( 2,0), (2,0)O O− ( , )P x y 由已知 ，得 . 因为两圆的半径均为 1，所以 ， 则 ，即 ， 所以点 的轨迹方程为 （或 ）. 【点睛】本题主要考查了与圆相关的动点轨迹方程，考查学生计算能力和转化能力，熟练运 用数形结合的思想是本题的关键. 18. 的内角 的对边分别为 ，已知 . （1）求 的大小； （2）若 ，求 面积的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得 ，根据 可求得结果；（2）利用余弦定理可得 ，利用基本不等式可求得 ，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得： ，又 ，即 由 得： （2）由余弦定理 得： 又 （当且仅当 时取等号） 即 三角形面积 的最大值为： | | 2 | |PM PN= 2 2| | 2 | |PM PN= ( )2 2 1 21 2 1PO PO− = − 2 2 2 2( 2) 1 2 ( 2) 1x y x y + + − = − + −  2 2( 6) 33x y− + = P 2 2( 6) 33x y− + = 2 2 12 3=0x y x+ − + ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos cos cosb B a C c A= + BÐ 2b = ABC∆ 3 π 3 1cos 2B = ( )0,B π∈ 2 2 4a c ac+ − = ( )max 4ac = ( )2sin cos sin cos sin cos sinB B A C C A A C= + = + A B C π+ + = ( )sin sinA C B∴ + = ( )0,B π∈ sin 0B∴ ≠ 2cos 1B∴ = 1cos 2B = ( )0,B π∈ 3B π= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 4a c ac+ − = 2 2 2a c ac+ ≥ a c= 2 24 2a c ac ac ac ac∴ = + − ≥ − = ( )max 4ac = ∴ S 1 4sin 32 B× = 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角 形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题 型. 19.已知命题 ：关于 的不等式 无解；命题 ：指数函数 是 上的增函数. （1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若满足 为假命题且 为真命题的实数 取值范围是集合 ，集合 ，且 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） .（2） 【解析】 【分析】 （1）利用判别式求得 为真时 的取值范围.根据指数函数的单调性求得 为真时 的取值 范围.由于 为真命题，所以 真 真，求两个 的范围的交集，得到最终 的取值范围. （2）求得 假 真时 的取值范围，即集合 ，根据 列不等式组，解不等式组求得 的取值范围. 【详解】解:（1）由 为真命题知， 解得 ，所以 的范围是 ， 由 为真命题知， ， ，取交集得到 . 综上， 的范围是 . （2）由（1）可知，当 为假命题时， ； 为真命题，则 解得： 则 的取值范围是 即 ， 而 ，可得， 解得： 所以， 的取值范围是 【点睛】本小题主要考查根据命题的真假性，求参数的取值范围，考查一元二次不等式解集 为空集的条件，考查指数函数的单调性，考查子集的概念和运用，属于中档题. p x 2 4 2 0x x m− + < q ( ) (2 1)xf x m= − R p q∧ m p q m A { }2| 2 1 13B x t x t= − < < − A B⊆ t [2, )+∞ 11,1 −  p m q m p q∧ p q m m p q m A A B⊆ t p 16 8 0m∆ = −  2m ≥ m [2, )+∞ q 2 1 1m − > 1m > [2, )+∞ m [2, )+∞ p 2m < q 2 1 1m − > 1m > m (1,2) { |1 2}A m m= < < A B⊆ 2 2 1 1 13 2 t t − ≤  − ≥ 11 1t− ≤ ≤ t 11,1 −  20.设 ， ，若 是 的必要不充分条件，求实 数 的取值范围． 【答案】 . 【解析】 【分析】 解不等式得到条件 对应的 的集合，分别设为 ．由 是 的必要不充分条件可得 是 的必要不充分条件，从而得到  ，进而得到关于 的不等式组，解不等式组可得所 求范围． 【详解】由 得 ，解得 ， 设 ． 由 得 ，解得 ， 设 ． ∵ 是 的必要不充分条件， ∴ 是 的必要不充分条件， ∴  ，即  ， ∴ ，解得 . ∴实数 的取值范围为 ． 【点睛】利用充要条件求参数的值或范围，关键在于合理转化条件，准确地将每个条件对应 的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．对于含有否 定性词语的命题，一般要转化为它的等价命题求解． 3 1: 12 xp x − ≤− 2: (2 1) ( 1) 0q x a x a a− + + + < q¬ p¬ a 1 ,12  −   ,p q x ,A B q¬ p¬ p q B A a 3 1 12 x x − ≤− 3 1 2 11 02 2 x x x x − +− = ≤− − 1 22 x− ≤ < 1 1| 2 ,22 2A x x   = − ≤ < = −      ( ) ( )2 2 1 1 0x a x a a− + + + < ( ) ( )1 0x a x a − − + <  1a x a< < + { } ( )| 1 , 1B x a x a a a= < < + = + q¬ p¬ p q B A ( ), 1a a + 1 ,22  −   1 2 1 2 a a  ≥ −  + ≤ 1 12 a− ≤ ≤ a 1 ,12  −   21.已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，过点 ． 求双曲线 C 的标准方程； 是否存在被点 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说 明理由． 【答案】（1） （2）直线 l 不存在．详见解析 【解析】 【分析】 设出双曲线方程，利用双曲线经过 P，求解即可． 假设直线 l 存在 由已知条件利用点差法求出直线 l 的方程为 ，联立方程组， 得 ，由 ，推导出直线 l 不存在． 【详解】 双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ， 设双曲线方程为： ，过点 ． 可得 ， 所求双曲线方程为： ． 假设直线 l 存在． 设 是弦 MN 的中点， 且 ， ，则 ， ． ，N 在双曲线上， ， ， ， 2y x= ± 6 ,12P       ( )1 ( )2 ( )1,1B 2 2 12 yx − = ( )1 ( )2 . 2x y 1 0− − = 22x 4x 3 0− + = 8 0= − < ( )1 y 2x= ± 2 2 yx λ2 − = 6P ,12       λ 1= 2 2 yx 12 − = ( )2 ( )B 1,1 ( )1 1M x , y ( )2 2N x , y 1 2x x 2+ = 1 2y y 2+ = M 2 2 1 12x y 1 2 2 2 22x y 1 − =∴ − =  ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 22 x x x x y y y y 0∴ + − − − + = ( ) ( )1 2 1 24 x x 2 y y∴ − = − ， 直线 l 的方程为 ，即 ， 联立方程组 ，得 ， 直线 l 与双曲线无交点， 直线 l 不存在． 【点睛】本题考查双曲线与直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和 根的判别式的合理运用． 22.已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． （1）求 的方程； （2）是否存在直线 与 相交于 两点，且满足：① 与 （ 为坐标原 点）的斜率之和为 2；②直线 与圆 相切，若存在，求出 的方程；若不存在，请 说明理由． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 试题分析： （1）由离心率 ，已知点坐标代入得 及 可解得 得 标准方程； （2）存在性问题，假设直线 存在，把 代入 的方程得 ，同时设 ，则可得 ，① 1 2 1 2 y yk 2x x −∴ = =− ∴ ( )y 1 2 x 1− = − 2x y 1 0− − = 2 22x y 2 2x y 1 0 − = − − =  22x 4x 3 0− + = 16 4 3 2 8 0= − × × = − < ∴ ∴ ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > 3 2 31, 2       E :l y kx m= + E ,P Q OP OQ O l 2 2 1x y+ = l 2 2 14 x y+ = 2y x= − ± 2y x= − ± 3 2 ce a = = 2 2 1 3 14a b + = 2 2 2a b c= + , ,a b c l y kx m= + E ( ) ( )2 2 21 4 8 4 1 0k x kmx m+ + + − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y ( )2 1 2 1 22 2 4 18 ,1 4 1 4 mkmx x x xk k −−+ = =+ + 代入 得出 的一个等式，再由直线和圆相切又得一个等式，联立可解得 ，同时注意直线与椭圆相交的条件，如满足则说明存在． 试题解析： （1）由已知得 ， 解得 ，∴椭圆 的方程为 ； （2）把 代入 的方程得： ， 设 ，则 ，① 由已知得 ， ∴ ，② 把①代入②得 ， 即 ，③ 又 ， 由 ，得 或 ， 由直线 与圆 相切，则 ④ ③④联立得 （舍去）或 ，∴ ， ∴直线 的方程为 ． 2OP OQk k+ = ,k m ,k m 2 2 3 1 3, 12 4 c a a b = + = 2 24, 1a b= = E 2 2 14 x y+ = y kx m= + E ( ) ( )2 2 21 4 8 4 1 0k x kmx m+ + + − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y ( )2 1 2 1 22 2 4 18 ,1 4 1 4 mkmx x x xk k −−+ = =+ + ( ) ( )1 2 2 11 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2OF OQ kx m x kx m xy y y x y xk k x x x x x x + + +++ = + = = = ( ) ( )1 2 1 22 1 0k x x m x x− + + = ( )( )2 2 2 2 8 1 1 8 01 4 1 4 k m km k k − − − =+ + 2 1m k+ = ( ) ( )2 2 216 4 1 16 4k m k k∆ = − + = + 2 2 4 0{ 1 0 k k m k + > = − ≥ 1 4k < − 0 1k< ≤ l 2 2 1x y+ = 2 1 1 m k = + 0k = 1k = − 2 2m = l 2y x= − ±