四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

2020 年春四川省叙州区第一中学高二期中考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知全集 则 A． B． C． D． 2．复数 （ 是虚数单位）的共轭复数的虚部为 A．-1 B．0 C．1 D．2 3．已知等差数列 满足: ，则 A．2 B．1 C．0 D． 4．椭圆 的焦距为 ，则 的值等于 A． B． C． 或 D． 5．如果数据 x1，x2，…，xn 的平均数是 ，方差是 s2，则 3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2 的平均 数和方差分别是 A． 和 s2 B．3 和 9s2 C．3 ＋2 和 9s2 D．3 ＋2 和 12s2＋4 6. 已知正方形 的边长为 6， 在边 上且 ， 为 的中点，则 A．-6 B．12 C. 6 D．-12 7．实数 a，b，“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实 数都是等可能性的，若用该电脑连续生成 3 个实数，则这 3 个实数都大 于 的概率为 2 1{ | 3 2 0}, { || 2 | 1}, { | 0},2 xU x x x A x x B x x −= − + ≥ = − > = >− UA C B = ∅ ( ,1)−∞ (3, )+∞ ( ,1) (3, )−∞ +∞ 1 1 i i + − i { }na 3 55, 3a a= = 8a = 1− 2 2 14 x y m + = 2 m 5 3 5 3 8 x x x x x ABCD M BC BMBC 3= N DC =• BNAM a b> ln lna a b b+ > + ( )0,1 1 3 A． B． C． D． 9．执行如图所示的框图，若输入 ，则输出的 等于 A． B． C． D． 10.已知椭圆 与抛物线 有相同的焦点为 原点，点 是抛物线准线上一 动点，点 在抛物线上，且 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 11．已知 A、B 分别为椭圆 C： 1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F 是 C 的左焦点， 若 FB⊥AB，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 12．若 在区间[1，+∞）上单调递增，则 a 的取值范围 是 A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．给出命题“若 xy=0，则 x=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的 个数是_______. 14.若实数 满足 ，则 的最小值是 ． 15.过定点 的直线： 与圆： 相切于点 ，则 ． 16．已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， .若函数 有 4 个零点，则实数 的取值范围是__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 1 27 2 3 8 27 4 9 5N = S 3 4 4 5 5 6 6 7 2 2 15 y x+ = 2x ay= ,F O P A 4AF = PA PO+ 2 13 4 2 3 13 4 6 2 2 2 2 x y a b + = 1 2 5 1 2 − 2 2 3 2 ( ) ( ) ( )11 0 01 xf x ln ax x ax −= + + ≥+ ， ＞ yx,    ≤+ ≥− ≥ ,5 ,02 ,0 yx yx y yx 2+ M 021 =−+− kykx 9)5()1( 22 =−++ yx N =MN ( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ 0x > 4 2( ) 3f x x x ax= − − ( )f x a 17．(12 分)已知函数 （ ， 为自然对数的底数），且曲线 在 点 处的切线平行于 轴. （Ⅰ）求 的值； （II）求函数 的极值. 18．(12 分)学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方 法，从某班选出 10 人参加活动，在活动前，对所选的 10 名同学进行了国学素养测试，这 10 名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示． （Ⅰ）分别计算这 10 名同学中，男女生测试的平均成绩； （II）若这 10 名同学中，男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别为 S1，S2，试比较 S1 与 S2 的大小（不必计算，只需直接写出结果）； （III）规定成绩大于等于 75 分为优良，从这 10 名同学中随机选取一男一女两名同学，求这 两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率． 19．(12 分)如图，矩形 和菱形 所在平面互相垂直，已知 ，点 是 线段 的中点． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）试问在线段 上是否存在点 ，使得直线 平面 ？若存在，请证明 平面 ，并求出 的值；若不存在，请说明理由. ( ) 1 x af x x e = − + a R∈ e ( )y f x= (1, (1))f x a ( )f x ADEF ABCD 3 π=∠ADC N AD AFCN ⊥ BE M //AF MNC //AF MNC ME BM 20．(12 分)在平面直角坐标系 中，已知椭圆 E： （ ） 过点 ，其心率等于 . （1）求椭圆 E 的标准方程； （II）若 A，B 分别是椭圆 E 的左，右顶点，动点 M 满足 ，且 椭圆 E 于点 P. 求证： 为定值： 21．(12 分)设 ，函数 ，其导数为 （I）当 时，求 的单调区间； （II）函数 是否存在零点？说明理由； （III）设 在 处取得最小值，求 的最大值 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，直线 的极坐标方程为 ，若直线 与曲线 相切； （I）（1）求曲线 的极坐标方程与直线 的直角坐标方程； （II）在曲线 上取两点 ， 与原点 构成 ，且满足 ，求 面积的最大值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ． xOy 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 61, 2       2 2 MB AB⊥ MA OMOP⋅ 0a > ( ) ( )11 x axf x e xx = − > −+ ( )f x′ 1a = ( )f x ( )f x′ ( )f x 0x x= ( )0f x a− xOy C 3 cos 1 sin x r y r ϕ ϕ  = + = + 0r > ϕ O x l sin( ) 13 πρ θ − = l C C l C M N O MON∆ 6MON π∠ = MON∆ ( ) 3f x =| x|+| x |− （I）求不等式 的解集； （II）记 的最小值为 ，若正实数 ， 满足 ，求 的最小值． 2020 年春四川省叙州区第一中学高二期中考试 文科数学参考答案 1．A 2．A 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A 11．B 12．D 13．2 14.2 15. 4 16． 17．(Ⅰ)由 ,得 . 又曲线 在点 处的切线平行于 轴, 得 ,即 ,解得 . (Ⅱ) , ①当 时, , 为 上的增函数,所以函数 无极值. ②当 时,令 ,得 , . , ; , . 所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 故 在 处取得极小值,且极小值为 ,无极大值. 综上,当 时,函数 无极值; 当 , 在 处取得极小值 ,无极大值. 点睛：求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值 (2 4) 10f x + ≤ ( )f x m p q 1 1 3 2 mp q + = 9 4p q+ ( 2,0)− ( ) 1 x af x x e = − + ( ) 1 x af x e =′ − ( )y f x= ( )( )1, 1f x ( )1 0f ′ = 1 0a e − = a e= ( ) 1 x af x e =′ − 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),−∞ +∞ ( )f x 0a > ( ) 0f x′ = xe a= lnx a= ( ),lnx a∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )ln ,x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),lna−∞ ( )ln ,a +∞ ( )f x lnx a= ( )ln lnf a a= 0a ≤ ( )f x 0a > ( )f x lnx a= lna ( )f x ( )f x′ ( ) 0,f x′ = ( )f x′ ( ) 0f x′ = 0x 的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右 增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值. 18．（1）由茎叶图得男生测试的平均成绩为： = （64+76+77+78）=73.75， 女生测试的平均成绩为： = （56+79+76+70+88+87）=76． （2）由茎叶图观察得 S1＜S2． （3）设“两名学生的成绩均这优良”为事件 A， 男生按成绩由低到高依次为 64，76，77，78， 女生按成绩由低到高依次为 56，70，76，79，87，88， 则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有 24 种方取法： {64，56}，{64，70}，{64，76}，{64，79}，{64，87}，{64，88}， {76，56}，{76，70}，{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}， {77，56}，{77，70}，{77，76}，{77，79}，{77，87}，{77，88}， {78，56}，{78，70}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}， 成绩大于等于 75 分为优良， ∴其中两名均为优良的取法有 12 种取法，分别为： {76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，{77，76}，{77，79}， {77，87}，{77，88}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}， 则这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率 19．解：（Ⅰ）证明：菱形 ， ， ，则 是等边三角形， 又 是线段 的中点， ∴ ． 又平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 . 又∵ 平面 ，故 . （Ⅱ）作 的中点 ，连接 交 于点 ， 点即为所求的点． 证明：连接 ， ∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ ， 又 平面 ， 平面 ，∴直线 平面 ． ∵ ， ，∴ ，∴ ． ( )f x 0x ( )f x 0x 1x 1 4 2x 1 6 ( ) 12 1P 24 2A = = ABCD DCAD = 3 π=∠ADC ADC∆ N AD ADCN ⊥ ⊥ADEF ABCD ADEF ADABCD = ⊥CN ADEF ⊂AF ADEF AFCN ⊥ FE P CP BE M M PN N AD P FE AFPN // ⊂PN MNC ⊄AF MNC //AF MNC ADPE // BCAD // BCPE // 2== PE BC ME BM 20．（1）设椭圆焦距为 ，所以 且 解得 所以椭圆 E 的方程为 ； （2）设 ， ，易得直线 的方程为： ， 代入椭圆 得， ， 由 得， ，从而 ， 所以 . 21．（1）当 时， ，由于 ，且 时， ； 时， ，所以 在 的单调递减，在 单调递增 （2） ，令 ，所以 因为 ，所以 ，所以 在 单调递增 因为 ，又 所以当 时， ，此时 必有零点，且唯一； 当 时， ，而 故 时， 存在唯一零点 （3）由（2）可知 存在唯一零点，设零点为 当 时， ；当 时， ， 2c 2 2 3 1 2 1, 2 ,2 a b c a   + =  = 2 2 2c a b= − 2 2 4, 2, a b  =  = 2 2 14 2 x y+ = ( )02,M y ( )1 1,P x y MA 0 0 4 2 y yy x= + 2 2 14 2 x y+ = 2 2 2 20 0 01 4 08 2 2 y y yx x  + + + − =   ( )2 0 1 2 0 4 8 2 8 y x y − − = + ( )2 0 1 2 0 2 8 8 y x y − − = + 0 1 2 0 8 8y y y= + ( ) ( ) 2 0 0 02 2 0 0 2 8 8, 2,8 8 y yOP OM yy y  − − ⋅ = ⋅ + +    ( )2 2 0 0 2 2 0 0 4 8 8 48 8 y y y y − − = + =+ + 1a = ( ) ( )2 1 1 xf x e x = − + ′ ( )0 0f ′ = 1 0x− < < ( ) 0f x′ < 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,0− ( )0,+∞ ( ) ( )21 x af x e x = − + ′ ( ) ( ) ( )21 x ag x f x e x = − + ′= ( ) ( )3 2 1 x ag x e x = + + ′ 0, 1a x> > − ( ) ( )3 2 0 1 x ag x e x = + > + ′ ( )f x′ ( )1,− +∞ ( ) ( )2 1 2 1 12 1 042 a af a e ea −− = − > − >′ ( ) ( )0 0 1g f a= ′ = − 1a ≥ ( ) ( )0 0 1 0g f a= = − ≤′ ( )f x′ 0 1a< < ( ) 11 1 0af a e −− = − <′ ( ) ( )2 1 2 1 12 1 042 a af a e ea −− = − > − >′ 0a > ( )f x′ ( )f x′ 1x ( )11,x x∈ − ( ) 0f x′ < ( )1,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > 故 在 的单调递减，在 单调递增 所以当 时， 取得最小值，由条件可得 ， 的最小值为 由于 ，所以 所以 设 则 令 ，得 ；令 ，得 故 在 的单调递增，在 单调递减，所以 故 的最大值是 22．（1）∵直线 l 的极坐标方程为 ， ∴由题意可知直线 l 的直角坐标方程为 y 2， 曲线 C 是圆心为（ ，1），半径为 r 的圆，直线 l 与曲线 C 相切，可得 r 2， ∵曲线 C 的参数方程为 （r＞0，φ 为参数）， ∴曲线 C 的普通方程为（x ）2+（y﹣1）2＝4， 所以曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣2 ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，即 ． （2）由（Ⅰ）不妨设 M（ρ1，θ），N（ρ2， ），（ρ1＞0，ρ2＞0）， ( )f x ( )11, x− ( )1,x +∞ 1xx = ( )f x 1 0x x= ( )f x ( )0f x ( ) ( )0 0 2 0 =0 1 x af x e x = − + ′ ( )0 2 0 1xa e x= + ( ) ( ) ( )0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 = 1 11 x x x xaxf x e e e x x e x xx = − − + = − − ++ ( ) ( ) ( ) ( )( )22 21 1 2 3 1x x xg x e x x e x e x x x= − − + − + = − + > − ( ) ( ) ( )( )( )22 7 3 2 1 3 1x xg x e x x e x x x= − + + = − + + > −′ ( ) 0g x′ > 11 2x− < < − ( ) 0g x′ < 1 2x > − ( )g x 11, 2  − −   1 ,2  − +∞   ( ) 1 1 2g x g e  ≤ − =   ( )0f x a− 1 e sin 13 πρ θ − =   3x= + 3 3 3 1 2 2 ⋅ − + = = 3 1 x rcos y rsin ϕ ϕ  = + = + 3− 3 4 3sin πρ θ = +   6 πθ + 1 2 6MONS OM ON sin π=    4sin（ ）sin（ ）＝2sinθcosθ+2 ＝sin2θ 2sin（2 ） ， 当 时， ，故 所以△MON 面积的最大值为 2 ． 23．（1） ， 当 时， ，解得 ， 当 时， ，故 ； 当 时， ，故 ； 综上：所求不等式的解集为 ． （2） ，故 ， 故 当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 ． 1 2 1 4 ρ ρ= = 3 πθ + 2 πθ + 23cos θ 3 2 3cos θ+ + = 3 πθ + 3+ 12 πθ = 2 3MONS = +  2 3MONS ≤ +  3+ (2 4) | 2 4 | | 2 1|f x x x+ = + + + 2x < − (2 4) (2 1) 10x x− + − + ≤ 15 24 x− ≤ < − 12 2x− ≤ ≤ − (2 4) (2 1) 10x x+ − + ≤ 12 2x− ≤ ≤ − 1 2x > − 15 5 4 4x− ≤ ≤ 1 5 2 4x− < ≤ 15 5| 4 4x x− ≤ ≤    ( ) | | | 3| | 3| 3f x x x x x= + − ≥ − + = 1 1 33 2p q + = 1 1 1 1 4 99 4 (9 4 ) 3 23 3 2 3 3 2 q pp q p q p q p q    + = + + = + + +       1 4 9 15 2 (5 2 6)3 3 2 3 q p p q  ≥ + ⋅ = +    2 2 3 3q p= 9 4p q+ ( )1 5 2 63 +