2020教师招聘考试数学学科专业知识考点公式背诵总结
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数学学科专业知识考点公式背诵总结
考点 1.集合
一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物
叫做集合的元素或简称元。
元素与集合的关系：元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。
并集：以属于 A 或属于 B 的元素为元素的集合称为 A 与 B 的并（集），记作 A∪B（或 B∪A），读作“A
并 B”（或“B 并 A”），即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}。
交集： 以属于 A 且属于 B 的元素为元素的集合称为 A 与 B 的交（集），记作 A∩B（或 B∩A），读作
“A 交 B”（或“B 交 A”），即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}。
集合的运算：
集合交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
集合结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
集合分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
集合德.摩根律：Cu(A∩B)=CuA∪CuB，Cu(A∪B)=CuA∩CuB。
考点 2.方程组
1.方程组的有关概念
方程组的定义：由几个方程组成的一组方程，叫做方程组。
方程组的解:方程组里各个方程的公共解叫做方程组的解。
解方程组:求方程组解的过程叫做解方程组。
2.二元一次方程组及其解法
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有的未知数项的次数都是一，这样的方程叫做二元一次方
程。
二元一次方程组:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,组成的方程组叫做二元一次方程
组。
二元一次方程组的解法:代入消元法,加减消元法。
3.三元一次方程组及其解法
三元一次方程:含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是一,这样的方程叫做三元 en 一次
方程。
三元一次方程组:含有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是一,并且一共有三个
方程,这样的方程组叫做三元一次方程组。
2
三元一次方程组的解法: 代入消元法,加减消元法。即通过代入消元法或加减消元法消去同一个未知
数得到二元一次方程组,解这个二元一次方程组求出两个未知数的值,然后再求第三个未知数的值。
考点 3.简易逻辑
可以判断真假的语句叫做命题。
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
不含有逻辑联结词的命题是简单命题。
由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
四种命题的形式：
原命题：若 P 则 q；
逆命题：若 q 则 p；
否命题：若┑P 则┑q；
逆否命题：若┑q 则┑p。
四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命题)
（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。
（2）原命题为真，它的否命题不一定为真。
（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。
考点 4.不等式
1.不等式的性质
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若 ,a b c d ，则 a c b d （若 ,a b c d ，
则 a c b d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：
若 0, 0a b c d ，则 ac bd （若 0,0a b c d ，则 a b
c d
）；
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若 0a b ，则 n na b 或 n na b ；
（4）若 0ab ， a b ，则 1 1
a b
；若 0ab ， a b ，则 1 1
a b
。
2.不等式的解法
解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
（1）一元二次不等式的解法：
求一般的一元二次不等式 2 0ax bx c 或 2 0ax bx c ( 0)a 的解集，要结合 2 0ax bx c 的根
及二次函数 2y ax bx c 图象确定解集。对于一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a ，设 2 4b ac ，它
的解按照 0 0 0 ， ， 可分为三种情况．
（2）分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式
中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为
3
负时可去分母。
（3）绝对值不等式的解法：
分段讨论法（最后结果应取各段的并集）；
利用绝对值的定义；
数形结合。
（4）指数不等式与对数不等式的解法：
当 1a 时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x ;
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
。
当0 1a 时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x ;
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
考点 5.函数的性质
1.单调性
定义：设函数的定义域为Ⅰ，如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间上的任意两个 21, xx ，当 21 xx 时，
都有 )()( 21 xfxf ，则称 )(xf 在这个区间上是增函数，如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个
自变量 21, xx 。当 21 xx 时，都有 )()( 21 xfxf ，则称 )(xf 在这个区间上是减函数。
2.奇偶性
定义：
（1）偶函数：
一般地，对于函数 ( )f x 的定义域内的任意一个 x ，都有 ( ) ( )f x f x ，那么 ( )f x 就叫做偶函数。
（2）奇函数：
一般地，对于函数 ( )f x 的定义域的任意一个 x ，都有 ( ) ( )f x f x ，那么 ( )f x 就叫做奇函数。
偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称。
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。
考点 6.二次函数
二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为 f(x)=ax²+bx+c(a 不为
0)。其图像是一条主轴平行于 y 轴的抛物线。
a，b，c 为常数，a≠0，且 a 决定函数的开口方向。a>0 时，开口方向向上；a<0 时，开口方向
向下。a 的绝对值可以决定开口大小。a 的绝对值越大开口就越小，a 的绝对值越小开口就越大。
考点 7.指数函数
指数函数的一般形式为 y=ax (a>0 且≠1) (x∈R)。
y=ax （a>1） 定义域：R；值域：（0，+ ）；过定点（0，1）；
当 x>0 时，y>1； x<0 时, 0
0 时，01；在（- ，+ ）上是减函数。
考点 8.对数函数
一般地，函数 y= log a X,(其中 a 是常数，a>0 且 a 不等于 1）叫做对数函数。
函数 y= log a X，当 a ＞ 1 时，定义域为(0,+ ∞)，值域为 R，非奇非偶函数，过定点(1,0)，在(0,+
∞)上是增函数；
函数 y= log a X，当 0 ＜ a ＜ 1 时，定义域为(0,+ ∞)，值域为 R，非奇非偶函数，过定点(1,0)，
在(0 ,+ ∞)上是减函数。
性质：如果 a ＞0 且 a ≠1，M＞0，N＞0，那么：
log log loga a aMN M N
log log loga a a
M M NN
log log ( )n
a aM n M n R
换底公式： loglog log
m
a
m
NN a
( a > 0 , a 1 ； 0, 1m m )
对数恒等式： loga Na =N
考点 9.三角函数
1.设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点 P（x，y），P 与原点 O 之间的距离记作 r（r
= ＞0），列出六个比值：
r
y =sinα（正弦）
r
x =cosα（余弦）
x
y =tanα（正切）
y
r =cscα（余割）
x
r =secα（正割）
y
x =cotα（余切）
2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
)(xf sinx Rxx |
)(xf cosx Rxx |
)(xf tanx
ZkkxRxx ,2
1| 且
)(xf cotx ZkkxRxx ,| 且
)(xf secx
ZkkxRxx ,2
1| 且
)(xf cscx ZkkxRxx ,| 且
3.同角三角函数的基本关系式
tancos
sin
cotsin
cos
5
1cottan 1sincsc 1cossec
1cossin 22 1tansec 22 1cotcsc 22
4.和差关系
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ)
tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ)
5.倍半角关系
cossin22sin ；
2222 sin211cos2sincos2cos ；
21
22 tg
tgtg
2
cos1
2sin ；
2
cos1
2cos ；
sin
cos1
cos1
sin
cos1
cos1
2
tg ．
考点 10.等差数列
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差
数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用 d 表示，其符号语言为： 1 ( 2, )n na a d n d 为常数 。
1.递推关系与通项公式
mn
aad
n
aad
dnaa
dmnaa
dnaa
daa
mn
n
n
mn
n
nn
1
;)1(
)(
)1(
1
1
1
1
变式：
推广：
通项公式：
递推关系：
2
)( 1 naaS n
n
；
2
)1(
1
dnnnaSn
2.等差中项：
若 cba ,, 成等差数列，则b 称 ca与 的等差中项，且
2
cab ； cba ,, 成等差数列是 cab 2 的充要条
6
件。
3.前n 项和公式
2
)( 1 naaS n
n
；
2
)1(
1
dnnnaSn
),(
)(
,)2(2
2
2
1
2
为常数
即
特征：
BABnAnS
BnAnnfS
ndandS
n
n
n
是数列 na 成等差数列的充要条件。
4.等差数列 na 的基本性质 ),,,( Nqpnm其中 ， qpnm aaaaqpnm ，则若 。
考点 11.等比数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，记为 q(q 0)。
1.递推关系与通项公式：
mn
mn
n
n
nn
qaa
qaa
qaa
推广：
通项公式：
递推关系：
1
1
1
2.等比中项：若三个数 cba ,, 成等比数列，则称b 为 ca与 的等比中项，且为 acbacb 2，注： 是
成等比数列的必要而不充分条件。
3.前n 项和公式：
)1(
11
)1(
)1(
11
1
q
q
qaa
q
qa
qna
S n
n
n
考点 12.数学归纳法
对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当 n 取第一个值 n0
时命题成立；然后假设当 n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 这种证明方法就叫
做数学归纳法。
考点 13.极限
1.几个常用极限
（1） 1lim 0n n
，lim 0n
n
a
（| | 1a ）；
（2）
0
0limx x
x x
，
0 0
1 1limx x x x
;
（3）
0
sinlim 1x
x
x
；
7
（4） 1lim 1
x
x
ex
(e=2.718281845…)。
2.函数极限的四则运算法则
若
0
lim ( )x x
f x a
，
0
lim ( )x x
g x b
，则
（1）
0
limx x
f x g x a b
；
（2）
0
limx x
f x g x a b
;
（3）
0
lim 0x x
f x a bg x b
。
3.数列极限的四则运算法则
若 lim ,limn nn n
a a b b
，则
（1） lim n nn
a b a b
；
（2） lim n nn
a b a b
；
（3） lim 0n
n
n
a a bb b
；
（4） lim lim limn nn n n
c a c a c a
( c 是常数)。
考点 14.排列组合
1. 排 列 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m （ m ≤ n ） 个 元 素 ， 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一
.mn m
nA有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从
nmmn
nmnnnnAm
n
!
!121 …… ， 1!0 规定： 。
2. 组 合 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 任 取 m （ m ≤ n ） 个 元 素 并 组 成 一 组 ， 叫 做 从 n 个 不
.m m
nC有组合个数记为个元素的一个组合，所同元素中取出
!!
!
!
11
mnm
n
m
mnnn
A
AC m
m
m
nm
n …… ， 10 nC规定： 。
组合数性质：
nn
nnn
m
n
m
n
m
n
mn
n
m
n CCCCCCCC 210
1
1
……，， 。
考点 15.二项式定理
nn
n
rrnr
n
n
n
n
n
n
n
n bCbaCbaCbaCaCba ……222110)(
)10(1 nrbaCT rrnr
nr ……，：二项展开式的通项公式
， r
nC 为二项式系数(区别于该项的系数)。
性质：
nrCC rn
n
r
n ，……，，，）对称性：（ 2101
nn
nnn CCC 22 10 …）系数和：（ ， 1420531 2 n
nnnnnn CCCCCC …… 。
8
最 值 ： n 为 偶 数 时 ， n ＋ 1 为 奇 数 ， 中 间 一 项 的 二 项 式 系 数 最 大 且 为 第
项式为偶数，中间两项的二为奇数时，；项，二项式系数为 )1(12
2
nnCn n
n 系 数 最 大 即 第
2
1
2
1
12
1
2
1
n
n
n
n CCnn 项，其二项式系数为项及第
考点 16.平面向量
向量的概念：既有大小又有方向的量，向量常用有向线段来表示。
零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的。
单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB
共线的单位向量是
| |
AB
AB
)。
平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作： a ∥b ，规定
零向量和任何向量平行。
平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数 1 、 2 ，使 a= 1 e1＋ 2 e2。
1.平面向量的数量积
（1）两个向量的夹角：对于非零向量 a ，b ，作 ,OA a OB b ， AOB 0 称为向量 a ，
b 的夹角，当 ＝0 时， a ，b 同向，当 ＝ 时， a ，b 反向，当 ＝
2
时， a ，b 垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 a ，b ，它们的夹角为 ，我们把数量| || | cosa b 叫做 a
与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ，即 a b ＝ cosa b 。规定：零向量与任一向量的数量积
是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
（3）b 在 a 上的投影为| | cosb ，它是一个实数，但不一定大于 0。
（4）向量数量积的性质：设两个非零向量 a ，b ，其夹角为 ，则：
① 0a b a b ；
②当 a ，b 同向时，a b ＝ a b
，特别地， 22 2
,a a a a a a ；当a 与b 反向时，a b ＝－ a b
；
当 为锐角时，a b ＞0，且 a b
、 不同向， 0a b 是 为锐角的必要非充分条件；当 为钝角时，a b
＜0，且 a b
、 不反向， 0a b 是 为钝角的必要非充分条件；
③非零向量 a ，b 夹角 的计算公式：cos a b
a b
；
④| | | || |a b a b 。
2.平面向量的运算
（1）几何运算
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此
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之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ,AB a BC b ，那么向量 AC
叫做 a
与 b
的和，即
a b AB BC AC ；
②向量的减法：用“三角形法则”：设 , ,AB a AC b a b AB AC CA 那么 ，由减向量的终点指
向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
（2）坐标运算：设 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y ，则：
①向量的加减法运算： 1 2(a b x x ， 1 2 )y y 。
②实数与向量的积： 1 1 1 1, ,a x y x y 。
③若 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 1 2 1,AB x x y y ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的
终点坐标减去起点坐标。
④平面向量数量积： 1 2 1 2a b x x y y 。
⑤向量的模： 22 2 2 2 2| | , | |a x y a a x y 。
⑥两点间的距离：若 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 2 2
2 1 2 1| |AB x x y y
考点 17.空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
共线向量定理：空间任意两个向量 a 、b
（b
≠0
）， a //b
存在实数λ，使 a ＝λb
。
共面向量定理：如果两个向量 ,a b
不共线， p 与向量 ,a b
共面的条件是存在实数 ,x y 使 p xa yb 。
1.空间向量的直角坐标运算律：
（1）若 1 2 3( , , )a a a a ， 1 2 3( , , )b b b b ，则 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b ，
1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b ， 1 2 3( , , )( )a a a a R ，
1 1 2 2 3 3a b a b a b a b ，
1 1 2 2 3 3// , , ( )a b a b a b a b R ，
1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b 。
(2)若 1 1 1( , , )A x y z ， 2 2 2( , , )B x y z ，则 2 1 2 1 2 1( , , )AB x x y y z z 。
模长公式：若 1 2 3( , , )a a a a ， 1 2 3( , , )b b b b ，则 2 2 2
1 2 3| |a a a a a a ， 2 2 2
1 2 3| |b b b b b b
2.夹角公式： 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos
| | | |
a b a b a ba ba b
a b a a a b b b
。
3.两点间的距离公式：若 1 1 1( , , )A x y z ， 2 2 2( , , )B x y z ，
则 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )AB AB x x y y z z ，
或 2 2 2
, 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )A Bd x x y y z z 。
4.空间向量的数量积。
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（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 ,a b
，在空间任取一点O ，作 ,OA a OB b ，则
AOB 叫做向量 a 与 b
的夹角，记作 ,a b ；且规定 0 ,a b ，显然有 , ,a b b a ；若
, 2a b ，则称 a 与b
互相垂直，记作： a b 。
（2）向量的模：设OA a ，则有向线段OA
的长度叫做向量 a 的长度或模，记作：| |a 。
（3）向量的数量积：已知向量 ,a b
，则 | | | | cos ,a b a b 叫做 ,a b
的数量积，记作 a b ，即
a b | | | | cos ,a b a b 。
（4）空间向量数量积的性质：
① | | cos ,a e a a e ；
② 0a b a b ；
③ 2| |a a a 。
（5）空间向量数量积运算律：
①( ) ( ) ( )a b a b a b ；
② a b b a （交换律）；
③ ( )a b c a b a c （分配律）。
考点 18.导数
函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有增量 y =f（x 0 + x ）－f（x 0 ），
比值
x
y
叫做函数 y=f（x）在 x 0 到 x 0 + x 之间的平均变化率，即
x
y
=
x
xfxxf
)()( 00 。如果当 0x
时，
x
y
有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x 0 处的导数，记
作 f’（x 0 ）或 y’|
0xx 。即：f（x 0 ）=
0
limx x
y
=
0
limx x
xfxxf
)()( 00 。
1.基本函数的导数公式
0;C （C 为常数） 1;n nx nx
(sin ) cosx x (cos ) sinx x
2tan secx x 2cot cscx x
sec sec tanx x x csc csc cotx x x
( ) ;x xe e ( ) lnx xa a a
1ln x x
1l g loga ao x ex
2
'
1
1)(arcsin
x
x
2
'
1
1)(arccos
x
x
11
1
1)(arctan 2
'
x
x
1
1)cot( 2
'
x
xarc
1x 1
2
x
x
2．导数的运算法则
法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .) ''' vuvu
法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个
函数的导数，即： .)( ''' uvvuuv 若 C 为常数,则 ''''' 0)( CuCuCuuCCu .即常数与函数的积的
导数等于常数乘以函数的导数： .)( '' CuCu
法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以
分母的平方：
v
u
2
''
v
uvvu （v 0）。
考点 19.导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数 )(xfy 在某个区间（a，b）可导，如果 'f )(x 0 ，则 )(xf 在此区间上为增函数；如
果 'f 0)( x ，则 )(xf 在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有 'f 0)( x ，则 )(xf 为常数。
2．极点与极值
曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧
为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正。
3．最值
在区间[a，b]上连续的函数 f )(x 在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数
f（x）不一定有最大值，例如 3( ) , ( 1,1)f x x x 。
考点 20.点、线、面基本概念
通常用行四边形来表示平面。平面可以用希腊字母 , , 来表示，也可以用平行四边形的四个顶点
来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示。如平面 ,平面 ABCD ,平面 AC 等。
（1）点 A 在平面 内，记作 A ；点 A 在平面 外，记作 A 。
（2）点 P 在直线l 上，记作 P l ，点 P 在直线外，记作 P l 。
（3）直线l 上所有点都在平面 内,则直线l 在平面 内(平面 经过直线l ),记作l ；否则直线就
在平面外，记作l 。
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
推论 1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
12
推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
考点 21.基本的位置关系
1.空间直线与直线之间的位置关系
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线所成的角：如图,已知两条异面直线 ,a b ，经过空间任一点O 作直线 a ∥ a , b∥b ，把 a 与
b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 ,a b 所成的角(夹角)。如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两
条直线互相垂直，记作 a b 。
2.空间直线与平面的位置关系
直线与平面位置关系只有三种：
（1）直线在平面内；
（2）直线与平面相交；
（3）直线与平面平行。
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线
都与该直线平行。
直线和平面垂直判定定理：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一
个平面。
直线和平面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
三垂线定理:在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂
直于这条斜线在平面内的射影。
3.平面与平面之间的位置关系
两个平面的位置关系只有两种：
（1）两个平面平行——没有公共点。
（2）两个平面相交——有一条公共直线。
判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
考点 22.直线与平面所成的角与二面角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。
一直线垂直于平面，所成的角是直角。
一直线平行于平面或在平面内，所成角为 0角。
13
直线和平面所成角范围： 0，
2
。
斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 ,OA OB ，则 AOB 叫做二面角
l 的平面角。
一个平面垂直于二面角 l 的棱l ，且与两半平面交线分别为 , ,OA OB O 为垂足，则 AOB 也是
l 的平面角。
考点 23.距离
1.点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平
面的距离。
平面 的法向量 n ，在平面内任取一定点 A ，则平面外一点 p 到平面 的距离 d 等于 AP 在 n 上的射
影长，即
||
||
n
nAPd 。
2.线线距离
异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离。
分别在直线 nm、 上取定向量 ,,ba
求与向量 ba
、 都垂直的向量 n ，分别在 nm、 上各取一个定点
BA、 ，则异面直线 nm、 的距离 d 等于 AB 在 n 上的射影长，即
||
||
n
nABd 。
3.线面距离
平行的直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这
条直线和平面的距离。
4.面面距离
两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
5.两点间的距离
平面内两点 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ，则两点间的距离为： 2 2
1 2 1 2 1 2| | ( ) ( )PP x x y y 。
6.点到直线的距离及两平行线距离
（1）点 0 0( , )P x y 到直线 : 0l Ax By C 的距离公式为 0 0
2 2
| |Ax By Cd
A B
。
（2）利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线 1 1: 0l Ax By C ， 2 2: 0l Ax By C 之
间的距离公式 1 2
2 2
| |C Cd
A B
，推导过程为：在直线 2l 上任取一点 0 0( , )P x y ，则 0 0 2 0Ax By C ，即
0 0 2Ax By C 。这时点 0 0( , )P x y 到直线 1 1: 0l Ax By C 的距离为 0 0 1 1 2
2 2 2 2
| | | |Ax By C C Cd
A B A B
。
14
考点 24.棱柱
1.棱柱的基础知识
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这
些面所围成的多面体叫做棱柱。棱柱用表示底面各顶点的字母来表示。棱柱中两个互相平行的面，
叫做棱柱的底面。棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面。棱柱中两个侧面的公共
边叫做棱柱的侧棱。
2.分类
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，画斜棱柱时，一般将侧棱画成不与底面垂直。
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。画直棱柱时，应将侧棱画成与底面垂直。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。
直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。
长方体：底面是矩形的平行六面体叫长方体。
正四棱柱：底面是正方形的直平行六面体叫做正四棱柱。
正方体：棱长相等的正四棱柱叫做正方体。
3.棱柱的性质
棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱
的各个侧面都是全等的矩形。
棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。
过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
4.平行六面体、长方体的性质
平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分。
平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和。
5.表面积、侧面积、体积
直棱柱侧面积：侧面积=底面周长×侧棱长。
棱柱的表面积：表面积=侧面积+底面积。
棱柱的体积公式：V=sh （s 为底面积，h 为高）。
考点 25.棱锥
1.棱锥的基础知识
棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体
叫做棱锥。棱锥中的多边形叫做棱锥的底面。棱锥中除底面以外的各个面都叫做棱锥的侧面。棱锥
中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
2.棱锥的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等
于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
3.正棱锥的性质
15
正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥
的斜高）。
正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底
面内的射影也组成一个直角三角形。
4.表面积、侧面积、体积
棱锥的表面积：表面积=侧面积+底面积。
正棱锥的侧面积：S 正棱锥侧=1/2chˊ（c 为底面周长，hˊ为斜高）。
锥体的体积公式是： v=1/3sh（s 为锥体的底面积，h 为锥体的高）。
考点 26.球
在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。半圆以它的直径为旋转
轴，旋转所成的曲面叫做球面。
用一个平面去截一个球，截面是圆面。
球心和截面圆心的连线垂直于截面。
球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系：r²=R²-d²。
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，
我们把这个弧长叫做两点的球面距离。
半径是 R 的球的体积 计算公式是：V=（4/3）πR³。
半径是 R 的球的表面积 计算公式是：S=4πR²。
考点 27.直线与圆的方程
1.直线
在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直
线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。直线倾斜角的取值范围是 0°≤α＜
180°。
倾斜角α不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即 k=tanα（α
≠90°）。倾斜角是 90°的直线没有斜率；倾斜角不是 90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，
+∞）。
2.直线方程的五种形式
（1）直线的点斜式方程--已知直线l 经过点 ),( 111 yxP ，且斜率为k ，直线的方程： )( 11 xxkyy
为直线方程的点斜式。
（2）直线的斜截式方程－已知直线l 经过点 P（0,b），并且它的斜率为 k，直线l 的方程： bkxy
为斜截式。
（3）直线方程的两点式
当 21 xx ， 21 yy 时，经过 ),( 11 yxA ，B（ ), 22 yx 的直线的两点式方程可以写成：
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
。
16
（4）直线方程的截距式
过 A( a ,0)，B(0, b )（ a ,b 均不为 0）的直线方程 1
b
y
a
x 叫做直线方程的截距式。
（5）直线方程的一般形式：
点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成 0 CByAx (其中 A、B、C 是常数，A、
B 不全为 0)的形式，叫做直线方程的一般式。
3.圆
（1）圆心为 ),( baC ，半径为 r 的圆的标准方程为： )0()()( 222 rrbyax 。特殊地，当 0 ba
时，圆心在原点的圆的方程为： 222 ryx 。
（2）圆的一般方程 022 FEyDxyx ，圆心为点 ,2 2
D E
，半径
2 2 4
2
D E Fr ，其中
0422 FED 。
（3）二元二次方程 022 FEyDxCyBxyAx ，表示圆的方程的充要条件是：
① 2x 项 2y 项的系数相同且不为0 ，即 0 CA ；
②没有 xy 项，即 0B ；
③ 0422 AFED 。
（4）圆C ： 2 2 2( ) ( )x a y b r 的参数方程为
sin
cos
rby
rax ( 为参数)。特殊地， 222 ryx 的参
数方程为
sin
cos
ry
rx ( 为参数)。
（5）圆系方程：过圆 1C ： 2 2
1 1 1 0x y D x E y F 与圆 2C ： 2 2
2 2 2 0x y D x E y F 交点的圆系方程是
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 0x y D x E y F x y D x E y F （不含圆 2C ）,当 1 时圆系方程变为两圆公共弦所在直
线方程。
考点 28.椭圆
平面内与两定点 F、F'的距离的和等于常数 2a(2a>|FF'|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆。
1.标准方程及几何性质
标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b
2 2
2 2 1x y
b a
( 0)a b
几
何
范围 | | ,| |x a y b | | ,| |x b y a
顶点坐标 ( ,0),( ,0)a a (0, ),(0, )b b (0, ),(0, )a a ，( ,0),( ,0)b b
焦点坐标 1 2( ,0), ( ,0)F c F c 1 2(0, ), (0, )F c F c
17
性
质
准线方程
2ax c
2ay c
对称轴方
程 0x 、 0y
长短轴 椭圆的长半轴长是 a ，椭圆的短半轴长是b ．
离心率 (0 1)ce ea
, ,a b c 关
系
2 2 2 ( 0)a b c a b
2.焦半径
P 是椭圆 x
a
y
b
2
2
2
2 ＝1( )a b 0 上一点，E、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则| |PE a ex P ，
| |PF a ex P 。
P 是 椭 圆 y
a
x
b a b
2
2
2
2 1 0 ( ) 上 一 点 ， E 、 F 是 上 、 下 焦 点 ， e 是 椭 圆 的 离 心 率 ， 则
PP eyaPFeyaPE |||| ， 。
3.焦点弦
定义：经过一个椭圆焦点的弦称为焦点弦。
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 AB 过左焦点 F1，则弦长|AB|＝|F1A|＋|F1B|＝(a＋ex1)＋(a＋ex2)＝2a
＋e(x1＋x2)。
4.通径
通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长为 2b²/a。
考点 29.双曲线
平面内与两个定点 1 2,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于 1 2F F ）的点的轨迹叫做双曲线。
1.标准方程与几何性质
标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
2 2
2 2 1x y
a b
( 0, 0)a b
2 2
2 2 1y x
a b
( 0, 0)a b
几
何
范 围 | | ,x a y R | | ,y a x R
顶点坐标 ( ,0),( ,0)a a (0, ),(0, )a a
焦点坐标 1 2( ,0), ( ,0)F c F c 1 2(0, ), (0, )F c F c
准线方程 2ax c
2ay c
18
渐近线方
程
by xa
ay xb
焦半径 1 0| |MF a ex
2 0| |MF a ex
2 0| |MF a ey
1 0| |MF a ey
对称轴方
程
0x 、 0y
离心率 ( 1)ce ea
, ,a b c 关
系
2 2 2 ( 0, 0)c a b c a c b
2.焦半径
双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。已知点 P(x 0 ，y 0 )在双曲线 2
2
a
x － 2
2
b
y = 1 (a
＞0，b＞0)上，F 1 ， F 2 分别为双曲线的左、右焦点。若点 P 在右半支上，则| PF 1 | =e x 0 + a ，| PF 2 |
=e x 0 －a；若点 P 在左半支上，则| PF 1 | =－(e x 0 + a) ，| PF 2 | =－(e x 0 －a)。
3.渐近线
（1）若双曲线方程为 12
2
2
2
b
y
a
x 渐近线方程 02
2
2
2
b
y
a
x xa
by 。
（2）若渐近线方程为 xa
by 0
b
y
a
x 双曲线可设为 2
2
2
2
b
y
a
x 。
（3）若双曲线与 12
2
2
2
b
y
a
x 有公共渐近线，可设为 2
2
2
2
b
y
a
x （ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，
焦点在 y 轴上）。
（4）特别地当 时ba 离心率 2e 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ，此时双曲线为等轴双
曲线，可设为 22 yx ；y=
a
b x，y=－
a
b x。
4.共轭双曲线
双曲线 S'的实轴是双曲线 S 的虚轴且双曲线 S'的虚轴是双曲线 S 的实轴时，称双曲线 S'与双曲线 S
为共轭双曲线。
特点：（1）共渐近线；
（2）焦距相等 ；
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于 1。
考点 30.抛物线
平面内与一个定点 F 和一条直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
1.标准方程与几何性质
19
标准方程 y²=2px(p>0) y²=-2px(p>0) x²=2py(p>0) x²=-2py(p>0)
范 围 x 0,yR x 0,yR xR,y 0 xR,y 0
对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴
顶点坐标 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
焦点坐标 F(
2
P ,0) F(-
2
P ,0) F(0,
2
P ) F(0,-
2
P )
准线方程 x=-
2
P x=
2
P y=-
2
P y=-
2
P
离心率 e=1 e=1 e=1 e=1
2.焦点弦
设过抛物线 y²=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ），直线 OA 与
OB 的斜率分别为 k 1 ,k 2 ，直线 l 的倾斜角为α，则有 y 1 *y 2 =-p²，x 1 *x 2 =(p²)/4，k 1 *k 2 =-4，
|OA|=p/(1-cosα),|OB|=p/(1+cosα),|AB|=x 1 +x 2 +p。