2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

‎5.1.4　用样本估计总体 ‎5.2　数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟(略)‎ 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征．‎ ‎2．能用样本的分布估计总体的分布．‎ 通过用样本估计总体，提升学生的数据分析、数学运算和逻辑推理素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 用样本估计总体 ‎ (1)前提 样本的容量恰当，抽样方法合理．‎ ‎(2)必要性 ‎①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力．‎ ‎②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用__样本__估计总体．‎ ‎(3)误差 估计一般是有__误差__的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量__越来越大__时，估计的误差很小的可能性将越来越大．‎ 思考：用样本估计总体出现误差的原因有哪些？‎ 提示：样本抽取的随机性；样本抽取的方法不合适，导致代表性差；样本容量偏少等．‎ 知识点 用样本的数字特征来估计总体的数字特征 ‎ (1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的__数字特征__即可．‎ ‎(2)样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例.‎ 条件 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2‎ 结论 如果记样本的平均值为a，样本方差为b，则＝，‎ - 6 -‎ b2＝× 知识点 用样本的分布来估计总体的分布 如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在第一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，(πi－pi)2不等于零．当样本的容量__越来越大__时，上式很小的可能性将越来越大．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 用样本的特征数估计总体的特征数 角度1　简单随机抽样的数字特征 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103‎ 乙：99　100　102　99　100　100‎ ‎(1)分别计算两组数据的平均数及方差；‎ ‎(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．‎ ‎[解析]　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，‎ 乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．‎ s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，‎ s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．‎ ‎(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，‎ - 6 -‎ 又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．‎ 规律方法：(1)利用样本的原始数据求得的样本数字特征是准确值，可用以估计总体．‎ ‎(2)此类问题需计算样本的平均值和方差来估计总体．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示．估计这个学校学生体重的平均数和方差．‎ ‎4‎ ‎5　9　7　9　6　6‎ ‎5‎ ‎1　8　9‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎ [解析]　将样本中的每一个数都减去50，可得 ‎－5，－1，－3，－1，－4，－4,1,8,9,10，‎ 这组数的平均数为＝1，‎ 方差为＝30.4，‎ 因此可估计这个学校学生体重的平均数为51，方差为30.4．‎ 角度2　分层抽样的数字特征 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，你能由这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估计吗？‎ ‎[解析]　把样本中男生的身高记为x1，x2，…，x23，其平均数记为，方差记为s；把样本中女生的身高记为y1，y2，…，y27，其平均数记为，方差记为s，把样本的平均数记为，方差记为s2．‎ 则＝＝165.2，‎ s2＝ ‎＝ ‎＝51.486 2，‎ 即样本的方差为51.486 2．‎ - 6 -‎ 因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.486 2．‎ 规律方法：1.求分层随机抽样的平均数的步骤 ‎(1)求样本中不同层的平均数；‎ ‎(2)应用分层随机抽样的平均数公式进行求解．‎ ‎2．求分层随机抽样的方差的步骤 ‎(1)求样本中不同层的平均数；‎ ‎(2)求样本中不同层的方差；‎ ‎(3)应用分层随机抽样的方差公式进行求解．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．为了解某公司员工的身体情况，利用分层抽样的方法抽取了9名男员工的身高和体重数据，计算得到他们的体质指数的平均数为25.1，方差为6，抽取了5名女员工的身高和体重数据，计算得到她们的体质指数的平均数为20.3，方差为3.求样本平均数与方差．‎ ‎[解析]　样本平均数＝≈23.4，‎ 方差s2＝ ‎≈10.2．‎ 题型 用样本的分布估计总体的分布 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)求直方图中a的值；‎ ‎(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．‎ - 6 -‎ ‎[解析]　(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，‎ 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06，0.04，0.02．‎ 由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30．‎ ‎(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12．‎ 由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000．‎ ‎(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，‎ 而前5组的频率之和为：0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3，‎ 由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，‎ 所以x＝2.9，‎ 所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．‎ 规律方法：(1)由于频率分布表、频率分布直方图丢失了样本的原始数据，以此求得数字特征都是样本数字特征的估计值．‎ ‎(2)可用样本的分布估计总体的分布．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎(1)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；‎ ‎(2)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎[解析]　(1)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，‎ 分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5．‎ - 6 -‎ 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20．‎ ‎(2)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30．‎ 所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，‎ 男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2．‎ 所以根据分层随机抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：‎ 成绩/m ‎1.50‎ ‎1.60‎ ‎1.65‎ ‎1.70‎ ‎1.75‎ ‎1.80‎ ‎1.85‎ ‎1.90‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．‎ ‎[错解]　根据以上数据可得众数为1.75，中位数为＝1.725，平均数为1.69．‎ ‎[辨析]　所求数据要注意单位问题，另外中位数计算错误．‎ ‎[正解]　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75 m．表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70 m；这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)．‎ 故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m．‎ - 6 -‎