数学（心得）之主元思想——多元变量问题的突破口

数学（心得）之主元思想——多元变量问题的突破口

数学论文之主元思想——多元变量问题的突破口 ‎ ‎ 主元思想——多元变量问题的突破口◎赵光新 在处理多变元变量的数学问题时，在思考方式上，我们可以把两个或多个对象的地位或角色进行转换，将其中的某一变量看作“主元”，而把其它的变元看作常量，从而减少变元，简化运算．利用这种思维策略，对于培养学生良好的思维品质，提高研究问题和解决问题的能力大有裨益．‎ 一、“主元思想”确定恒成立问题中的变量范围 ‎【例1】若x∈(0，13］，不等式1+x+(a－a2)x2＞0恒成立，求a的范围．‎ 解：将原不等式化为关于a的二次不等式x2a2－x2a－(x+1)＜0，即［ax－(x+1)］(ax+1)＜0.‎ ‎∵x∈(0，13］‎ ‎∴不等式的解为{a|－1x0‎ f(2)>0‎ ‎∴(－2)log2x+log22x－2log2x+1>0‎ ‎2(log2x－1)+log22x－2log2x+1>0‎ 解得x＞8或0＜x＜1．‎ 注：换位思考后，将二元变为一元，避免了参数与对称轴相对位置的讨论．‎ 二、主元思想证不等式 ‎【例3】已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：abc+2＞a+b+c．‎ 析：本题用常规方法较难，若利用主元思想，将问题转化为函数，利用函数性质求解，使问题迎刃而解．‎ 解：将a、b、c中的a看成“主元”，将bc看成常数，构造一次函数．‎ 设f(x)=(bc－1)x－b－c+2，‎ ‎∴f(－1)=－(bc－1)－b－c+2=4－(b+1)(c+1)．‎ ‎∵|b|＜1，|c|＜1，∴0＜b+1＜2，0＜c+1＜2．‎ ‎∴0＜(b+1)(c+1)＜4，∴f(－1)＞0．‎ 又f(1)=(bc－1)－b－c+2=(b－1)(c－1)＞0，‎ ‎∴f(x)在(－1，1)上恒大于0．‎ ‎∵|a|＜1，∴f(a)＞0．‎ ‎∴(bc－1)a－b－c+2＞0，即abc+2＞a+b+c．‎ ‎【例4】若0＜a＜1b，求证：b－b2＜1a+1．‎ 法1：将a视为“主元”，构造一次函数．‎ 证明：由条件0＜a＜1b即a∈(0，1b)，‎ 若将a视为未知数，用x代替，即证．‎ x∈(0，1b)时，(b－b2)＜1x+1，即(b－b2)(x+1)－1＜0．‎ 设f(x)=(b－b2)x+(b－b2)－1即证x∈(0，1b)时，f(x)＜0．而f(x)为x的一次函数，且f(0)=b－b2－1=－(b2－b+1)＜0，f(1b)=b2＜0．‎ ‎∴当x∈(0，1b)，f(x)＜0成立．∴原不等式成立．‎ 法2：若将b看作“主元”构造二次函数 证明：由0＜a＜1b，得0＜b＜1a．‎ 将b看作未知数，通过二次函数的性质来完成．‎ 设g(x)=x2－x+1a+1(0＜x＜1a)，对称轴为x=12．‎ ‎(1)当1a≤12即a≥2时，g(x)在(0，1a)上是减函数，‎ ‎∴x∈(0，1a)时，g(x)＞g(1a)=1a2－1a+1a+1=1a2(a+1)＞0．‎ ‎(2)当1a＞12时，x∈(0，1a)时，g(x)≥g(12)=1a+1－14＞0．‎ 综合(1)(2)知：x∈(0，1a)时，x2－x+1a+1＞0恒成立，即x－x2＜1a+1．∴原不等式成立．‎ 三、“主元思想”求解最值 ‎【例5】已知F(a，θ)=a2+2asinθ+2a2+2acosθ+2（a，θ∈R，a≠0），那么对于任意的a，θ，F(a，θ)的取值范围为．‎ 解：设a为主元，令a2+2asinθ+2a2+2acosθ+2=y，‎ ‎∴(y－1)a2+a(2ycosθ－2sinθ)+2y－2=0‎ ‎∵Δ≥0，即(ycosθ－sinθ)2≥2(y－1)2‎ ‎∴(y2+1)cos2(θ+φ)≥2(y－1)2‎ ‎∴2(y－1)2y2+1≤cos2(θ+φ)≤1．‎ ‎∴2－3≤y≤2+3．‎ ‎【例6】设实数x、y＞0，且x、y满足xy=x－y，则x的最小值为．‎ 解：视y为主元，将上式变为y2－xy+x=0．‎ ‎∵方程有根，∴Δ≥0，即x2－4x≥0．‎ ‎∴x≥4或x≤0（舍去）．‎ ‎∴x的最小值为4．（原载2007年1月《少年智力开发报》） ‎