2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

‎5.1.2　数据的数字特征 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差和标准差的意义和作用．‎ ‎2．会计算数据的这些数字特征，并能解决有关实际问题．‎ ‎1.通过本节课的学习，提高学生的数据分析和数学运算素养．‎ ‎2．通过极差、方差和标准差的求解及应用，提高学生的数据分析、逻辑推理和数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．‎ 一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．‎ 知识点 平均数 ‎1．定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)．‎ 这一公式在数学中常简记为＝i．‎ ‎2．求和符号∑具有的性质 ‎(1)(xi＋yi)＝i＋i．‎ ‎(2)(kxi)＝ki．‎ ‎(3)＝nt．‎ ‎3．如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数是a＋B．‎ 思考1：(1)x5＋x6＋…＋x15如何用符号∑表示？‎ - 8 -‎ ‎(2)如何证明(kxi)＝ki?‎ 提示：(1)x5＋x6＋…＋x15＝i．‎ ‎(2)(kxi)＝kx1＋kx2＋…＋kxn ‎＝k(x1＋x2＋…＋xn)＝ki．‎ 知识点 中位数 ‎1．如果一组数有奇数个数，并按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数．‎ ‎2．如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．‎ 知识点 百分位数 ‎1．定义：一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值．‎ ‎2．计算方法：‎ 设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数．规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．‎ 思考2：中位数和百分位数的关系是什么？‎ 提示：中位数是50%分位数．‎ 知识点 众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．‎ 知识点 极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．‎ 知识点 方差与标准差 - 8 -‎ ‎ (1)如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差s2＝(xi－)2，方差的算术平方根称为标准差．‎ ‎(2)如果x1，x2，…，xn的方差为s2，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，……，axn＋b的方差是a2s2．‎ 思考2：(1)方差和标准差的取值范围是什么？方差、标准差为0的含义是什么？‎ ‎(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？‎ 提示：(1)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．‎ 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度．‎ ‎(2)标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 最值、平均数、众数的确定 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　某公司员工的月工资情况如表所示：‎ 月工资/元 ‎8 000‎ ‎5 000‎ ‎4 000‎ ‎2 000‎ ‎1 000‎ ‎800‎ ‎700‎ 员工/人 ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎20‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数、和众数；‎ ‎(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？‎ ‎[解析]　(1)该公司员工月工资的最大值为8 000元，最小值为700元，众数为1 000元．平均数为(8 000×1＋5 000×2＋4 000×5＋2 000×8＋1 000×20＋800×12＋700×2)＝1 700(元)．‎ ‎(2)用众数，因为最大值为8 000元且只有一个，无法代表该公司员工的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资，每月拿1 000元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理．‎ 规律方法：1.把数据从小到大排列，根据定义即可确定最值和众数．‎ ‎2．平均数的求法 ‎(1)用定义式；‎ - 8 -‎ ‎(2)用平均数的性质；‎ ‎(3)在容量为n的一组数据中，若数据x1有n1个，x2有n2个，…，xk有nk个，且n＝n1＋n2＋…＋nk，则这组数据的平均数为(n1x1＋n2x2＋…＋nkxk)＝x1＋x2＋…＋xk．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：‎ 分数 ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 人数 甲班 ‎1‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎5‎ 乙班 ‎3‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎3‎ ‎13‎ ‎11‎ 选用平均数与众数评估这两个班的成绩．‎ ‎[解析]　甲班平均数为(50×1＋60×6＋70×12＋80×11＋90×15＋100×5)＝79.6(分)，‎ 乙班平均数为(50×3＋60×5＋70×15＋80×3＋90×13＋100×11)＝80.2(分)，‎ 从平均分看成绩较好的是乙班；‎ 甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班．‎ 题型 中位数、百分位数的计算 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　(1)已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5，则该组数据的中位数是__7.5__；‎ ‎(2)甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49．‎ 乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51．‎ 求甲、乙两名运动员得分的25%分位数，75%分位数和90%分位数．‎ ‎[解析]　(1)已知数据从小到大排列为：4,5,6,6,7,8,8,9,10,11，共10个数，所以中位数是＝7.5．‎ ‎(2)两组数据都是12个数，而且12×25%＝3,12×75%＝9,12×90%＝10.8，‎ 因此，甲运动员得分的25%分位数为＝＝22.5，‎ 甲运动员得分的75%分位数为＝＝38，‎ 甲运动员得分的90%分位数为x11＝44．‎ 乙运动员得分的25%分位数为＝＝15，‎ - 8 -‎ 乙运动员得分的75%分位数为＝＝34.5，‎ 乙运动员得分的90%分位数为x11＝39．‎ 规律方法：1.求中位数的一般步骤 ‎(1)把数据按大小顺序排列．‎ ‎(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．‎ ‎2．求百分位数的一般步骤 ‎(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn．‎ ‎(2)计算：求i＝np%的值．‎ ‎(3)求值：‎ 分数 p%分位数 i不是整数 xi0，其中i0为大于i的最小整数 i是整数 ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．确定数据0,0,0,0,1,1,2,3,4,5,6,6,7,7,10,14,14,14,14,15的28%分位数和75%分位数．‎ ‎[解析]　因为数据已从小到大排列，共有20个．‎ 而且i1＝20×28%＝5.6，不为整数，‎ i2＝20×75%＝15是整数，‎ 因此，此数据的28%分位数为x6＝1,75%分位数为＝＝12．‎ 题型 极差、方差、标准差的计算 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　已知一组数据：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6．‎ ‎(1)求极差；‎ ‎(2)求方差；‎ ‎(3)求标准差．‎ ‎[解析]　(1)最大值为6，最小值为2，极差为4．‎ ‎(2)可将数据整理为 x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 频数 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2‎ - 8 -‎ 每一个数都减去4可得 x－4‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 频数 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2‎ 这组数的平均数与方差分别为 ×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0，‎ ×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝．‎ 因此，所求平均值为4，方差为．‎ ‎(3)由(2)知标准差为．‎ 规律方法：求方差的基本方法 ‎(1)先求平均值，再代入公式s2＝(xi－)2，或s2＝－2．‎ ‎(2)用性质．‎ ‎(3)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．(1)有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为(　A　)‎ A．6 B． C．66 D．6.5‎ ‎(2)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　C　)‎ A．8 B．15‎ C．16 D．32‎ ‎[解析]　(1)因为＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，所以x＝5．‎ 方差为s2＝‎ ＝＝6．‎ ‎(2)样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则而样本数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差s′＝2×8＝16．‎ 题型 分层抽样的方差 ‎┃┃典例剖析__■‎ - 8 -‎ ‎　典例4　甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？‎ ‎[解析]　设甲班50名学生的成绩分别是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成绩和方差分别为 甲＝＝80.5(分)，‎ s＝＝500．‎ 设乙班40名学生的成绩分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成绩和方差分别为 乙＝＝85(分)，‎ s＝＝360．‎ 如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为 ＝＝＝82.5(分)，‎ 方差s2＝ ‎＝ ‎＝≈442.78．‎ 规律方法：若样本中有两层，第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2，则样本的均值为＝，方差为．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎4．在考察某中学学生身高时，采用分层抽样的方法得到了20名男生身高的平均值为170，方差为16；15名女生的身高的平均值为165，方差为25，试计算这35名学生的方差．‎ ‎[解析]　由题意知男＝170，s＝16，女＝165，s＝25，则＝ - 8 -‎ ‎≈167.86，s2＝‎ ≈25.98．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例5　下面是某赛季甲、乙两名篮球队员每场比赛得分情况：‎ 甲：4 14 14 24 25 31 32 35 36 36 39 45 49‎ 乙：8 12 15 18 23 27 25 32 33 34 41‎ 则甲、乙得分的中位数之和是(　B　)‎ A．56分 B．57分 C．58分 D．59分 ‎[错解]　D　因为甲的中位数是32，乙的中位数是27，所以甲、乙得分的中位数之和是59．‎ ‎[辨析]　本题易忽视求乙得分的中位数时，没有将数据从小到大排列起来，将原始数据中的中间一个数误认为就是乙得分的中位数而导致错误．因此理解样本的数字特征的含义较为重要．‎ ‎[正解]　由题可知甲得分的中位数为32分，乙得分的数据从小到大排列为：8,12,15,18,23,25,27,32,33,34,41，故乙得分的中位数为25分，因此甲、乙两人得分的中位数之和为57分．‎ - 8 -‎